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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{4}
\Titulo{Anillos y álgebras}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

\hyphenation{ha-bi-tual-men-te}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ejercicios}

\section{Ejemplos y construcciones}

\item Probar que los siguientes conjuntos son anillos con las operaciones indicadas. Decidir en cada caso si son conmutativos, íntegros, de división, cuerpos, etc.
\begin{ejitems}
\item $M_8(\RR)$ con el producto y la suma de matrices.
\item $\ZZ_{12}[X]$ con el producto usual de polinomios.
\item $\ZZ[\sqrt d] = \{a + b \sqrt d \mid a, b \in \ZZ\}$ donde $d \in \ZZ$ es libre de cuadrados, con la suma y el producto de números complejos.
\item $\mathcal C^6[0,1] = \{f: [0,1] \to \RR \mid \mbox { las primeras $6$ derivadas de 
$f$ existen y son continuas}\}$, con la suma y el producto usual de funciones.
\item $A = \left\{\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} : a,b \in \RR\right\} 
\subset M_2(\RR)$, con el producto y la suma de matrices.
\item Dado un espacio métrico $(X,d)$, el conjunto $\mathcal B(X) = \{f: X \to \RR \mid \mbox{$f$ es acotada}\}$.
\item El conjunto $\mathcal O = \{z \in \CC \mid \mbox{existe $p \in \ZZ[X]$ mónico tal que } p(z) = 0\}$.
\end{ejitems}

\item Si $A$ es un grupo abeliano entonces $\End A$, el conjunto de endomorfismos de
grupo de $A$, es un anillo con la suma habitual de funciones y la composición como 
producto. Encontrar descripciones explícitas para este anillo cuando $A$ es $\ZZ^n$ o 
$\ZZ_n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sean $A$ un anillo y $\mathcal C$ una familia de subanillos de $A$.
Muestre que $B=\bigcap_{C\in\mathcal C}C$ es un subanillo de $A$.

\item Sean $A$ un anillo, $B\subset A$ un subanillo y $X\subset A$. Mostrar que
existe un subanillo $B[X]$ de $A$ que contiene a $X$ y a $B$ y tal que cualquier otro
subanillo de $A$ que contiene a $B$ y a $X$ contiene a $B[X]$.

\item Sea $\eta$ una raíz primitiva sexta de la unidad y $\omega$ una raíz primitiva 
$p$-ésima de la unidad, donde $p$ es algún número primo. Describir explícitamente 
$\ZZ[\sqrt2]$, $\ZZ[\sqrt[3]5]$, $\ZZ[i]$, $\ZZ[\eta]$, $\ZZ[\sqrt 6, \sqrt p]$ y 
$\ZZ[\omega]$ como subanillos de $\CC$.
\end{ejitems}

\item Describa todos los anillos con a lo sumo~$10$ elementos a menos de isomorfismo.

\item\header{Anillos de matrices}
Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $n\in\NN$. Probar que el conjunto de matrices
$M_n(A)$ con coeficientes en $A$ es un anillo con respecto a las operaciones
usuales de suma y producto de matrices. Si $n>1$, entonces $M_n(A)$ no es
conmutativo.

\item Sea $M_\infty(A)=\{f:\NN\times\NN\to A\}$.
Decimos que un elemento $f\in M_\infty(A)$ tiene \emph{filas finitas} si para
cada $n\in\NN$ existe $k(n)\in\NN$ tal que $f(n,m)=0$ si $m>k(n)$; de manera similar,
decimos que $f\in M_\infty(A)$ tiene \emph{columnas finitas} si para cada
$m\in\NN$ existe $k(m)\in\NN$ tal que $f(n,m)=0$ si $n>k(m)$.

Sean $M_\infty^f(A)$ y $M_\infty^c(A)$ los subconjuntos de $M_\infty(A)$ de 
matrices con filas finitas y con columnas finitas, respectivamente, y sea
$M_\infty^{fc}(A)=M_\infty^f(A)\cap M_\infty^c(A)$. Mostrar que $M_\infty^f(A)$, 
$M_\infty^c(A)$ y  $M_\infty^{fc}(A)$ son anillos con el producto dado por
\[
  f \cdot g (n, m) = \sum_{k = 1}^\infty f(n,k) g(k,m).
\]
\end{ejitems}
\vspace{.1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de funciones}
\begin{ejitems}

\item Sea $A$ un anillo y $X$ un conjunto no vacío. Sea $A^X$ el conjunto de
todas las funciones $X\to A$. Se definen operaciones $\mathord{+},
\mathord{\cdot}:A^X\times A^X\to A^X$ de la siguiente manera: dadas $f, g\in A^X$ 
  \begin{gather*}
  (f + g)(x) = f(x) + g(x)  \qquad \mbox{para todo } x \in X,\\
\intertext{y}
  (f\cdot g)(x) = f(x)g(x)  \qquad\qquad \mbox{para todo } x \in X.
  \end{gather*}
Mostrar que $(A^X,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. ¿Cuándo es conmutativo?

\item Sean $n\in\NN$, $k\in\NN_0$ y sea $\mathcal C^k(\RR^n)$ el 
conjunto de todas las funciones $f:\RR^n\to\RR$ con derivadas parciales de orden $k$ 
continuas. Muestre que se trata de un subanillo de $\RR^{(\RR^n)}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de polinomios}
Sea $A$ un anillo, y sea
\[
  S=\{f:\NN_0\to A \mid \text{existe un conjunto finito $T \subset \NN_0$ tal que $f|_{T^c} \equiv 0$} \}.
\]
Definimos operaciones de suma y producto  $\mathord{+}, \mathord{\cdot}:S\times
S\to S$ de la siguiente manera: para cada $f, g\in S$ y cada $n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Muestre que estas operaciones están bien definidas y que $(S, \mathord{+}, 
\mathord{\cdot})$ es un anillo.\\ 

\noindent
Sea $X$ una variable formal. Si $f \in S$ y $T \subset \NN$ es tal que $f|_{T^c} \equiv 
0$, podemos representar a $f$ por la suma finita formal 
\[
  \sum_{n \in T} f(n) X^n.
\] 
Con esta notación, las operaciones de $S$ imitan formalmente las correspondientes 
operaciones entre polinomios. Llamamos a $S$ el \emph{anillo de polinomios con 
coeficientes en $A$} y lo notamos $A[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de series formales} Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $S=\{f:\NN_0\to A\}$ el conjunto de todas las
funciones de $\NN_0$ a $A$. Definimos operaciones $\mathord{+},
\mathord{\cdot}:S\times S\to S$ de la siguiente manera: para cada $f, g\in S$ y cada
$n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Muestre que $(S,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. 
\end{ejitems}
\noindent Sea $X$ una variable formal. Podemos representar a una función $f\in S$ por 
una serie 
  \[
  f = \sum_{n=0}^\infty f(n)X^n.
  \]
Usando esta notación, las definiciones de la suma y el producto de $S$ imitan
formalmente a las correspondientes operaciones con las series. Llamamos a $S$ el 
\emph{anillo de series formales de potencias con coeficientes en $A$}, y lo notamos
 $A\S X$. 
\begin{ejitems}[resume]
\item Pruebe que la función representada por la serie $1-X$ es inversible en $A \S X$. 

\item Tomamos ahora $A=\RR$ y sea $\RR\{\!\!\{X\}\!\!\}\subset\RR\S X$ el subconjunto de
las series formales que tienen radio de convergencia positivo. Mostrar que se
trata de un subanillo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Series de Dirichlet}
Sea $A$ un anillo. 
\begin{ejitems}
\item Sea $S=\{f:\NN\to A\}$ el conjunto de todas las funciones de
$\NN$ a $A$. Definimos operaciones $\mathord{+}, \mathord{\cdot}:S\times
S\to S$ de la siguiente manera: para cada $f, g\in S$ y cada $n\in\NN$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{d\in\NN\\d\mid n}}f(d)g(n/d).
  \]
Muestre que $(S,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. 
\end{ejitems}
\noindent Si $s$ es una variable, a un elemento $f\in S$ podemos asignarle la expresión
formal
  \[
  f = \sum_{n\geq 1} \frac{f(n)}{n^s}.
  \]
Las operaciones de $S$ se corresponden entonces con las operaciones evidentes de
estas series. Este es el \emph{anillo de series de Dirichlet con coeficientes en $A$}.
\begin{ejitems}[resume]
\item Sea $\zeta: \NN \to \ZZ$ la función constantemente $1$. Pruebe que $\zeta$ es 
inversible en el anillo de series de Dirichlet con coeficientes en $\ZZ$, y halle 
explícitamente su inversa, que suele denotarse por $\mu$ y se llama \emph{función 
de Moebius}.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo de grupo}
Sean $G$ un grupo y $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $A[G]$ el conjunto de todas las funciones $f:G\to A$ tales que 
  \[
  \abs{\{g\in G:f(g)\neq0\}}<\infty.
  \]
Definimos operaciones $\mathord{+},\,\mathord{\cdot}:A[G]\times A[G]\to A[G]$
de la siguiente manera: para cada $s,t\in A[G]$ y cada $g\in G$,
  \[
  (s+t)(g)=s(g)+t(g)
  \]
y
  \[
  (s\cdot t)(g)=\sum_{h\in G}s(gh^{-1})t(h).
  \]
Muestre que $(A[G],\,\mathord{+},\,\mathord{\cdot})$ es un anillo.

\item Supongamos desde ahora que $A=\k$ es un cuerpo. Muestre que $\k[G]$ es un
subespacio vectorial del espacio vectorial $\k^G$ de todas las funciones $G\to
\k$.

\item Dado $g\in G$, sea $\hat g:G\to \k$ la función definida por
  \[
  \hat g(h) = \begin{cases}
                1, & \text{si $g = h$;} \\
                0, & \text{en caso contrario.}
              \end{cases}
  \]
Muestre que $\{\hat g:g\in G\}$ es una base de $\k[G]$. En particular,
todo elemento $f\in \k[G]$ puede escribirse como
  \[
  f=\sum_{g\in G} \alpha_g\,\hat g
  \]
con coeficientes $\alpha_g\in \k$ casi todos nulos.

\item Muestre que si $g, h\in G$, entonces $\hat g\cdot \hat h=\widehat{gh}$.
  
\item Describa el centro de $\k[G]$ cuando $G$ es finito. ¿Qué pasa cuando $G$ es
infinito?
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Algebras de caminos}
\begin{ejitems}
\item Un \emph{carcaj} $Q$ es una $4$-upla $(Q_0,Q_1,s,t)$ en la que:
\begin{itemize}[noitemsep,label=---]
\item $Q_0$ y $Q_1$ son conjuntos. Los elementos de $Q_0$ son los 
\emph{vértices} de $Q$ y los de $Q_1$ las \emph{flechas}.
\item $s$ y $t$ son funciones $Q_1\to Q_0$. Si $\alpha\in Q_1$ es una flecha,
decimos que $s(\alpha)$ es el \emph{origen} de $\alpha$ y que $t(\alpha)$ es su
final.
\end{itemize}
Por ejemplo, obtenemos un carcaj si ponemos $Q=(Q_0,Q_1,s,t)$ con 
$Q_0=\{1,2,3,4\}$, $Q_1=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\eta,\rho\}$ y $s$ y $t$
están dadas por la tabla siguiente:
  \[  
  \setlength{\extrarowheight}{5pt}
  \begin{tabular}{@{\extracolsep{2em}}*{7}{>{\math}c<{\endmath}}}
  {} & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \eta & \rho \\ \hline
  s & 1 &2 &2 &2 &3 &3 \\
  t & 2 &3 &3 &4 &3 &1 \\
  \end{tabular}
  \]
Podemos describir este carcaj más eficientemente dando el siguiente dibujo:
  \[\xymatrix{
  1 \ar[r]^\alpha 
    & 2 \ar@<-0.5ex>[r]_-\gamma \ar@<0.5ex>[r]^-\beta \ar[d]_-{\delta}
    & 3 \ar@(dr,ur)_\eta[] \ar@(u,u)_-\rho[ll]
    \\
  {}
    & 4
  }\]

Fijemos un carcaj $Q$. Si $x,y\in Q_0$, un \emph{camino de $x$ a $y$ en $Q$} es
una secuencia finita $\kappa=(x;\alpha_1,\dots,\alpha_n;y)$ de flechas de $Q$ tal
que $s(\alpha_1)=x$, $t(\alpha_n)=y$ y para cada $i\in\{1,\dots,n-1\}$ se tiene
que $t(\alpha_i)=s(\alpha_{i+1})$. El número $n$ es la \emph{longitud} de $\kappa$. En
particular, si $x\in Q_0$, hay un camino $(x;\,;x)$ de $x$ a $x$ de longitud $0$.

Sea $P(Q)$ el conjunto de todos los caminos de $Q$, sea $\k$ un cuerpo y sea $\k Q$
el espacio vectorial que tiene a $P(Q)$ como base. Un elemento $u\in \k Q$ es una
combinación lineal finita de caminos de $Q$ con coeficientes en $\k$:
  \[
  u = \sum_{\kappa\in P(Q)}a_\kappa \kappa.
  \]

Se define un producto asociativo bilineal
$\mathord{\cdot}:\k Q\times \k Q\to \k Q$ de la siguiente manera: para cada par de 
caminos $\kappa=(x;\alpha_1,\dots,\alpha_n;y)$ y $\zeta=(z;\beta_1,\dots,\beta_m;w)$ 
en $Q$,
  \[
  \kappa\cdot\zeta =
    \begin{cases}
    (x;\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_m;w),
      & \text{si $y = z$;} \\
    0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
Mostrar que con este producto $\k Q$ es una $\k$-álgebra si y solo si $Q_0$ es finito.
¿Cuál es la unidad de $\k Q$? Llamamos a $\k Q$ el \emph{álgebra de caminos de $Q$ sobre
$\k$}.
 
\item Sean $Q$ y $Q'$ como en la figura. Probar que $\k Q=\k$ y $\k Q'$ es isomorfo
a $\k[X]$.
  \begin{align*}
  Q
  &:\qquad\xymatrix{
    \bullet
  }
   &Q' 
  &: \qquad \xymatrix{
    \bullet \ar@(dr,ur)[]
  }
  \end{align*}

\item\header{$\k$-álgebras libres}
Sea $X$ un conjunto y sea $Q$ el carcaj $(Q_0,Q_1,s,t)$ en el que $Q_0$
tiene un único elemento $p$, $Q_1=X$ y $s,\,t:Q_1\to Q_0$ son las funciones
evidentes. Escribimos $L(X)$ en vez de $\k Q$. Encuentre una base de $L(X)$ y describa
el producto de esta álgebra.

\item ¿Cuándo es $\k Q$ un dominio de integridad? ¿Cuándo tiene dimensión finita?
¿Cuándo es conmutativa?

\item Describa el centro de $\k Q$.

\item Considere el carcaj $Q$ de $n$ vértices de la figura:
  \[\xymatrix{
  1 \ar[r]
    & 2 \ar[r]
    & \quad\cdots\quad \ar[r]
    & n-1 \ar[r]
    & n 
  }\]
Muestre que $\k Q$ es isomorfo al anillo de matrices triangulares superiores de 
$M_n(\k)$.
\end{ejitems}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de Weyl}
Sea $\End_\CC(\CC[X])$ el anillo de endomorfismos de $\CC[X]$ considerado como
$\CC$-espacio vectorial. Sean $p, q\in\End_\CC(\CC[X])$ definidos de la
siguiente manera: si $f\in\CC[X]$, entonces
  \[
  p(f) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dX},
  \qquad\text{y}\qquad
  q(f) = X f.
  \]
Sea $A=\CC[p,q]$ el menor subanillo de $\End_\CC(\CC[X])$ que contiene a
$\CC$, a $p$ y a~$q$. Llamamos a $A$ el \emph{álgebra de Weyl}.

\begin{ejitems}
\item Pruebe que $pq-qp=1$.

\item Pruebe que $A$ es una $\CC$-álgebra de dimensión infinita sobre $\CC$, y que 
$\{p^iq^j:i,j\in\NN_0\}$ es una base.

\item Describa el centro de $A$.

\item Muestre que $A$ no posee divisores de cero y describa el conjunto de sus unidades.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de funciones en el plano cuántico}
Sea $q\in\CC\setminus0$ y supongamos que $q$ no es una raíz de la unidad. 
Sea $V=\{f:\NN_0\to\CC\}$ el $\CC$-espacio vectorial de
todas las funciones de $\NN_0$ en $\CC$. Consideramos dos elementos
$x,\,y\in\End_\CC(V)$ definidos de la siguiente manera: si $f\in V$ y
$n\in\NN_0$, entonces $x(f), y(f):\NN_0\to\CC$ son tales que
  \[
  \big(x(f)\big)(n) = q^n\,f(n),
  \]
e
  \[
  \big(y(f)\big)(n) = f(n+1).
  \]
Sea $A_q=\CC[x,y]$ la menor subálgebra de $\End_\CC(V)$ que contiene a $\CC$, a
$x$ y a $y$. Llamamos a $A_q$ el \emph{álgebra de funciones en el plano
cuántico}.

\begin{ejitems}
\item Pruebe que $yx=qxy$.

\item Pruebe que $A_q$ es una $\CC$-álgebra de dimensión infinita, y que el conjunto 
$\{x^iy^j:i,\,j\in\NN_0\}$ es una base.

\item Describa el centro de $A_q$. 

\item Muestre que $A_q$ no posee divisores de cero y describa el conjunto de sus 
unidades.

\item Para cada $n\in\NN$ definimos
  \[
  (n)_q=\frac{q^n-1}{q-1},
  \]
y $(0)_q = 1$. Definimos además
  \[
  (n)_q!=(1)_q(2)_q\cdots (n)_q.
  \]
Finalmente, si $n\in\NN_0$ y $0\leq k\leq n$, definimos
  \[
  \binom nk_q = \frac{(n)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}.
  \]
Muestre que:
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]
  \item Si $0\leq k\leq n$, entonces 
    \[
    \binom nk_q=\binom n{n-k}_q.
    \]
  \item Si $0\leq k\leq n$, entonces
    \[
    \binom nk_q 
      = \binom{n-1}{k-1}_q + q^k\binom{n-1}k_q
      = \binom{n-1}k_q + q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q.
    \]
  \item Si $0\leq k\leq n$, $\displaystyle\binom nk_q$ es un polinomio en $q$ con
  coeficientes enteros.
  \item Sean $x,\,y\in A_q$ los generadores del álgebra de funciones del plano
  cuántico. Si $n>0$, entonces
    \[
    (x+y)^n = \sum_{0\leq k\leq n}\binom nk_q x^ky^{n-k}.
    \]
  \end{enumerate}

\item ¿Qué pasa si $q$ es una raíz primitiva de la unidad de orden~$e$?
\end{ejitems}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo opuesto}
\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo. Sea $\ast:A\times A\to A$ la
operación definida por
  \[
  a\ast b = ba,\qquad\forall a, b\in A.
  \]
Pruebe que $(A,+,\ast)$ es un anillo. Se trata del \emph{anillo opuesto de
$A$}, que escribimos habitualmente $A^\op$.

\item Muestre con un ejemplo que en general $A\not\cong A^\op$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada con entradas enteras, tal que la suma de 
los elementos de cualquier fila o columna es igual a la suma de los elementos de 
cualquier otra fila o columna. Probar que para cada $n \in \NN$ los cuadrados 
mágicos de tamaño $n$ forman un subanillo de $M_n(\RR)$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto. Mostrar que
$(\mathcal{P}(X),\,\mathord{\triangle},\,\mathord{\cap})$ es un anillo.
Aquí $\mathord{\triangle}$ es la operación diferencia simétrica.

\section{Varia}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un conjunto y $\mathord+,\,\mathord\cdot:A\times A\to A$ dos
operaciones en $A$ que satisfacen todos los axiomas de la definición de anillos
salvo posiblemente aquel que dice que el grupo $(A,+)$ es abeliano. Muestre que
$(A,+,\cdot)$ es un anillo.

\begin{Solucion}
Como $a+(-1)a=1a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0$, vemos que $(-1)a=-a$. 
Entonces, si $a, b\in A$, es
  \begin{align*}
  b+a = -(-a-b) = -\big((-1)a+(-1)b\big) = -(-1)(a+b) = a+b,
  \end{align*}
Esto implica que $(A,+)$ es un grupo abeliano.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Probar las siguientes afirmaciones.

\begin{ejitems}
\item Si cada elemento de $A$ tiene inverso a izquierda entonces $A$ es un anillo de 
	división.

\begin{Solucion}
Supongamos que para cada $x\in A$ existe $x'\in A$ tal que $xx'=1$ y sea $a\in
A$. Por hipótesis, existe $a'\in A$ tal que $aa'=1$. Otra vez pr la hipótesis,
existe $a''\in A$ tal que $a'a''=1$. Pero entonces
  \[
  a = a1 = a(a'a'')=(aa')a'' = 1a''=a''
  \]
y vemos que $a'$ es un inverso a derecha de $a$.~\qed
\end{Solucion}

\item Si $a\in A$ es un elemento inversible a izquierda y que no divide a $0$ por la derecha, entonces $a$ es inversible.

\begin{Solucion}
Sea $a'$ un inverso a izquierda para $a$, de manera que $aa'=1$. Sean $m_a:x\in
A\mapsto xa\in A$ y $m_{a'}=x\in A\mapsto xa'\in A$. La hipótesis hecha sobre
$a$ implica que $m_a$ es sobreyectivo e inyectivo, así que es inversible. Por
otro lado, $m_{a'}\circ m_{a}=\id_A$, así que $m_{a'}=m_{a}^{-1}$. Luego
$a'a=m_{a}\big(m_{a'}(1)\big)=1$ y $a'$ es el inverso de $a$ también a
derecha.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $a\in A$. Si existe $n\in\NN$ tal que $a^n$ es inversible, entonces
$a$ es inversible.

\begin{Solucion}
Supongamos que $b$ es el inverso de $a^n$. Sea $c=ba^{n-1}$. Por hipótesis es
$ca=ba^n=1$. Por otro lado
  \[
  ac-1 
    = (aba^{n-1}-1)a^nb
    = aba^na^{n-1}b-a^nb
    = a^nb - a^n b
    = 0
  \]
así que $ac=1$.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo posiblemente sin unidad. Muestre que si $A$ posee una
única unidad a izquierda $e$, entonces $A$ posee una unidad.

\begin{Indicacion}
Sea $a\in A$ y considere para cada $c\in A$ el elemento $(e-ae-a)c$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Idempotentes}
Sea $A$ un anillo. Un elemento $e\in A$ es \emph{idempotente} si $e^2=e$. Probar las 
siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $e\in A$ es idempotente, el subconjunto $eAe$ con las operaciones de
$A$ restringidas es un anillo. Se trata de un subanillo de $A$ si y solo si $e=1$.
\item Si $e\in A$ es idempotente, entonces $1-e$ también lo es.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos booleanos}
Un anillo $A$ es \emph{booleano} si todos sus elementos son idempotentes.
\begin{ejitems}
\item Si $X$ es un conjunto, entonces el anillo $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$
es booleano.
\item Probar que un anillo booleano es conmutativo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Morfismos, ideales y cocientes}
En toda esta sección $A$ es un anillo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
\begin{ejitems}
\item Muestre que hay exactamente un morfismo de anillos $\ZZ\to A$.
\item Muestre que hay a lo sumo un morfismo de anillos $\QQ\to A$ y que puede no
haber ninguno. Describa cuándo se da cada uno de estos dos casos.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to\RR$ un morfismo de anillos. Pruebe las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $f(\QQ)\subset\QQ$, y de hecho $f|_\QQ=\id_\QQ$.
\item La aplicación $f$ es estrictamente creciente. 
\end{ejitems}
\noindent Concluya que $f = \id_\RR$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo. Decidir en cada caso si existe un morfismo de anillos 
$f:A\to B$:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $A=\ZZ[i]$ y $B=\RR$;
\item $A=\ZZ[\sqrt{-5}]$ y $B=\ZZ[\sqrt3]$;
\item $A=\k$ y $B=M_n(\k)$;
\item $A=M_n(\k)$ y $B=\k$.
\end{ejitems}
\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $n\in\NN$ compuesto. ¿Existe algún producto
$\mathord{\cdot}:\ZZ_n\times\ZZ_n\to\ZZ_n$ que haga del grupo abeliano $\ZZ_n$
un cuerpo?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\mathcal I$ una familia de ideales a izquierda (a derecha,
biláteros) de $A$.
\begin{ejitems}
\item Muestre que $\bigcap_{I\in\mathcal I} I$ es un ideal a
izquierda (a derecha, bilatéro) de $A$. Se trata del ideal más grande contenido
en todos los ideales de $\mathcal I$.

\item Muestre que $\sum_{I\in\mathcal I}I$ es un ideal a izquierda (a
derecha, bilátero) de $A$. Se trata del ideal más chico que contiene a todos los
ideales de $\mathcal I$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $I\subset A$ un ideal a izquierda. Muestre que existe
un subanillo $\II(I)\subset A$ tal que
\begin{itemize}[noitemsep,label=-]
  \item $I\subset\II(I)$ e $I$ es un ideal bilátero de $\II(I)$;
  \item $\II(I)$ es el menor subanillo de $A$ con esa propiedad.
\end{itemize}
Llamamos a $\II(I)$ el \emph{idealizador de $I$ en $A$}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Supongamos que $A$ es conmutativo.
\begin{ejitems}
\item Sean $I\subset A$ un ideal y sea
  \[
  \sqrt I=\{a\in A:\text{existe $r\in\NN$ tal que $a^r\in I$}\}.
  \]
Muestre que $\sqrt I$ es un ideal de $A$.

\item Sean $I,\,J\subset A$ ideales, y sea
  \[
  (I:J) = \{a\in A:aJ\subset I\}
  \]
Muestre que $(I:J)$ es un ideal de $A$, llamado el \emph{conductor de $J$ en $I$}.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Supongamos que $A$ es conmutativo.
\begin{ejitems}
\item Sea $a\in A$ un elemento que no es inversible. Mostrar que existe un ideal
maximal $\mathfrak m\subset A$ tal que $a\in\mathfrak m$.
\item Sea $I\subset A$ un ideal propio. Mostrar que existe un ideal maximal
$\mathfrak m\subset A$ tal que $I\subset\mathfrak m$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que, al igual que las personas, los anillos conmutativos sin ideales propios
	no son más que un cuerpo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo e $I\subset A$ un ideal bilátero. 
\begin{ejitems} 
\item Sea $J$ el ideal generado por $I$ en $A[X]$. Muestre que $A[X]/J\cong (A/I)[X]$.

\item Sea $n\in\NN$ y sea $M_n(I)\subset M_n(A)$ el subconjunto de las matrices de 
$M_n(A)$ que tienen todos sus coeficientes en $I$. Mostrar que $M_n(I)$ es un ideal
bilátero de $M_n(A)$ y que $M_n(A)/M_n(I)\cong M_n(A/I)$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $\k$ un cuerpo. 
\begin{ejitems}
\item Encuentre todos los ideales a izquierda de $M_n(\k)$.

\item Muestre que $M_n(\k)$ es simple.

\item Sean ahora $A$ un anillo y $n\in\NN$. Si $J\subset M_n(A)$ es un ideal
bilátero, pruebe que existe un ideal bilátero $I\subset A$ tal que $J=M_n(I)$.

\begin{Indicacion}
\def\n{\mathbf{n}}
Tomar $I = \{a \in A \mid a = M_{1,1} \mbox{ para alguna matriz } M \in J\}$. 
\end{Indicacion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo. Sean $G$ un grupo y $H\triangleleft G$ un subgrupo normal, y 
consideremos la proyección canónica $\pi:G\to G/H$. Muestre que $\pi$
determina un morfismo sobreyectivo de anillos $\k[\pi]:\k[G]\to \k[G/H]$. Describa
el núcleo de $\k[\pi]$.


\section{Espectro de un anillo conmutativo}
En esta sección $A$ es un anillo conmutativo.
\begin{Definicion}
Decimos que un ideal $\p\subset A$ es primo si
\[
  ab\in\p \implies a\in p\vee b\in p.
\]
Notamos por $\Spec A$ al conjunto de todos los ideales primos de $A$.
\end{Definicion}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Un ideal $\p\subset A$ es primo sii $A/\p$ es un dominio de integridad.
\item Un ideal maximal de $A$ es primo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine $\Spec\ZZ$. Identificar qué ideales primos de $\ZZ$ son maximales.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo. Muestre que si $\p\in\Spec \k[X]$, entonces existe
$f\in\p$ mónico e irreducible tal que $\p=(f)$. Recíprocamente, todo ideal
principal generado por un polinomio mónico e irreducible es primo en $\k[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $\p\in\Spec A$ y $B\subset A$ es un subanillo,
entonces $B\cap\p\in\Spec B$.

\item Si $I\subset A$ es un ideal, $f:A\to A/I$ es la proyección canónica y 
$\p\in\Spec A/I$, entonces $f^{-1}(\p)\in\Spec A$.

\item Sea $I\subset A$ un ideal y $\p\in\Spec A$ tal que
$\p\supset I$. Entonces $\p/I\in\Spec A/I$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que todo ideal primo no nulo de $\ZZ[X]$ es de alguna de las siguientes
	formas:
\begin{ejitems}
\item $(p)$, con $p \in \NN$ primo;
\item $(f)$, con $f \in \ZZ[X]$ un polinomio mónico irreducible;
\item $(p,f)$, con $p$ primo y $f$ irreducible en $\ZZ_p[X]$.
\end{ejitems}

\begin{Indicacion}
Sea $\p\in\Spec\ZZ[X]$. Muestre que si $\p\cap\ZZ \neq \{0\}$ entonces es un 
ideal principal de $\ZZ$ generado por un número primo $p$, así que en particular 
$(p)\subset\p$.
Considere ahora el ideal $\p/(p)$ de $\ZZ[X]/(p)\cong\ZZ_p[X]$ y use un
ejercicio anterior que describe los ideales primos de este anillo.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{Nilradical} Un elemento $a\in A$ es
\emph{nilpotente} si existe $n\in\NN$ tal que $a^n=0$. El \emph{nilradical de
$A$} es el conjunto $\nil(A)=\{a\in A:\text{$a$ es nilpotente}\}$.
\begin{ejitems}
\item $\nil(A)$ es un ideal de $A$.
\item $\nil(A/\nil(A))=0$.
\item $\nil(A)=\bigcap_{\p\in\Spec A}\p$.
\item Muestre que si $x\in\nil(A)$, entonces $1+x$ es inversible.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Radical de Jacobson} El \emph{radical de Jacobson de $A$} es la 
intersección de todos los ideales maximales de $A$, y se nota $J(A)$.
Muestre que $x\in J(A)$ sii para cada $y\in A$ se tiene que $1-xy$ es inversible.

\section{Álgebras sobre cuerpos}
En esta sección $\k$ es un cuerpo.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ una $\k$-álgebra de dimensión finita. 
\begin{ejitems}
\item Probar que $A$ es isomorfa a una subálgebra de $M_n(\k)$, con $n = \dim A$.
\item Probar que si $A$ es íntegra entonces es un cuerpo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ algebraicamente cerrado. 
\begin{ejitems}
\item Probar que no existen $\k$-álgebras de dimensión finita que no tengan divisores de cero.
\item Describir a menos de isomorfismo todas las $\k$-álgebras de dimensión a lo sumo
$3$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Álgebras de cuaterniones} Supongamos que $2 \neq 0$ en $\k$. 
Sean $1$, $i$, $j$ y $k$ los vectores de la base canónica de $\k^4$, y 
sean $a,b \in \k^\times$. Mostrar que existe exactamente un producto asociativo 
$\k$-bilineal $\mathord{\cdot}:\k \times \k \to \k$ tal que $1$ es el elemento unidad e
\begin{align*}
  i^2=a, && j^2 = b, &&  ij = -ji = k.
\end{align*}
Notamos el álgebra resultante por $(a,b)_\k$. En particular $\mathbb H = (-1,-1)_\RR$ es 
el álgebra de cuaterniones de Hamilton.
\begin{ejitems}
\item Determinar el centro y los ideales biláteros de $(a,b)_\k$.

\item Probar que para todo $c \in \k$ vale que $(a,b)_\k \cong (b,a)_\k \cong 
(ac^2, bc^2)_\k$.

\item Probar que $(1,b)_\k \cong M_2(\k)$. Concluir que si $a$ o $b$ es un cuadrado 
en $\k$ entonces $(a,b)_\k \cong M_2(\k)$.
\begin{Indicacion}
Considere el morfismo $(1,b)_\k \to M_2(\k)$ dado por $i \mapsto \begin{psmallmatrix} 1 
& 0 \\ 0 & -1\end{psmallmatrix}, j \mapsto \begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ b & 0
\end{psmallmatrix}$.
\end{Indicacion}

\item Dado $u = \alpha + \beta i + \gamma j + \delta k \in (a,b)_\k$, se define  
$u^* = \alpha -\beta i - \gamma j - \delta k$. Probar que $u \mapsto u^*$ es una involución, y que $(uv)^* = v^* u^*$. 

\item Se define $N: u \in (a,b)_\k \mapsto uu^* \in \k$. Probar que $N$ está bien definida, es multiplicativa, y que $u$ es una unidad si y solo si $N(u) \neq 0$.

\item Mostrar que $(a,b)_\k$ es un álgebra de división si y solo si la ecuación $ax^2 + 
by^2 =1$ no tiene solución en $\k$. En particular, $(-1,-1)_\RR$ es un álgebra de 
división pero $(-1,-1)_\CC$ no. 
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Álgebras de división reales}
El objetivo de este ejercicio es probar el siguiente teorema de Ferdinand Georg
Frobenius (1849--1917, Prusia):

\begin{Teorema}
Si $D$ es una $\RR$-álgebra de división de dimensión finita, entonces $D$
es isomorfa a $\RR$, a $\CC$ o a $\HH$.
\end{Teorema}

\noindent La conclusión del teorema vale más generalmente (y con exactamente la
misma demostración) para una $\RR$-álgebra de división arbitraria si suponemos
que es \emph{algebraica} sobre $\RR$: esto es, si para todo elemento $d\in D$
existe $p\in\RR[X]$ tal que $p(d)=0$.

\begin{ejitems}
\item Si $\dim_\RR D=1$ no hay nada que hacer, así que suponga que $\dim_\RR
D>1$. Sea $a\in D\setminus\RR$. Muestre que $\RR[a]\subset D$ es un cuerpo y que
debe ser isomorfo a $\CC$. Concluya que existe $i\in
D\setminus\RR$ tal que $i^2=-1$. Identifiquemos a $\CC$ con $\RR[i]$.

\item Definamos subespacios
  \[
  D^+=\{d\in D:di=id\}
  \]
y
  \[
  D^-=\{d\in D:di=-id\}
  \]
de $D$. Muestre que $D=D^+\oplus D^-$.

\item Claramente $\CC\subset D^+$. Si $d\in D^+\setminus\CC$, muestre que
$\CC[d]$ es un cuerpo que contiene a $\CC$. Concluya que $D^+=\CC$.

\item Si $D^-=0$, entonces $D=\CC$. Supongamos desde ahora que $D^-\neq0$.
Sea $z\in D^-$ y considere la aplicación $s:d\in D^-\mapsto dz\in D^+$. Muestre
que es $\CC$-lineal e inyectiva, así que debe ser $\dim_\CC D^-=1$. Concluya que
$\dim_\RR D=4$.

\item Muestre que existe $j\in D^-$ tal que $j^2=-1$. Concluya que $D\cong\HH$.
\end{ejitems}

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\item\header{Álgebras de division finitas}
El objetivo de este ejercicio es mostrar el siguiente teorema de Joseph Henry
Maclagen Wedderburn (1882--1948, Escocia):

\begin{Teorema}
Un anillo de división finito es un cuerpo.
\end{Teorema}

\begin{ejitems}
\item Sea $\mu:\NN\to\ZZ$ la función de Möbius, de manera que si
$n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ es la descomposición de $n$ como producto de
potencias de primos distintos,
  \[
  \mu(n) = \left\{
           \begin{array}{cl}
             1,         & \text{si $n=1$;} \\
             (-1)^k,    & \text{si $r_1=\cdots=r_k=1$;} \\
             0,         & \text{si $r_i>1$ para algún $i$.}
           \end{array}
           \right.
  \]
Muestre que si $n,m\in\NN$ son coprimos, entonces $\mu(nm)=\mu(n)\mu(m)$.

\item Sea $M:n\in\NN\mapsto\sum_{d\mid n}\mu(d)\in\ZZ$.
Muestre que si $n,m\in\NN$ son coprimos, entonces $M(nm)=M(n)M(m)$.
Muestre además que $M(1)=1$ y que si $p$ es primo y $r\in\NN$, entonces
$M(p^r)=0$.

Concluya que vale la siguiente \emph{identidad de Möbius}:
  \[
  \sum_{d\mid n}\mu(d) = 
    \begin{cases}
      1, & \text{si $n=1$;} \\
      0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
                        
\item Sea $n\in\NN$. Sea $G_n=\{w\in\CC:w^n=1\}$ el conjunto de las raíces
$n$\nobreakdash-ésimas de la unidad y sea $G_n^*\subset G_n$ el
subconjunto de $G_n$ formado por aquellas que son primitivas. Recordemos
que
  \(
  X^n-1=\prod_{\omega\in G_n}(X-\omega)
  \).
Definimos el polinomio $\Phi_n\in\CC[X]$ como
  \[
  \Phi_n=\prod_{\omega\in G_n^*}(X-\omega).
  \]
Muestre que
  \(
  X^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X)
  \)
y, usando eso, que
  \[
  \Phi_n = \prod_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(d)}.
  \]
Concluya que $\Phi_n\in\ZZ[X]$.

\item Muestre que si $q\in\ZZ\setminus\{1\}$ y $n,\,r\in\NN$ son tales que
$r\mid n$, entonces
  \[
  \Phi_n(q)\mathrel{\Big|}\frac{q^n-1}{q^r-1}.
  \]

\item Sea $D$ un anillo de división finito y sea $F$ su centro. Muestre que $F$
es un cuerpo y que $D$ es un $F$-espacio vectorial de dimensión finita. Sean
$q=\abs{F}$ y $n=\dim_F D$, de manera que $\abs{D}=q^n$ y
$\abs{D^\times}=q^n-1$.

\medskip

\noindent Supongamos que $D$ no es conmutativo, con lo cual $n>1$.

\medskip

\item Sea $a\in D$ y sea
  \[
  \C(a)=\{d\in D:da=ad\}.
  \]
Muestre que $\C(a)$ es un subanillo de $D$ que es de división y que contiene a
$F$. Otra vez, se trata de un $F$-espacio vectorial. Sea $r(a)=\dim_F\C(A)$, con lo cual
$\abs{\C(a)}=q^{r(a)}$ y $\abs{\C(a)^\times}=q^{r(a)}-1$. Como
$\C(a)^\times$ es un subgrupo de $D^\times$, se deduce que $q^{r(a)}-1\mid q^n-1$.
Concluya que $r(a)\mid n$.

\item Muestre que si $a\in D^\times$ entonces la clase de conjugación de $a$ en
el grupo $D^\times$ tiene cardinal
  \[
  \abs{\cl(a)} = \frac{q^n-1}{q^{r(a)}-1}.
  \]

\item Sean $a_1,\dots,a_l$ representantes de las clases de conjugación no
triviales de $D^\times$, y sea $r_l = r(a_l)$. Pruebe que la ecuación de clases para 
$D^\times$ es:
  \[
  q^n-1 = q-1 + \sum_{i=1}^l\frac{q^n-1}{q^{r_l}-1},
  \]
y que $\Phi_n(q)\mid(q-1)$. 

\item En particular,
  \[
  q-1\geq\abs{\Phi_n(q)}=\prod_{\omega\in G_n^*}\abs{q-\omega}. 
  \]
Muestre que esto es imposible.
\end{ejitems}


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\end{ejercicios}
\end{document}
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