%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{2}
\Titulo{Grupos - Segunda Parte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\renewcommand\k{\Bbbk}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\ev}{ev}
\DeclareMathOperator{\inn}{inn}
\DeclareMathOperator{\chr}{char}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\sg}{sg}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Grupos parte II%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%La venganza%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $X$ un conjunto. Dado $x_0\in X$ definimos
  \[
  \ev_{x_0}:f\in G^X\mapsto f(x_0)\in G.
  \]
Mostrar que se trata de un morfismo de grupos. Determinar su núcleo e imagen.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que cualquiera sea el grupo $G$, existe un isomorfismo entre $G$ y su grupo
	opuesto.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ y $H$ grupos, y sea $\hom_{\Grp}(G,H)$ el conjunto de todos los morfismos
de grupos $f : G\to H$. ¿Se trata en general de un subgrupo de $H^G$? Encuentre 
condiciones sobre	$H$ que garanticen que lo sea.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que el grupo $\HH$ del ejercicio~\textbf{2} y el grupo $\HH_2$ del
	ejercicio~\textbf{15} de la guía $1$ son isomorfos.

%%%%%%%%%%
\item\label{hom:inner} Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}

\item Dado $g\in G$, sea $\inn_g:h\in G\mapsto ghg^{-1}\in G$. Mostrar
que $\inn_g\in\Aut(G)$.

\item Mostrar que la aplicación $\inn:g\in
G\mapsto\inn_g\in\Aut(G)$ es un morfismo de grupos.

\item Describir el núcleo de $\inn$. Los automorfismos que están
en la imagen de $G$ se llaman \emph{automorfismos interiores} y la imagen misma
se denota $\Inn(G)$.

\item\label{hom:inner:normal} Mostrar que $\Inn(G)$ es un subgrupo
normal de $\Aut(G)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo finito. Supongamos que existe $f \in \Aut(G)$ tal que $f^2 = 
\id_G$ y $f$ no deja fijo ningún elemento de $G$ salvo el neutro. Probar que $f(g) = 
g^{-1}$ para todo $g \in G$, y $G$ es abeliano de orden impar.

\begin{Indicacion}
Muestre que la aplicación $\phi:g\in G\mapsto g^{-1}f(g)\in G$ es biyectiva y que
$f(g)=g^{-1}$ escribiendo a $g$ en la forma $h^{-1}f(h)$ para algún elemento $h$ de $G$.
\end{Indicacion}

\begin{Solucion}
Si $\phi(g)=\phi(h)$, es $g^{-1} f(g) = h^{-1} f(h)$ y vemos que
$hg^{-1}=f(h)f(g^{-1})=f(hg^{-1})$. Luego $hg^{-1}$ queda fijo por $f$ y debe
ser $h=g$. Hemos mostrado, así, que $\phi$ es inyectiva. Como $G$ es finito,
esto implica que es también sobreyectiva.

Sea ahora $g\in G$. Como $\phi$ es sobreyectiva, existe $h\in G$ tal que
$g=h^{-1}f(h)$. Entonces
  \[
  f(g)=f(h^{-1}f(h)) = f(h^{-1})h = (h^{-1}f(h))^{-1})=g^{-1}.
  \]
Luego $f$ coincide con la inversión de $G$. Es fácil ver, ahora, que como $f$ es
un morfismo, $G$ debe ser abeliano.

Finalmente, como $f^2=1$ y $f$ deja exactamente un punto fijo, es claro que
$\abs{G}$ debe ser impar.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo. Un subgrupo $H$ de $G$ se dice \emph{característico} si
	$f(H)\subset H$ para todo $f \in \Aut(G)$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item Si $H\subset G$ es un subgrupo característico entonces $f(H)=H$ para todo
	$f\in\Aut(G)$.

\item $\Z(G), [G,G]$ y $\Phi(G)$ son subgrupos característicos de $G$.

\item Si $H$ es un subgrupo característico entonces $H$ es normal en $G$.

\item Si $H$ es el único subgrupo de $G$ de orden $|H|$ entonces es característico.

\item Si $H$ es un subgrupo característico de $G$ y $K$ es un subgrupo característico de
	$H$, entonces $K$ es un subgrupo característico de $G$. Comparar con el
	ejercicio~\textbf{32} de la práctica 1.

\item Un subconjunto $N \subset G$ se dice característico si $f(N)\subset N$ para todo
$f \in \Aut(G)$. Probar que si $N \subset G$ es un subconjunto característico entonces
 $\gen{N}$ y $\C(N)$ son subgrupos característicos de $G$.
\end{ejitems}

\noindent Un subgrupo $H$ de $G$ se dice \emph{totalmente característico} si 
$f(H)\subset H$ para cada $f\in\End(G)$.

\begin{ejitems}[resume]
\item Probar que un subgrupo totalmente característico es característico.
\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ totalmente característico. Sea
$\phi\in\Aut(G)$ y supongamos que $\phi(H)\subsetneq H$. Entonces aplicando
$\phi^{-1}$ a esta inclusión vemos que $H\subsetneq\phi^{-1}(H)$. Pero esto
contradice la hipótesis de ser $H$ totalmente característico.~\qed
\end{Solucion}

\item Dar ejemplos de un subgrupo totalmente característico y de un subgrupo
 característico pero no totalmente característico.

\begin{Solucion}
Si $G$ es un grupo y $n\in\ZZ$, los subgrupos $\gen{g^n:g\in G}$ y
$\gen{g:\abs{g}<\infty}$ son totalmente característicos. Si $G$ es abeliano, el
conjunto de elementos de orden $n$ es totalmente característico.

El centro de un grupo, en general, no es totalmente característico. Veamos un
ejemplo de esto. Sea $G=\GL_2(\QQ)$. Si $g\in G$, entonces existen enteros
impares $s$ y $t$ y un entero $\nu(g)$ tales que $\det g=2^{\nu(g)}s/t$. Es
claro que $s$, $t$ y $\nu(g)$ están claramente unívocamente determinados por
$g$. Usando esto, es fácil ver que $\nu:G\to\ZZ$ es un morfismo de grupos.

Consideremos la aplicación $f:G\to G$ tal que si $g\in G$ es
  \[
  f(g) = \begin{pmatrix} 1 & \nu(g) \ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  \]
Se trata de un morfismo de grupos.

Ahora bien, podemos ver que $f(\Z(G))\not\subset\Z(G)$. Por ejemplo, el
elemento $\left(\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right)$ es central
en~$G$ pero $f(g)=\left(\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}\right)$ no
está en $\Z(G)$.~\qed
\end{Solucion}

\item Demostrar que todos los subgrupos de un grupo cíclico son totalmente 
característicos. ¿Vale la recíproca?

\begin{Solucion}
No. Considerar $G_{p^\infty} = \bigcup_{n \geq 1} G_{p^n}$. Todo subgrupo es de la forma 
$G_{p^n}$, y es totalmente característico. Sin embargo, como todo elemento tiene orden
finito, $G_{p^\infty}$ no es cíclico.
\end{Solucion}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Sea $G$ un grupo y sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ de índice finito. Probar que 
$L=H \cap K$ también tiene índice finito.

\begin{Indicacion}
Para verlo muestre que es posible definir una aplicación $\phi:G/L\to G/H\times
G/K$ inyectiva.
\end{Indicacion}

\begin{Solucion}
Hay que mostrar primero que $\phi$ está bien definida. Supongamos que $x, y\in
G$ son tales que $xL=yL$. Entonces $x^{-1}y\in L=H\cap K$, así que
$xH=xx^{-1}yH=yH$; de forma similar vemos que  $xK=yK$. 

Para terminar, basta mostrar que $\phi$ es inyectiva. Supongamos que $x, y\in G$
son tales que $\phi(xL)=\phi(yL)$, es decir, es $xH=yH$ y $xK=yK$. Entonces
$x^{-1}y\in H$ y a la vez $x^{-1}y\in K$. Luego $x^{-1}y\in L$ y, por supuesto,
esto implica que $xL=yL$.~\qed
\end{Solucion}

\item Deducir de lo anterior que el conjunto de elementos de un grupo que poseen un 
número finito de conjugados es un subgrupo característico.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo. Si $g\in G$, entonces claramente $\abs{\cl{g}}=[G:\C(g)]$.
Luego el conjunto en cuestión es $H=\{g\in G:[G:\C(g)]<\infty\}$.

Es claro que $\C(g)=\C(g^{-1})$ cualquiera sea $g\in G$, así que $H$ es cerrado
por la inversión de $G$. Por otro lado, si $g, h\in H$, entonces 
  \(
  \C(gh)\supset\C(g)\cap\C(h)
  \).
Como $g, h\in H$, $\C(g)\cap\C(h)$ tiene índice finito en $G$ por el punto
anterior y, claramente, esto implica que $\C(gh)$ tiene índice finito. Esto
muestra que $H$ es en efecto un subgrupo de $G$.

Que $H$ es característico sigue inmediatamente que para cada $f\in\Aut(G)$,
$[G:\C(g)]=[G:\C(f(g))]$.~\qed
\end{Solucion}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $f:G\to H$ un morfismo de grupos.
\begin{ejitems}

\item Probar que si $H$ es abeliano, entonces $[G,G]\subset\ker f$.
\begin{Solucion}
Por definición $[G,G]$ es el menor grupo que contiene a todos los elementos de la
forma $ghg^{-1}h^{-1}$ con $g,h \in G$. Ahora $f(ghg^{-1}h^{-1}) = f(g)f(h)f(g)^{-1}
f(h)^{-1} = f(g)f(g)^{-1}f(h)f(h)^{-1} = e_H$, donde la segunda igualdad vale porque 
$H$ es abeliano. En particular $\ker f$ contiene a todos los generadores de $[G,G]$, y
por lo tanto contiene a $[G,G]$
\end{Solucion}

\item Probar que $f([G,G])\subset [H,H]$. En particular $[G,G]$~es un subgrupo 
característico de~$G$.
\begin{Solucion}
Sea $H' = H/[H,H]$ y sea $\pi: H \to H'$ la proyección al cociente. Como $H'$ es 
abeliano, $\pi \circ f([G,G]) = e_{H'}$, es decir que $f([G,G]) \subset \ker \pi = 
[H,H]$.
\end{Solucion}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $f:G\to H$ un morfismo de grupos. ¿Es cierto en general que $f(\Z(G))\subset 
\Z(H)$? En caso negativo dar condiciones suficientes que garanticen esta inclusión. Bajo
esas condiciones, ¿es cierto que $f(\Z(G))=\Z(H)$?

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que la función $\ev_1:f\in\hom_\Grp(\ZZ,G) \mapsto f(1)\in G$ es una 
biyección.

\item Describir $\hom_\Grp(\ZZ^2,G)$ y $\hom_\Grp(\ZZ_n,G)$ para cada $n \in \NN$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Determinar $\hom_\Grp(\QQ,\ZZ)$ y $\hom_\Grp(\QQ,G)$ para un grupo finito $G$.

\item Describir la imagen $D(G)$ de $\ev_1: f\in\hom_\Grp(\QQ,G)\mapsto f(1)\in G$.

\item Mostrar que cuando $G$ es abeliano, $D(G)$ es un subgrupo característico de $G$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo. 
\begin{ejitems}

\item Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre $G$
para que la aplicación $(g,h)\in G\times G\mapsto gh\in G$ resulte un
morfismo de grupos.

\item Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre $G$
para que la aplicación $g\in G\mapsto g^{-1}\in G$ resulte un morfismo de
grupos.

\item Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre $G$
para que la aplicación $g\in G\mapsto g^2\in G$ resulte un morfismo de
grupos.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $m,n\in\NN$. Probar que si $(m,n)=1$ entonces $\hom_\Grp(\ZZ_m,\ZZ_n)$ es 
trivial. ¿Qué sucede en general?

%%%%%%%%%%
\item\label{phi-split} Sea $G$ un grupo finito y sea $\phi:G\to G$ un endomorfismo de 
$G$.
\begin{ejitems}
\item Probar que existe $n \in \NN$ tal que $\phi^m(G) = \phi^n(G)$ para todo $m \geq n$.

\begin{Solucion}
Tenemos una cadena decreciente de subgrupos de $G$:
  \[
  G\supset \phi(G)\subset \phi^2(G) \supset\cdots
  \]
Como $G$ es finito, esta cadena tiene que estacionarse.~\qed
\end{Solucion}

\item Tomamos $n$ como en el ítem anterior. Mostrar que $\im \phi^n$ no siempre es 
normal.
\begin{Solucion}
Hay un morfismo $\phi:S_3\to S_3$ tal que $\phi((i\,j))=(1\,2)$ cualquiera
sea la transposición $(i\,j)\in S_3$. Es fácil ver que
$\phi^1(G)=\phi^k(G)=\gen{(1\,2)}$ para todo $k\geq1$. Luego $\alpha=\phi$ y
claramente $\im\alpha$ no es normal.
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item* Usando el hecho que $\GL_2(\ZZ_2)$ permuta los elementos no nulos de $\ZZ_2^2$, 
encuentre un isomorfismo $\GL_2(\ZZ_2)\cong S_3$.

\begin{Solucion}
Si $g\in\GL_2(\ZZ_2)$, podemos definir una aplicación
$\phi(g):v\in\ZZ_2^2\mapsto gv\in\ZZ_2^2$ dada por el producto matricial. Como
$\det g\neq0$, $\phi(g)$ es una biyección tal que $\phi(g)(0)=0$. Luego
$\phi(g)$ preserva $\ZZ_2^2\setminus0$ y la restricción a este conjunto es una
biyección. Es claro que la aplicación $\phi':g\in\GL_2(\ZZ_2)\mapsto
\phi(g)|_{\ZZ_2^2\setminus0}\in S(\ZZ_2^2\setminus0)$ es un morfismo de
grupos.

Casi por definición este morfismo es inyectivo. Contando, vemos que
$\GL_2(\ZZ_2)$ tiene $6$ elementos, así que $\phi'$ debe ser un
isomorfismo.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo y sea $X\subset G$ un subconjunto tal que
$\gen{X}=G$. Sea $f\in\End(G)$ tal que $f(x)=x$ para todo elemento $x\in X$.
Probar que $f=\id_G$.

\begin{Solucion}
Basta mostrar que $f(g)=g$ cualquiera sea $g\in G$. Sea entonces $g\in G$. Como
$X$~genera a $G$, existen $x_1,x_2,\dots,x_n\in X$ tal que $g=x_1x_2\cdots x_n$.
Entonces $f(g)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=x_1x_2\cdots x_n=g$.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $X$ el conjunto de los elementos de orden $2$ de $S_3$.
Muestre que cada automorfismo de $S_3$ induce una permutación de $X$ y deduzca que
$\Aut(S_3)\cong S_3$.

\begin{Solucion}
Definimos $\phi:S_3\to S(X)$ de manera que si $g\in S_3$ y $x\in X$,
$\phi(g)(x)=gxg^{-1}$. Es fácil ver que se trata de un morfismo de grupos.
Como $\gen{X}=G$, usando la parte anterior concluimos que $\phi$ es inyectivo.
Como $\abs{X}=3$, es $\abs{S_3}=\abs{S(X)}=3!$ y $\phi$ debe ser un
isomorfismo.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item*\header{Automorfismos de $\HH$}
\begin{ejitems}

\item Determine todos los automorfismos interiores de $\HH$.

\item Dé ejemplos de automorfismos de $\HH$ no interiores.

\item Muestre que $\Aut(\HH)\cong S_4$.
  \[
  \includegraphics[height=1in]{cuaterniones-cubo}
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que
\begin{ejitems}
\item $\CC^\times/\RR^+\cong S^1$;
\item $\ZZ/m\ZZ\cong \ZZ_m$ cualquiera sea $m\in\NN$;
\item $\GL_n(\k)/\SL_n(\k)\cong \k^\times$ si $\k$ es un cuerpo y $n\in\NN$;
\item $S^1/\GG_n\cong S^1$ si $n\in\NN$;
\item si $m|n$, $\GG_n/\GG_m\cong \GG_{n/m}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Probar que si $G$ es un grupo no abeliano entonces $G/\Z(G)$ no es cíclico.

\begin{Indicacion}
Use el ejercicio~\textbf{25} de la práctica 1.
\end{Indicacion}

\begin{Solucion}
En caso contrario, existiría $g\in G$ tal que $G=\gen{x,\Z(G)}$. Como claramente
$\gen{x,\Z(G)}=(x)\,\Z(G)$, el ejercicio~\textbf{25} tendríamos que
$G$ es abeliano.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item\label{quot:g-over-zg} Muestre que $G/\Z(G)\cong\Inn(G)$.

\begin{Solucion}
Es claro que la applicación $\inn:G\to\Aut(G)$ considerada en~\ref{hom:inner}
tiene a $\Z(G)$ como núcleo y, por definición, $\Inn(G)=\im\inn$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es un grupo y $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, muestre que
hay un morfismo inyectivo $G/(H\cap K) \to G/H\times G/K$. ¿Cuándo es un isomorfismo?

%%%%%%%%%%
\item Recordemos que en el ejercicio~\ref{hom:inner:normal} vimos que para todo grupo
$G$ el grupo $\Inn(G)$ es normal en $\Aut(G)$. Se define el grupo $\Out(G)$ de 
\emph{automorfismos exteriores} de~$G$ como el cociente $\Aut(G)/\Inn(G)$.
Determinar $\Out(G)$ cuando $G \in \{S_3, S_4, \HH\}$. 

\emph{Observación:} Los elementos de $\Out(G)$ \emph{no} son automorfismos de $G$.

\begin{Solucion}%
\def\T{\mathcal{T}} 
Sea $\T=\{(1\,2),\,(1\,3),\,(2\,3)\}$ el conjunto de las $3$ transposiciones de
$S_3$, que es precisamente el subconjunto de $S_3$ formado por los elementos de
orden $2$. Si $f\in\Aut(G)$ y $t\in\T$, entonces $f(t)^2=1$ así que $f(t)\in\T$;
vemos así que $f(\T)\subset\T$ y, como $f$ es biyectiva, que $f$ se restringe a
$\T$ y da un elementpo $f|_\T\in S(\T)$. Es claro que obtenemos de esta forma un
morfismo $\phi:f\in\Aut(S_3)\mapsto f|_\T\in S(\T)$. Más aún, como $\T$
genera a $S_3$, $\phi$ es inyectivo y, en particular, $\abs{\Aut(S_3)}\leq 3!$.

Como $\Z(S_3)=1$, \ref{quot:g-over-zg}~nos dice que
$\abs{\Inn(S_3)}=\abs{S_3/\Z(S_3)}=3!$. Comparando cardinales, vemos que
$\Inn(S_3)=\Aut(S_3)$ y, entonces, que $\Out(S_3)=1$.

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo no normal. Mostrar que el conjunto
de coclases izquierdas de $H$ en $G$ no forma un grupo bajo la multiplicación
usual.

\begin{Solucion}
Supongamos que $G/H$ es un grupo. 
El único elemento idempotente de un grupo es el neutro, así que, como $HH=H$
porque $H$ es un subgrupo de $G$, vemos que $H$ es el elemento neutro de $G/H$.
Entonces, cualquiera sea $g\in G$, debe ser $HgH=gH$, o, equivalentemente,
$g^{-1}HgH=H$. Como por supuesto $H\supset\{1\}$, es $H=g^{-1}HgH\supset
g^{-1}Hg\{1\}=g^{-1}Hg$. La arbitrariedad de $g$ implica que $H$ es normal.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $n \in \NN$ y sea $\{e_i \mid 1 \leq i \leq n\}$ la base canónica de $\RR^n$.
Para cada $\tau \in S_n$ definimos $p_\tau \in M_n(\RR)$ como la matriz cuya $i$-ésima 
columna es el vector $e_{\tau(i)}$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $\det p_\tau = \pm 1$.
\begin{Solucion}
Consdeiremos el producto interno usual en $\RR^n$. La transformación lineal dada por la
matriz $p_\tau$ envía una base ortonormal en una base ortonormal, y por lo tanto es 
ortogonal, en particular su determinante es $\pm 1$.
\end{Solucion}

\item La función $\tau \in S_n \mapsto p_\tau \in \GL_n(\RR)$ es un morfismo inyectivo 
  de grupos.
\begin{Solucion}
Sean $\tau, \sigma \in S_n$. Entonces $p_\tau p_\sigma e_i = p_\tau e_{\sigma(i)} = 
e_{\tau(\sigma(i))} = p_{\tau \circ \sigma} e_i$, es decir, la $i$-ésima columna de 
$p_\tau p_\sigma$ coincide con la $i$-ésima columna de $p_{\tau\sigma}$ y por lo tanto
ambas matrices son iguales, con lo cual la asignación es un morfismo de grupo.

Por otro lado si $\tau \neq \sigma$ entonces existe un $i 
\in [n]$ tal que $\tau(i) \neq \sigma(i)$, por lo tanto $p_\tau e_i = e_{\tau(i)} \neq 
e_{\sigma(i)} = p_\sigma e_i$, en particular $p_\tau \neq p_\sigma$ y la función es
inyectiva. 
\end{Solucion}

\item La función \emph{signo} $\sg: \tau \in S_n \mapsto \det p_\tau \in \{\pm 1\}$ es
  un morfismo de grupos. En particular $A_n = \ker \sg$ es un subgrupo propio normal de 
  $S_n$, llamado el $n$-ésimo \emph{grupo alternante}.
\begin{Solucion}
Sabemos que $\det(AB) = \det A \det B$, i.e. $\det: \GL_n(\RR) \to \RR$ es un morfismo 
de grupos. Como $\sg = \det \circ (\tau \mapsto p_\tau)$ es composición de morfismos de 
grupo, entonces también lo es.
\end{Solucion}

\item Si $\tau = (i\,j)$ entonces $\sg \tau = -1$. Deduzca que $\sg \tau = 1$, resp. 
$-1$, si y solo si $\tau$ se escribe como composición de un número par, resp. impar, de 
transposiciones.
\item Probar que $[S_n, S_n] = A_n$, y calcular $[A_n,A_n]$ y $\Z(A_n)$.
\end{ejitems}

\item\header{Automorfismos de $S_n$} Dado $g \in S_n$, notamos por $\cl(g)$ a la clase 
de conjugación de $g$.
\begin{ejitems}
\item Sea $\phi\in\Aut(S_n)$ y sea $g=(1\,2\,3)$. Mostrar que $\phi(g)$ es un
producto de $3$-ciclos disjuntos, que $\phi(\cl(g))\subset\cl(\phi(g))$ y que,
de hecho, la restricción $\phi:\cl(g)\to\cl(\phi(g))$ es una biyección.

\item Mostrar que
  \[
  \abs{\cl(g)} = \frac{n!}{3(n-3)!}
  \]
y que si $\phi(g)$ es producto de $r$ $3$-ciclos disjuntos, 
  \[
  \abs{\cl(\phi(g))} = \frac{n!}{3^rr!(n-3r)!}.
  \]

\item Mostrar que o bien $r=1$ o bien $r=2$ y $n=6$.
\end{ejitems}

\noindent Supongamos desde ahora que $n\neq6$.

\begin{ejitems}[resume]

\item Mostrar que la imagen de todo $3$-ciclo por $\phi$ es un $3$-ciclo.

\item Sea $3\leq i\leq n$ y supongamos que $\phi((1\,2\,3)) = (\alpha\,\beta\,\gamma)$ 
y $\phi((1\,2\,i))=(\alpha'\,\beta'\,\gamma')$. Mostrar que 
$(\alpha\,\beta\,\gamma)(\alpha'\,\beta'\,\gamma')$ tiene orden dos y concluir que
$\abs{\{\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta',\gamma'\}}=4$.

\item Mostrar que existen $\alpha,\beta,\gamma_3,\dots,\gamma_n$ distintos de
manera que $\phi((1\,2\,i))=(\alpha\,\beta\,\gamma_i))$ para cada $3\leq i\leq n$.

\item Sea $\pi\in S_n$ tal que $\pi(1)=\alpha$, $\pi(2)=\beta$ y
$\pi(i)=\gamma_i$ para cada $3\leq i\leq n$. Mostrar que $\phi(x)=\pi x
\pi^{-1}$.

\item Mostrar que $\inn:S_n\to\Aut(S_n)$ es un isomorfismo.

\item Determine $\Aut(S_6)$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}
\end{document}

