%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{1}
\Titulo{Grupos - Primera Parte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\renewcommand\k{\Bbbk}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\ev}{ev}
\DeclareMathOperator{\inn}{inn}
\DeclareMathOperator{\chr}{char}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hyphenation{si-gui-en-tes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Definiciones y ejemplos}

\begin{ejercicios}


% \end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section{Ejemplos}

% \begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $n\in\NN$ y sea $\GG_n = \{z\in\CC : z^n=1\}$. Probar que $\GG_n$ con el
	producto de $\CC$ es un grupo abeliano cíclico.

\item Sea $S^1=\{z \in \CC : \abs{z} = 1\}$. Probar que $S^1$ con el producto
	de~$\CC$ es un grupo abeliano. ¿Es cíclico?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\label{ex:hh} 
Sea $\HH$ el conjunto de $8$ elementos $\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ dotado del
producto dado por las siguientes ecuaciones:
\begin{gather*}
  \begin{aligned}
  i\cdot j &= k, & j \cdot k &= i, & k \cdot i &= j, \\
  j\cdot i &= -k, & k \cdot j &= -i, & i \cdot k &= -j, 
  \end{aligned} \\
  i\cdot i = j\cdot j = k\cdot k = -1,
\end{gather*}
y la regla usual de los signos. Probar que $(\HH,\cdot)$ es un grupo no abeliano.
Llamamos a $\HH$ el \emph{grupo de cuaterniones}. El siguiente diagrama permite recordar
la tabla de multiplicación de~$\HH$.
  \[
  \begin{xy} /r2pc/:
  \def\name{\ifcase\xypolynode\or i\or j\or k\fi}
  \xypolygon3"a"{~*{\name}~><{@{->}@/_1.25em/}}
  \end{xy}
  \]

%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo y $n\in\NN$. Se definen
\begin{gather*}
	\GL_n(\k) = \{ A\in M_n(\k) \mid \det A \neq 0 \} \\
		\shortintertext{y}
	\SL_n(\k) = \{ A\in M_n(\k) \mid \det A = 1 \}.
\end{gather*}
Probar que, dotados de la multiplicación usual de matrices, estos dos conjuntos
resultan ser grupos. Describirlos para $n=1$. ¿Cuándo son abelianos?

%%%%%%%%%%
\item\header{Grupo opuesto}
Sea $G$ un grupo. Sea $(G^\op, \cdot)$ donde $G^\op = G$ como conjunto, y la operación 
está dada por
 \[
  \cdot:(g,h)\in G^\op\times G^\op\mapsto hg\in G^\op.
\]
Probar que $(G^\op,\cdot)$ es un grupo.


%%%%%%%%%%
\item\header{Exponentes pequeños} El \emph{exponente} de un grupo $G$ es el
menor número natural $e$ tal que para todo $g \in G$ se tiene $g^e = 1$.
\begin{ejitems}
\item Probar que un grupo $G$ tal que $g^2=1$ para todo~$g\in G$ es abeliano.

\item ¿Qué puede decir si el exponente del grupo es $3$?
\end{ejitems}
\begin{Solucion}
Supongamos que $G$ es un grupo no abeliano tal que $g^3=1$ para todo $g\in G$ y
supongamos que no posee subgrupos propios con esta propiedad. Entonces existen
elementos $x$, $y\in G$ tales que $xy\neq yx$ y debe ser $G=\gen{x,y}$.

Notemos que si $u, v\in G$, entonces $(uv)^3=uvuvuv=1$, de manera que
  \[
  uvu=v^{-1}u^{-1}v^{-1}, \qquad\forall u,\,v\in G.
  \]

Sea $z=y^{-1}x^{-1}yx$, de manera que $yx=xyz$. Entonces
\begingroup
  \def\i{^{-1}}
  \begin{align*}
  yzy\i z\i
    &= y \cdot y\i x\i y x \cdot y\i \cdot x\i y\i x y 
     = x\i y \underbrace{x} y\i x\i y\i x y \\
    &= \underbrace{x\i y x\i} x\i y\i x\i y\i x y 
     = y\i x y\i \underbrace{x\i y\i x\i} y\i x y \\
    &= y\i x y\i \underbrace{yxy} y\i x y 
     = y\i x^3y  = 1
\intertext{y}
  xzx\i z\i
    &= x \cdot y\i x\i y x \cdot x\i \cdot x\i y\i x y
     = x y\i x\i \underbrace{y} x\i y\i x y \\
    &= x \underbrace{y\i x\i y\i} y\i x\i y\i x y 
     = x xyx \underbrace{y\i x\i y\i} x y \\
    &= x xyxxyxxy 
     = (x^2y)^3 = 1
  \end{align*}
\endgroup
Vemos así que $x$ e $y$ conmutan con $z$. 

Usado esto es fácil ver que todo elemento de $G$ puede escribirse en la forma
\(x^iy^jz^k\) con $0\leq i,j,k\leq 2$.

Calculando vemos que
  \(
  [x^iy^jz^k, x] = z^j
  \)
y que 
  \(
  [x^iz^k, y] = z^{2i}
  \).
Entonces, si $x^iy^jz^k = x^{i'}y^{j'}z^{k'}$, tenemos que
  \[
  z^j = [x^iy^jz^k,x] = [x^{i'}y^{j'}z^{k'},x] = z^{j'}
  \]
y, como $z\neq1$, esto implica que $j=j'$. Luego debe ser 
$x^iz^k = x^{i'}z^{k'}$ y
  \[
  z^{2i} = [x^iz^k,y] = [x^{i'}z^{k'},y] = z^{2i'}
  \]
y vemos que $i=i'$. Por supuesto, debe ser entonces $k=k'$. Hemos probado que la
escritura de un elemento de $G$ en la forma $x^iy^jz^k$ es \emph{única}. En
particular, $G$ posee $27$ elementos.

Calculando, vemos que
  \[
  x^iy^jz^k \cdot x^{i'}y^{j'}z^{k'}
    = x^{i+i'}y^{j+j'}z^{k+k'+i'j}.
  \]
Es fácil ver que esta fórmula define de hecho un grupo no abeliano en el que
todo elemento tiene orden $3$.

Notemos que podemos describir este grupo a menos de isomorfismo como
$(\ZZ_3\oplus\ZZ_3)\rtimes_\theta\ZZ_3$ con
$\theta:\ZZ_3\to\Aut(\ZZ_3\oplus\ZZ_3)$ determinado por la condición de que 
  \[
  \theta(1) = \begin{pmatrix} 
                1 & 1 \\ 
                0 & 1 
              \end{pmatrix}.
  \]
Imitando esta construcción es posible contruir ejemplos de grupos no abelianos
en los que todos los elementos tienen orden $p$ para cada número primo $p$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Encontrar todos los grupos de orden a lo sumo~$6$.
\begin{Solucion}
Usamos varias veces que si $gh = g$ entonces $h = e$, el neutro del grupo.

Un grupo de orden $2$ tiene dos elementos distintos $e,g$ donde $e$ es el neutro. Como 
$g^{-1} \neq e$, el elemento $g$ es su propio inverso y $g^2 = e$. Luego el grupo es cíclico, isomorfo a $\ZZ_2$.

Si $|G| = 3$ entonces $G = \{e,g,g'\}$. Como $g \neq e \neq g'$, se tiene $g \neq gg' 
\neq g$, luego $gg' = e$ y $g' = g^{-1}$. Luego $g^2 \neq e$, porque entonces $g = g^{-1}
= g'$, luego $g^2 = g'$ y el grupo es cíclico de orden $3$.

Si $|G| = 4$ el grupo puede ser cíclico y en ese caso isomorfo a $\ZZ_4$. Si no es cíclico, tenemos $G = \{e,g,g',g''\}$ con todos los elementos distintos de $e$ de orden 
$2$. Por el ejercicio anterior el grupo es conmutativo, y deducimos que $G \cong \ZZ_2 
\times \ZZ_2$.

Si $|G| = 5$ la única opción es $\ZZ_5$. Sea $g \in G \setminus \{e\}$, estudiemos el 
conjunto $\gen{g} = \{g^n \mid n \ZZ\} \subset G$. Afirmo que este conjunto es igual 
a $G$. De no ser así existe $h \in G$ que no es una potencia de $g$, y $h\gen{g} \cap \gen{g} = \emptyset$, de lo contrario $hg^i = g^j$ y $h = g^{j-i}$. Si $\gen{g}$ tiene al menos tres elementos, $\gen{g} \cup h\gen{g}$ tiene seis elementos distintos, lo cual es imposible, luego $g^2 = 1$. Como $g$ era arbitrario todo elemento de $G$ debe tener orden $2$, y $G = \{e,g,h,hg,k\}$. Pero entonces $hk \in \{e,g,h,hg\}$ y cada opción lleva a una contradicción. Luego $\geqn{g} = G$ y $G$ es cíclico.

Si $|G| = 6$ entonces tenemos como ejemplos obvios $\ZZ_6, \ZZ_2 \times \ZZ_3$. 
Supongamos que $G$ no es cíclico; el mismo argumento que en el caso anterior muestra que 
$\gen{g}$ no puede tener más de $3$ elementos. Si tiene $3$ entonces elegimos un 
elemento $h$ que no sea potencia de $g$ y en ese caso $G = \{1,g,g^2, h, hg, hg^2\}$. 
Tenemos que $h^2 \in \{1,g,g^2\}$. Si $h^2 = g$ entonces $G = \gen{h}$ y si $h^2 = g^2$ 
entonces $h^4 = g$ y también $G = \gen{h}$, contradiciendo la hipótesis de que $G$ no es cíclico. Luego $h^2 = 1$. Analizando por casos vemos que $gh = hg$ o $gh = hg^2$. En el primer caso el grupo es abeliano y es facil ver que es isomorfo a $\ZZ_2 \times \ZZ_3$, con $h\mapsto (1,0); g\mapsto(0,1)$. En el otro caso $G \cong S_3$. Finalmente, si todo elemento tiene orden $2$ entonces $G$ es abeliano, y tomamos $g,h \in G$ distintos, y 
$A = \{1,g,h,gh\} \subset G$. Tomando $k \in G \setminus A$ vemos que $A \cap kA = 
\emptyset$, lo cual implica que $8 = |A \cup kA| \leq |G| = 6$, contradicción.
\end{Solucion}
%%%%%%%%%%
\item 
\label{funciones-a-un-grupo}
Sean $G$ un grupo, $X$ un conjunto, y $G^X = \{f: X \to G\}$. Dotamos a este
	conjunto del producto dado por $(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ para todo $x
	\in X$. Probar que $G^X$ es un grupo. ¿Cuándo es abeliano?

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto directo}
Sean $G$ y $H$ grupos. Consideremos la operación $\cdot$ sobre el conjunto $K=G\times
H$ dada por
\[
	\cdot:\big((g_1,h_1),(g_2,h_2)\big)\in K\times K\mapsto (g_1g_2,h_1h_2)\in K.
\]
Probar que $(K, \cdot)$ es un grupo. Llamamos a $K$ el \emph{producto directo de $G$ y
$H$} y lo notamos $G\times H$.

%%%%%%%%%%
\item
\label{all-p}
\header{$\ZZ_p$-espacios vectoriales}

\begin{ejitems}
\item Sea $G$ un grupo abeliano y sea $p$ un número primo. Supongamos que todo elemento 
de $G$ distinto del neutro tiene orden $p$. Probar que es posible definir una 
acción $\cdot: \ZZ_p \times G\to G$ por escalares de $\ZZ_p$ de manera que 
$(G,+,\cdot)$ resulte un $\ZZ_p$-espacio vectorial.

\item Supongamos además que $G$ es finito. Probar que existe $n \in \NN_0$ tal que $G 
  \cong	(\ZZ_p)^n$ como grupos.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%
\item En cada caso encontrar un conjunto $X$ y una operación $\cdot: X \times X
	\to X$ que cumplan las condiciones pedidas.
\begin{ejitems}
	\item La operación es asociativa, pero no existe un elemento neutro para ella.
	\item La operación es asociativa y tiene elemento neutro, pero no todo
		elemento tiene inverso.
	\item La operación no es asociativa, pero tiene elemento neutro y todo elemento tiene
		inverso.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Subgrupos}


%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sea $H \subset G$ un subconjunto. Probar que las siguientes 
afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}
\item $H$ es un subgrupo de $G$;

\item $H$ es no vacío y dados $x,y\in H$ el elemento $xy^{-1}$ pertenece a $H$.
\end{ejitems}
Si además $H$ es finito, estas afirmaciones son equivalentes a:
\begin{ejitems}[resume]
\item\label{sub:criterio-finito} $H$ es no vacío y dados $x, y\in H$ el elemento
	$xy$ pertenece a $H$.
\end{ejitems}
Dar un contraejemplo para esta última equivalencia cuando $H$ es infinito.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H_1$ y $H_2$ subgrupos de $G$. Probar las siguientes 
afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $H_1\cap H_2$ es un subgrupo de $G$.

\item $H_1\cup H_2$ es un subgrupo de $G$ sii $H_1\subset H_2$ o $H_2\subset H_1$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Dado un grupo $G$, ¿es el subconjunto de elementos de orden finito un subgrupo de
	$G$?

%%%%%%%%%%
\item
\label{ex:subgrupo-generado} 
Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}
\item Sea $\mathcal H$ una familia de subgrupos de $G$. Probar que
$\bigcap_{H\in\mathcal{H}}H$ es un subgrupo de $G$.

\item Sea ahora $X\subset G$ un subconjunto arbitrario. Probar que existe un menor
	subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Describirlo en términos de los elementos de $X$.
\end{ejitems}

\noindent El subgrupo cuya existencia se afirma en la segunda parte de este ejercicio se
denomina el \emph{subgrupo de $G$ generado por $X$} y se denota $\gen X$. Si
$X=\{x_1,\dots,x_r\}$, escribimos $\gen{x_1,\dots,x_r}$ en lugar de $\gen{ \{x_1, \dots,
x_r\}}$.

%%%%%%%%%%
\item*
\label{ex:hh-n} 
Sea $n \in \NN$ y sea $\omega\in\GG_{2^n}$ una raíz primitiva $2^n$-ésima. Consideremos
las matrices
\begin{align*}
  &R = \begin{pmatrix} 
        \omega & 0 \\ 
        0 & \omega^{-1} 
      \end{pmatrix},
  &
  &S = \begin{pmatrix}
        0 & -1 \\
        1 & 0
      \end{pmatrix}
\end{align*}
y sea $\HH_n = \gen{R, S}$ el subgrupo generado por $R$ y $S$ en $\GL_2(\CC)$. Llamamos
a~$\HH_n$ el \emph{$n$-ésimo grupo de cuaterniones generalizados}. Determinar el orden de
$\HH_n$ y listar sus elementos.

%%%%%%%%%%
\item
Sea $G=\GL_2(\RR)$ y sean $\alpha,\beta\in G$ dados por
\begin{align*}
	&\alpha = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},
	&&\beta = \begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}.
\end{align*}
Muestre que $\alpha^4=\beta^3=\id$, pero que $\alpha\beta$ tiene orden infinito.
Así, $\gen{\alpha,\beta}$ es infinito. Determínelo.

Este ejemplo muestra que finitos elementos de orden finito pueden generar un
subgrupo infinito.

\begin{Solucion}
\def\M#1#2#3#4{\left(\begin{smallmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{smallmatrix}\right)}
Escribamos $G=\gen{\alpha,\beta}$. Afirmamos que $G=\SL_2(\ZZ)$. Es 
$\alpha\beta=\M1101$, así que calculando vemos inmediatamente que
$\M1x01=(\alpha\beta)^x\in G$ para todo $x\in\ZZ$.

Sea $A=\M abcd\in\SL_2(\ZZ)$ y mostremos que $A\in G$ haciendo inducción sobre $m=c+d$. 

Como
  \begin{align*}
  &  A\alpha = \M b{-a}d{-c},
  && A\alpha^2 = \M{-a}{-b}{-c}{-d}, 
  && A\alpha^3 = \M {-b}{a}{-d}c,
  \end{align*}
podemos suponer que $c,d\geq0$ sin pérdida de generalidad.

Para empezar, si $m=1$, debe ser $A=\M ab01$ ó $A=\M ab10$. En el
primer caso debe ser $a=1$ y vemos que $A=(\alpha\beta)^b$. En el segundo debe
ser $b=-1$, y calculando vemos que $A=(\alpha\beta)^a\alpha$.

Supongamos que $m>1$. Notemos que debe ser $cd\neq0$. Si $c\geq d$, entonces es
  \[
  A\beta = \M{-b}{a-b}{-d}{c-d}.
  \]
Si $c=d$, entonces $d=1$ y $A\beta\alpha^2=\M b{b-a}10$, que sabemos ya que está
en $G$. Si, por otro lado, $c>d$, entonces $\abs{d}+\abs{c-d}<m$, así que
$A\beta$ está en $G$, por nuestra hipótesis inductiva.~\qed

\end{Solucion}

\item Si $G$ es un grupo y $A, B\subset G$ son subconjuntos, definimos
\begin{align*}
	AB=\{ab \mid a\in A, b\in B\}.
\end{align*}
Supongamos que $A$ y $B$ son subgrupos. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $AB$ es un subgrupo de $G$ sii $AB=BA$.

\item $G=AB$ sii $G=\gen{A,B}$ y $AB=BA$.

\item Si $AB=BA$ y $C\subset G$ es un subgrupo tal que $A\subset
C$, entonces $AB\cap C=A(B\cap C)$.

\item Si $G=AB$ y $C\subset G$ es un subgrupo tal que $A\subset
C$, entonces $C=A(B\cap C)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%
\subsection{El grupo simétrico $S_n$}
Fijamos $n \in \NN$ y notamos $[n] = \{1, 2, \ldots, n\}$. El grupo simétrico $S_n$ es el
grupo formado por todas las funciones $f:[n] \to [n]$ biyectivas, con la composición como
operación.

\item\header{Ciclos} Decimos que un elemento $\tau \in S_n$ es un ciclo si
 existe un conjunto $\{a_1, a_2,\ldots, a_r\} \subset [n]$ de forma que $\tau(a_i) = 
 a_{i+1}$	para $1 \leq i < r$, $\tau(a_r) = a_1$, y $\tau(x) = x$ si $x \notin \{a_1, 
 \ldots, a_n\}$. En ese caso escribimos $\tau = (a_1 \, a_2	\, \ldots\, a_r)$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\rho \circ (a_1\,a_2\,\ldots\,a_r) \circ \rho^{-1} =
	(\rho(a_1)\,\rho(a_2)\,\ldots\,\rho(a_r))$ para todo $\rho \in S_n$.

\item Dos ciclos $(a_1 \, a_2 \ldots\, a_r)$ y $(b_1\,\ldots\,b_s)$ se dicen disjuntos
si $\{a_1, \ldots, a_n\} \cap \{b_1, \ldots, b_m\} = \emptyset$. Probar que dos ciclos 
disjuntos conmutan entre sí. ¿Vale la recíproca?

\item Probar que todo elemento de $S_n$ se escribe como composición de ciclos disjuntos, 
y que los ciclos que aparecen en dicha composición están unívocamente determinados.
\end{ejitems}

\item*\header{Generación del grupo simétrico}
\begin{ejitems}
\item Probar que
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]
  \item $S_n=\gen{\{(i\,j) \mid 1\leq i<j\leq n\}}$;
  \item $S_n=\gen{\{(1\,i) \mid 1\leq i\leq n\}}$;
  \item $S_n=\gen{\{(i\;\;i+1) \mid 1\leq i<n\}}$;
  \item $S_n=\gen{(1\,2),\;(1\,2\,3\dots n)}$;
  \end{enumerate}

\item Sea $\mathcal T= \{ (i\,j) \mid  1\leq i<j\leq n\}$ el conjunto de todas las
transposiciones. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto
$T \subset \mathcal T$ cumpla $S_n = \gen{T}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\subsection{Subgrupos normales}
\item Sea $G$ un grupo.

\begin{ejitems}
\item Sea $\mathcal H$ una familia de subgrupos normales de $G$. Probar que
$\bigcap_{H\in\mathcal{H}}H$ es un subgrupo normal de $G$.

\item Sea $X\subset G$ un subconjunto arbitrario. Probar que existe un menor subgrupo
normal de $G$ que contiene a $X$. Describirlo en términos de los elementos de $X$.
\end{ejitems}

\noindent El subgrupo cuya existencia se afirma en la segunda parte de este
ejercicio se denomina el \emph{subgrupo normal de $G$ generado por $X$}. En
general, este subgrupo no coincide con el subgrupo generado por $X$, construido
en~\ref{ex:subgrupo-generado}.

\begin{ejitems}[resume]
\item\label{sub:normal-from-normal} Supongamos que $X\subset G$ es un conjunto tal que
$gXg^{-1}\subset X$ para todo $g\in G$. Probar que entonces el subgrupo
normal generado por $X$ coincide con el subgrupo generado por $X$.
\end{ejitems}

\item Sea $x_0\in X$ y sea $H_{x_0}=\{f\in G^X \mid f(x_0)=1\}$. Probar que $H_{x_0}$ es
  un subgrupo de $G^X$. ¿Es normal?


%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Sea $G$ un grupo y sea $N\subset G$ un subgrupo tal que $gNg^{-1}\subset N$ para
	todo $g\in G$. Muestre que $N$ es normal.

\begin{Solucion}
Sea $g\in G$. Entonces como $gNg^{-1}\subset N$, es $N=g^{-1}gNg^{-1}g\subset
g^{-1}Ng$. Así, $gNg^{-1}\supset N$ para todo $g\in G$. Esto, junto con la
hipótesis, implica que $N$ es normal
\end{Solucion}

\item Sea $G=\GL_2(\QQ)$ y 
  \(
  H = \{
        \left(
        \begin{smallmatrix}1&n\\0&1\end{smallmatrix}
        \right)
        : n \in \ZZ
      \}
    \subset G
  \).
Probar que $H$ es un subgrupo de $G$. Por otro lado, si
  \(
  g = \left(
      \begin{smallmatrix}5&0\\0&1\end{smallmatrix}
      \right)
    \in G
  \),
muestre que $gHg^{-1}\subsetneq H$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\label{sub:derivado} 
Sea $G$ un grupo. Si $a,b\in G$, escribimos $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. El elemento $[a,b]$ 
es el \emph{conmutador de $a$ y $b$}. Claramente $[a,b] = 1$ sii $a$ y $b$ conmutan, así 
que en cierta forma $[a,b]$ mide la no-conmutatividad de $a$ y $b$.
\begin{ejitems}
\item Sea $X = \{[a,b] \mid a,b\in G\}$ y sea $G'=\gen{X}$ el subgrupo generado por $X$
en~$G$. Probar que $G'$ es normal en $G$. Llamamos a $G'$ el \emph{subgrupo derivado} de
$G$ y lo escribimos $[G,G]$.

\item $G$ es abeliano sii $[G,G]=1$.

\item Determinar el subgrupo derivado de $\HH, D_n$, y $S_n$ para $n \in \NN$.
\end{ejitems}

Un grupo se dice \emph{perfecto} si coincide con su subgrupo derivado.
\begin{ejitems}[resume]

\item Sea $\k$ un cuerpo finito. Probar que $[\GL_n(\k),\GL_n(\k)] = \SL_n(\k)$ con la
excepción de $\GL_2(\ZZ_2)$. Probar que $\SL_n(\k)$ es perfecto con la excepción de
$\SL_2(\ZZ_2)$ y $\SL_2(\ZZ_3)$. ¿Qué ocurre en estos casos?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item 
\label{sub:centro}
Sea $G$ un grupo. Se define el \emph{centro} de $G$ como $\Z(G) = \{g \in G \mid
\text{$gh=hg$ para todo $h\in G$}\}$. Decimos que los elementos de $\Z(G)$ son
\emph{centrales} en $G$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\Z(G)$ es un subgrupo normal de $G$.  
\item Sea $X\subset G$ un subconjunto tal que $G=\gen{X}$. Probar que
  \[
  \Z(G)=\{g\in G \mid \text{$gx=xg$ para todo $x\in X$}\}.
  \]
\item Encontrar el centro de un grupo abeliano y el de $\HH$.
\item Para cada $n \geq 1$ encontrar el centro de $D_n$, de $S_n$ y de $\GL_n(R)$ con
	$R\in\{\RR,\ZZ,\CC,\ZZ_p\}$.

\item Sea $X$ un conjunto cualquiera. Determinar el centro de $G^X$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\label{sub:abel-times-center} 
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo abeliano de $G$. Probar que $H\Z(G)$ es un subgrupo
abeliano de $G$.

%%%%%%%%%%
\item
\label{sub:centralizador} 
Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}
\item Sea $g\in G$. El \emph{centralizador de $g$ en $G$} es el subconjunto $\C(g) =
\{h \in G \mid gh = hg\}$. Probar que se trata de un subgrupo de $G$ y que es el 
subgrupo más grande de $G$ en el que $g$ es central.

\item Sea $N \subset G$ un subconjunto. El \emph{centralizador de $N$ en $G$} es el
subconjunto $\C(N) = \{ h \in G \mid nh = hn \mbox{ para cada } n \in N \}$. Probar que
se trata de un subgrupo de $G$.

\item Probar que si $N\subset G$ es un subconjunto, $\C(\gen{N})=\C(N)$.

\item Sea $H\subset G$ un subgrupo de $G$. El \emph{normalizador
de $H$ en $G$} es el subconjunto $\N(H)=\{g\in G:gH=Hg\}$. Probar que se trata
de un subgrupo de $G$. Probar, más aún, que $H$ es un subgrupo normal de
$\N(H)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item  Si $\tau \in S_n$ es un ciclo de orden $r$, determinar $\C(\tau)$.

%%%%%%%%%%
\item
\label{sub:centralizador-iterado} 
Sea $G$ un grupo y sean $S$ y $T$ subconjuntos de $G$ tales que $S\subset T$. Entonces:
\begin{ejitems}

\item $\C(S)\supset\C(T)$;

\begin{Solucion}
Si $g\in\C(T)$, entonces para cada $t\in T$ es $gt=tg$. Como
$S\subset T$, vemos que para cada $s\in S$ es $gs=sg$ y, entonces, que
$\C(S)\subset\C(T)$.~\qed
\end{Solucion}

\item $\C(\C(S))\supset S$; y

\begin{Solucion}
Sea $s\in S$. Si $c\in\C(S)$, entonces $cs=sc$. Luego $s$ conmuta con
todos los elementos de $\C(S)$ y esto nos dice precisamente que $s\in\C(\C(S))$.
\end{Solucion}

\item  $\C(\C(\C(S)))=\C(S)$.

\begin{Solucion}
Como $S\subset\C(\C(S))$, usando~\emph{(a)} vemos que
$\C(S)\supset\C(\C(\C(S)))$. Por otro lado $\C(\C(\C(S)))\supset\C(S)$
aplicando~\emph{(b)}.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y sea $g\in G$. Entonces:
\begin{ejitems}
\item $g\in\C(g)$;

\item $\C(\C(g))=\Z(\C(g))$;

\item  $\C(g)\subset\C(h)$ sii $h\in\Z(\C(g))$; y

\item  $\C(g)\subset\C(h)$ sii $\Z(\C(g))\supset\Z(\C(h))$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H$ y $K$ subgrupos de $G$. 
\begin{ejitems}
\item Si alguno de $H$ o $K$ es normal en $G$ entonces $HK$ es un
subgrupo y $HK = KH$.

\item Si los dos son normales, entonces $HK$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\label{normal-conmut} 
Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Probar que $[N,G]\subset N$.

%%%%%%%%%%
\item\label{normalidad-trans} El objetivo de este ejercicio es dar un ejemplo de
que la normalidad de subgrupos no es transitiva.
\begin{ejitems}

\item Sea $G$ el conjunto de isomorfismos afines, es decir funciones $f:\RR^2\to\RR^2$ 
que pueden escribirse en la forma
  \[
  f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
      ax+by+e \\
      cx+dy+f 
    \end{pmatrix}
  \]
para ciertos $a, b, c, d, e, f\in\RR$ con $ad-bc\neq0$. Probar que $G$, con respecto a la
composición de funciones, es un grupo. 

\item Sea $T$ el subconjunto de $G$ formado por las traslaciones, es decir funciones 
$f:\RR^2\to\RR^2$ que pueden escribirse en la forma
  \[
  f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
      x+e \\
      y+f 
    \end{pmatrix}
  \]
para ciertos $e,f\in\RR$. Probar que $T$ es un subgrupo \emph{normal} en $G$. 

\item Sea $L$ el subconjunto de $T$ formado por las funciones $f:\RR^2\to\RR^2$ que 
pueden escribirse en la forma
  \[
  f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
      x+e \\
      y+f 
    \end{pmatrix}
  \]
para ciertos $e,f\in\ZZ$. Probar que se trata de un subgrupo de $T$; como $T$~es
abeliano, $L$ es normal en $T$.

\item Probar que $L$ no es normal en $G$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item  Encuentre todos los subgrupos de $D_4$. Clasifíquelos bajo isomorfismo y 
determine cuáles son normales.

%%%%%%%%%%
\item  Sea $\HH$ el grupo de los cuaterniones. Probar que posee un único elemento de
orden~$2$ y que éste es central. Deducir que $\HH \not\cong D_4$ y que todo subgrupo
de~$\HH$ es normal.

\noindent Un grupo no abeliano con esta propiedad se dice \emph{Hamiltoniano}. El siguente
teorema de Reinhold Baer (1902--1979) describe completamente esta clase de grupos:

\begin{Teorema*}
\emph{(R. Baer, Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, S. B.
Heidelberg. Akad. Wiss. 2 (1933), 12-17)} Un grupo finito es hamiltoniano sii es
isomorfo a $\HH\times A$ para algún grupo abeliano que no tiene elementos de
orden~$4$.
\end{Teorema*}

%%%%%%%%%%
\item  Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito~$n$. Probar que
si~$g\in G$, entonces $g^n\in N$. Dar un ejemplo para mostrar que esto puede ser falso
si $N$~no es normal.
\begin{Solucion}
Tomemos $H = G/N$. Como $|H| = n$, tenemos $h^n = 1$ para cada $h \in H$. Ahora si $g \in G$ entonces $(gN)^n = N$, en particular $g^n \in (gN)^n = N$.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item  Probar que un grupo no trivial sin subgrupos propios es cíclico de orden primo.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo no trivial sin subgrupos propios y sea $g\in G\setminus\{1\}$.
Entonces $\gen{g}$ es un subgrupo no trivial, así que la hipótesis implica que
$G=\gen{g}$ y vemos que $G$ es cíclico. 

Si $\abs{g}$ no es primo y existe $k>1$ tal que $k | \abs{g}$, entonces
$\gen{g^k}$ es un subgrupo propio no trival de $\gen{g}=G$. Esto contradice la
hipótesis. Luego $\abs{G}=\abs{g}$ es primo.~\qed
\end{Solucion}

\item  Sea $G$ un grupo cíclico y $g\in G$ un generador. Sea $n=\abs{G}$ y sea $p$ un
número primo tal que $p\divides n$. Entonces $\gen{g^p}$ es un subgrupo maximal de~$G$.

\begin{Solucion}
Supongamos por el contrario que $\gen{g^p}$ no es maximal, de manera que existe
$k\in\NN$ tal que $\gen{g^p}\subsetneq\gen{g^k,g^p}\subsetneq\gen{g}$. Si
notamos que $\gen{g^k,g^p}=\gen{g^{k-p},g^p}$ vemos que podemos suponer sin
pérdida de generalidad que $0<k<p$. Pero entonces existen $\alpha,\beta\in\ZZ$
tales que $\alpha k+\beta p=1$ y, en particular,
$g=(g^k)^\alpha(g^p)^\beta\in\gen{g^k,g^p}$, contradiciendo nuestra
hipótesis.~\qed
\end{Solucion}

\item Probar que un grupo finito que posee un solo subgrupo
maximal es cíclico y tiene como orden una potencia de un número primo.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo con un único subgrupo maximal $M$. Sea $g\in G\setminus M$.
Entonces $\gen{g}\not\subset M$ así que debe ser $G=\gen{g}$. Pongamos
$n=\abs{g}$.

Sea $p$ un divisor primo de $n$. Entonces el ejercicio anterior implica que
$\gen{g^p}$ es un subgrupo maximal de $G$. Vemos así que $M=\gen{g^p}$ y, en
particular, $\abs{M}=n/p$. Si $n$ posee otro divisor primo $q\neq p$, entonces
el mismo razonamiento muestra que $\abs{M})n/q$. Por supuesto, esto es absurdo.

Concluimos así que $n$ posee exactamente un divisor primo.~\qed
\end{Solucion}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo finito y $H$ el subgrupo de $G$ generado por los elementos de
orden impar. Probar que $H$ es normal y tiene índice una potencia de~$2$.

%%%%%%%%%%
\item*\header{Subgrupo de Frattini} Sea $G$ un grupo. Sea $\mathcal{M}$ el
conjunto de subgrupos propios maximales de $G$. Si $\mathcal{M}\neq\emptyset$,
ponemos $\Phi(G)=\bigcap_{M\in\mathcal{M}}M$; si, en cambio,
$\mathcal{M}=\emptyset$, ponemos $\Phi(G)=G$. $\Phi(G)$ es el \emph{subgrupo de
Frattini}, en honor de Giovanni Frattini (1852--1925, Italia).

\begin{ejitems}
\item Determinar el subgrupo de Frattini de $\ZZ_{p^2}$ si $p$ es
primo.

\end{ejitems}

\noindent Un elemento $g\in G$ es un \emph{no-generador} si siempre que $X\subset G$
es un conjunto generador de $G$ y $g\in X$, entonces $X\setminus\{g\}$ también
genera a $G$.

\begin{ejitems}[resume]
\item Probar que $\Phi(G)$ es el conjunto de elementos no-generadores de $G$.

\begin{Solucion}
\def\N{\mathcal{N}}\def\M{\mathcal{M}}%
Sea $\N$ el conjunto de elementos no-generadores de $G$.

Supongamos primero que $\M\neq\emptyset$. Sea $g\in G$ tal que existe $M\in\M$
con $g\not\in M$. Entonces $M\subsetneq\gen{M\cup\{g\}}$ y debe ser
$\gen{M\cup\{g\}}=G$. Pero $M$ no genera a $G$, así que vemos que $g\not\in\N$.
Esto muestra que $\N\subset\Phi(G)$. Por otro lado, si $g\not\in\N$, existe
$X\subset G$ tal que $\gen{X}=G$ pero $\gen{X\setminus\{g\}}\neq G$. Sea
$M\in\M$ tal que $\gen{X\setminus\{g\}}\subset M$. Entonces claramente $g\not\in
M$ y vemos que $g\not\in\Phi(M)$. Concluimos que $\N\supset\Phi(G)$ y que,
entonces, se tiene de hecho la igualdad.

Supongamos ahora que $\M=\emptyset$. En este caso tenemos que mostrar que
$\N=G$. Buscando una contradicción, supongamos que $g\in G\setminus\N$,
de manera que existe $X\subset G$ tal que $\gen{X}=G$ pero
$\gen{X\setminus\{g\}}\subsetneq G$.

Consideremos la familia $\mathcal F=\{H\subset G:\text{$H$ es subgrupo de $G$,
$X\setminus\{g\}\subset H$ y $g\not\in H$}\}$, que no es vacía porque
$\gen{X\setminus\{g\}}\in\mathcal F$. El lema de Zorn nos provee inmediatamente
de un elemento $M\in\mathcal F$ maximal en $\mathcal F$. Afirmamos que $M$ es de
hecho maximal. En efecto, si $h\in G\setminus M$, es $\gen{M\cup\{h\}}\supsetneq
M$, así que $\gen{M\cup\{h\}}\not\in\mathcal F$. Como claramente
$X\setminus\{g\}\subset\gen{M\cup\{h\}}$, debe ser $g\in\gen{M\cup\{h\}}$ y
entonces $\gen{M\cup\{h\}}=G$. Vemos que $M\in\mathcal M=\emptyset$, lo que es
absurdo.

Tiene que ser entonces $G\setminus\N$, como queríamos.~\qed
\end{Solucion}

\item Probar que $\Phi(G)$ es normal.

\begin{Solucion}
El conjunto de no-generadores de $G$ es claramente normal.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo propio de $G$. Probar que 
$\gen{G\setminus H}=G$.

\begin{Solucion}
Supongamos que $H'=\gen{G\setminus H}\subsetneq G$. Como $H\cup H'=G$, debe ser
$H'\subset H$ ó $H\subset H'$. En el primer caso, es $G\setminus H\subset
H'\subset H$, así que $G\setminus H=\emptyset$, lo que es imposible; en el
segundo, $G=H\cup(G\setminus H)\subset H'$, lo que tambien es imposible. Vemos
así que nuestra suposición contradice las hipótesis.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item  Sea $G\subset\CC^\times$ un subgrupo finito del grupo
multiplicativo $\CC^\times$. Probar que existe $n\in\NN$ tal que $G=\GG_n$ es el
grupo de las raíces $n$-ésimas de la unidad.

\begin{Solucion}
Sea $G\subset\CC^\times$ un subgrupo finito de orden $n$. Entonces si $z\in G$,
es $z^n=1$ y vemos que cada elemento de $G$ es raíz de $p(X)=X^n-1$. Como el
conjunto de raíces de $p$ es precisamente $\GG_n$, vemos que $G$ es un subgrupo
de $\GG_n$. Como $\abs{G}=n=\abs{\GG_n}$, debe ser, de hecho, $G=\GG_m$.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
