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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{0}
\Titulo{Repaso}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\renewcommand\k{\Bbbk}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\ev}{ev}
\DeclareMathOperator{\inn}{inn}
\DeclareMathOperator{\chr}{char}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

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\begin{document}

\maketitle
\noindent\textbf{Nota:} Esta guía tiene algunos ejercicios de repaso sobre temas que damos
por conocidos y que vamos a revisitar varias veces en la materia. Si bien no es
obligatoria, es bueno que se aseguren de que saben cómo resolver estos ejercicios.

En toda la guía $\k$ es un cuerpo y $m, n, o$ son números naturales, salvo que se indique
lo contrario.
\subsection{Matrices} 
Notamos por $\id_n$ a la matriz identidad de tamaño $n \times n$; a veces
escribimos simplemente $\id$, si el tamaño está claro por contexto.
\begin{ejercicios} 
\item Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$.  Hallar una fórmula para $A^n$ con $n \in \ZZ$ y probarla.

\item Sean $a_1, \ldots, a_n \in \k$. Calcular el determinante de la matriz de $n \times
	n$
\begin{align*} 
\begin{pmatrix}
	1 & 1 & \cdots & 1 \\ 
	a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 
	a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\
	\vdots& \vdots& &\vdots \\ 
	a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

\item Sea $A \in \k^{n \times m}$. Probar que el rango fila de $A$ es
	igual a su rango columna.

\item Probar que para todas $A, B \in M_n(\k)$ vale la igualdad $\det(AB) =
	\det(A)\det(B)$.

\item Sean $A, B \in M_{2n}(\k)$. Escribimos a las matrices por bloques, de forma que 
$A =
\begin{pmatrix} 
A_1 & A_2 \\ 
A_3 & A_4 
\end{pmatrix}$ 
y $B = 
\begin{pmatrix} 
B_1 & B_2 \\
B_3 & B_4 
\end{pmatrix}$, donde $A_i, B_i \in M_n(\k)$ para $i =1, \ldots, 4$. 
Probar que 
\begin{align*} 
AB &= 
	\begin{pmatrix}
	A_1 B_1 + A_2 B_3 & A_1 B_2 + A_2 B_4 \\ 
	A_3 B_1 + A_4 B_3 & A_3 B_2 + A_4 B_4
	\end{pmatrix} .
\end{align*}
Generalizar al caso en que $A \in \k^{m \times n}$ y $B \in \k^{n \times o}$ no son
matrices cuadradas.

\item Sea $N \in M_n(\k)$ una matriz nilpotente. Probar que $\id_n - N$ es inversible.
	\emph{Sugerencia:} Piense en la serie de Taylor de $1/(1-t)$.

\item Sean $A \in \RR^{n \times m}$ y $b \in \RR^n$.  
\begin{ejitems} 
\item Probar que si el sistema $AX = b$ tiene una solución compleja entonces también tiene
	una solución real.
\item Probar que si $A$ y $b$ tienen entradas en $\QQ$ entonces el sistema $AX = b$ tiene
	una solución real si y solo si tiene una solución racional.
\item ¿Qué ocurre si las entradas de $A$ y $b$ son enteras?  
\end{ejitems}

\item Probar que no existe un conjunto linealmente independiente de $n^2$ matrices de $n
	\times n$ que conmuten entre sí. ¿Exsite un conjunto l.i. de tres matrices en
	$M_2(\CC)$ que conmuten entre sí?

\subsection{Espacios vectoriales y transformaciones lineales} 
En toda esta sección $V, V', W$ y $W'$ son $\k$-espacios vectoriales de dimensión finita
salvo que se indique lo contrario. Notamos por $\id_V$ a la transformación lineal 
identidad de $V$, y a veces escribimos $\id$ si el espacio de base está claro por el 
contexto.

\item Probar las siguientes fórmulas. 
\begin{ejitems} 
\item Si $W,W'$ son subespacios de $V$ entonces $\dim (W + W') = \dim W + \dim W' - 
	\dim W \cap W'$.
\item Si $T: V \to V'$ es una transformación lineal entonces $\dim V = \dim \ker T + \dim
	\im T$.
\end{ejitems}

\item Sea $T: V \to W$ una transformación lineal. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $T$ es un monomorfismo si y solo si tiene inversa a izquierda. Enunciar y demostrar
	un resultado análogo para epimorfismos e isomorfismos.

\item $T$ es un monomorfismo si y solo si vale la siguiente afirmación: dadas dos
	transformaciones lineales $S, S': V' \to V$ tales que $T \circ S = T \circ S'$,
	entonces $S = S'$. Enunciar y demostrar un resultado análogo para epimorfismos e
	isomorfismos.
\end{ejitems}

\item La función $T: M_n(\k) \to M_n(\k)$ que asigna a cada matriz $A$ su traspuesta $A^t$
	es una transformación lineal. Hallar su inversa y su polinomio minimal, probar que es
	diagonalizable y encontrar una base formada por autovectores de $T$.

\item Sea $(V, +, \cdot)$ un $\RR$-espacio vectorial y sea $T \in \End_\RR(V)$ tal que 
$T^2 = - \id$. 
\begin{ejitems} 
\item Probar que la dimensión de $V$ es par.  
\item Definimos un $\CC$-espacio vectorial $(V_\CC, +_\CC, \cdot_\CC)$ de la siguiente
	manera: 
	\begin{ejitems}
	\item como conjuntos $V = V_\CC$;
	\item dados $v,v' \in V_\CC$ se define $v +_\CC v' = v + v'$;
	\item dados $v \in V_\CC$ y $z = a +bi \in \CC$ se define $z \cdot_\CC v = a \cdot v +
		b \cdot T(v)$.
	\end{ejitems}
Probar que $(V_\CC, +_\CC, \cdot_\CC)$ es efectivamente un $\CC$-espacio vectorial y
calcular su dimensión. \emph{Sugerencia:} Antes de responder a esta pregunta, construya
un ejemplo.
\end{ejitems}

\item Sea $T \in \End_\CC(V)$ una transformación lineal cuyo único autovalor es $0$.
	Probar que $\id - T$ es inversible.

\item Sean $S,T \in \End_\k(V)$ tales que $S \circ T = T \circ S$, y $W \subset V$ un
	subespacio. Probar que si $W$ es $T$-invariante, es decir $T(W) \subset W$, entonces
	$S(W)$ también es $T$-invariante. Concluir que si $S$ y $T$ son diagonalizables
	entonces	existe una base de $V$ que diagonaliza a ambas.

\item Sea $T: V \to V$ una transformación lineal, y para cada $r \in \NN_0$ sea $d_r = \dim
	\ker T^r$. 	Caracterizar las sucesiones de la forma $(d_r)_{r \geq 0}$.

\item Sea $V$ un $\k$-espacio vectorial de dimensión infinita y sea $\mathcal B$ una base
	de $V$. Para cada $v	\in \mathcal B$ definimos $\phi_v \in V^*$ como la única funcional
	que vale $1$ en $v$	y $0$ en cualquier otro vector de la base $\mathcal B$. Probar que
	el espacio generado por $\mathcal B^* = \{\phi_v \mid v \in \mathcal B\}$ está
	contenido estrictamente en $V^*$.

\subsection{Cuerpos finitos} 
Fijamos un número primo $p$.

\item Probar las siguientes afirmaciones para $a,b \in \ZZ_p$:
\begin{ejitems}
\item si $ab = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$;
\item $a^p = a$;
\item $(a+b)^p = a^p + b^p$.
\end{ejitems}

\item Para cada $r \in \{0, 1, \ldots, n\}$, calcular la cantidad de subespacios de
	$\ZZ_p^n$ de dimensión $r$.

\item Determine el cardinal de $\hom_{\ZZ_p}(\ZZ_p^n, \ZZ_p^m)$. ¿Cuántos son
	monomorfismos? ¿Cuántos epimorfismos, cuántos isomorfismos?  

\subsection{Raíces de la unidad}
Notamos por $\GG_n$ al conjunto de raíces $n$-ésimas de la unidad en $\CC$.

\item Sea $X \subset \CC^\times$ un conjunto finito, con la siguiente propiedad: cada vez
que $w,z \in X$, entonces $wz \in X$. Probar que $X = \GG_n$ para algún $n \in \NN_0$.

\item Probar que $\sum_{\omega \in \GG_n} \omega = 0$ para $n > 1$.

\item Calcular todas las raíces primitivas $n$-ésimas de la unidad para $n =
	2,3,4,5,8,10,15$.

\item Calcular la suma de todas las raíces primitivas de la unidad de orden $10$.

\item Para todo $n \in \NN$ caracterizar las matrices de $M_2(\RR)$ que cumplen la
	ecuación $X^n = \id$.

\subsection{Polinomios}
\item Factorizar los siguientes polinomios en $\ZZ[X], \QQ[X], \RR[X], \CC[X]$ y
	$\ZZ_7[X]$:
\begin{ejitems}
\begin{multicols}{2}
\item $X^3-1$;
\item $X^4 + 3$;
\item $X^{12} + X^{6} + 1$;
\item $X^n-1$.
\end{multicols}
\end{ejitems}
\item ¿Cuántos polinomios mónicos de grado $2$ hay en $\ZZ_p[X]$? ¿Cuántos son
	irreducibles? ¿Qué pasa si cambiamos $2$ por otro grado?

\item Calcular el coeficiente de $X^{20}$ en $(X + (1-i))^{133}$.
\end{ejercicios}
\end{document}
