Procesos Estocásticos, 1C 2015 (Página en preparación)
Breve descripción del curso
Un Proceso estocástico es una familia de variables aleatorias \((X_i:i\in I)\), donde \(I\) es un conjunto arbitrario de índices.
Un caso emblemático es el
Proceso de Bernoulli en \(\mathbb N\) (Breiman) donde el conjunto de índices son los números naturales y las variables
\(X_i\) tienen distribución Bernoulli\((p)\) y son independientes. Corresponden al lanzamiento de una moneda que tiene probabilidad \(p\) de salir cara (representada por 1): \(P(X_i=1)=p\), \(P(X_i=0)=1-p\). Este proceso fue estudiado en los cursos elementales de probabilidad. Nos interesan en particular los siguientes límites: la Ley de grandes números:
\[
\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \to p,
\]
las Fluctuaciones:
\[
\sqrt n \,\Bigl(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}-p\Bigr) \to \hbox{Normal}(0,p(1-p)).
\]
y la aproximación a un proceso de Poisson.
Cambiando los ceros por \(-1\)'s, podemos ver el proceso de Bernoulli como los incrementos de un Paseo aleatorio a próximos vecinos en \(\mathbb N\), que denotamos \(Y_n\) (Feller). La posición inicial es \(Y_0=0\) y los incrementos \(X_i= Y_{i+1}-Y_i\) son independientes con distribución
\(P(X_i=1)=p\), \(P(X_i=-1)=1-p\). Este paseo aleatorio está relacionado con el problema de la ruina del jugador y una infinidad de otros problemas. En el mismo límite de las fluctuaciones se demuestra que converge al Movimiento Browniano, un proceso a tiempo continuo con trayectorias continuas pero no derivables en ningún punto. Diversas modificaciones del Browniano se usan en finanzas para modelar el comportamiento de las cotizaciones en la bolsa. Estudiaremos las propiedades básicas del Browniano y las convergencias.
En el Proceso de ramificación (Ross Stochastic processes, Harris Branching processes)
la variable
\(X_n\) representa el tamaño de una población en el instante \(n\). En cada instante cada individuo muere y da lugar a un número aleatorio de hijos, con la misma distribución e independientemente de los otros individuos. Sea \(m\) el número medio de hijos. Mostraremos que si \(m\le 1\) la población muere con probabilidad 1, caso contrario tiene probabilidad positiva de sobrevivir.
Dado un grafo \(G=(V,E)\), con vértices \(V\) y aristas \(E\), consideramos el grafo aleatorio inducido por un proceso de Bernoulli indexado por las aristas \(E\): cada arista se mantiene con probabilidad \(p\) o se borra con probabilidad \((1-p)\), llamaremos \(G = (V,E')\) al grafo aleatorio resultante. Nos interesa el comportamiento de las componentes conexas de \(G'\) cuando variamos \(p\). En particular responderemos las siguientes preguntas referidas a una transición de fase:
Percolación en \(\mathbb Z^d\) (Grimmett Probability on graphs, Bollobas-Riordan Percolation). Para qué valores de \(p\) hay una componente conexa con infinitos vértices.
Grafo de Erdos-Renyi (van der Hoffstad Random Graphs and Complex Networks) es un subgrafo aleatorio del grafo total. Para cuales valores de \(p\) la componente conexa maximal es una fracción del número de vértices, cuando este número crece a infinito.
En las cadenas de Markov (Ross stochastic processes, Haggstrom, Ferrari-Galves)
la distribución de \(X_i\) depende del valor de \(X_{i-1}\):
\[
P(X_{i}=y\,|\,X_{i-1}=x, \hbox{pasado}) = p(x,y),
\]
con \(p(x,y)\) dada, independientemente del pasado. Los valores \(x,y\) se llaman estados y pertenecen a un conjunto \(S\), el espacio de estados.
Estudiaremos problemas de recurrencia y transiencia, medidas estacionarias y convergencia al equilibrio. Estableceremos una correspondencia con el problema de rankear páginas web usando la medida invariante de un paseo aleatorio en el grafo con vértices en las páginas y aristas orientadas dadas por los enlaces.
La Urna de Polya (Feller) contiene inicialmente una bolilla blanca y una negra. En cada instante se saca una bolilla y se agregan dos del mismo color que la sacada. Es una cadena de Markov no homogenea.
Mostraremos que la proporción de bolillas blancas converge casi seguramente a una variable aleatoria uniforme en \([0,1]\).
Procesos de Poisson (Neveu, Ecole d'ete de Saint Flour 1977)
Definición y construcción. Límite de procesos de Bernoulli.
Procesos Markovianos de salto (Ross, Ferrari-Galves)
Son como cadenas de Markov pero las transiciones ocurren de acuerdo a procesos de Poisson con tasa dada por el estado anterior. Probaremos resultados parecidos a los de cadenas de Markov a tiempo discreto.
Sistemas de partículas (Liggett IPS, Durrett IPS, etc)
Son colecciones numerables de cadenas de Markov que interactuan localmente. La idea es ver que el comportamiento local microscópico da lugar a fenómenos colectivos macroscópicos.
Percolación de último pasaje. Procesos de crecimiento, teorema de Rost.
Proceso del votante. Red Browniana.
Procesos con retardo, votante minoritario con retardo y sincronización.
Referencias
Feller, William, Introducción a la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones.
Ross, Sheldon, Stochastic Processes
Ferrari, P. A.; Galves, A. Construction of stochastic processes, coupling and regeneration
Joaquin Ortega Notas de Modelos Estocásticos I, 2014.
Balint Toth Notes of a course in Stochastic Processes, Lectures 1 and 2.
Fernandez, Pedro Jesus, Introducao aos processos estocasticos
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