Departamento de Matemática

Procesos Puntuales
Primer cuatrimestre 2021

Profesor: Pablo Ferrari, pferrari@dm.uba.ar.

Un proceso puntual es un subconjunto aleatorio numerable de un espacio de medida. El proceso de Poisson es un caso fascinante, que aparece en ejemplos como la distribución de las estrellas en el cielo, los instantes de arribo de mensajes a un teléfono o las gotas de lluvia en una foto. Cuando los elementos del espacio de medida son rectas, planos u otro objeto matemático, se definen procesos de Poisson cuyos "puntos" son esos objetos. Procesos de poisson de ciclos de puntos y trayectorias de paseos aleatorios en el plano o el espacio pueden interpretarse como una permutación de puntos, con impacto en la comprensión del fenómeno de condensación de Bose-Einstein. Estudiaremos la mecánica estadística de procesos puntuales con interacciones y veremos la evolución de algunos procesos puntuales conservativos. Finalmente, si el tiempo lo permite, veremos la relación del proceso de Poisson con el problema de Ulam, relacionado con el cálculo del tamaño de la mayor subsecuencia creciente de una permutación de $N$ números.

Correlativa: Probabilidades y estadística.


martes y jueves de 17 a 20, teórico-práctica






PROGRAMA

1. Introducción. Motivación y ejemplos. Dimensión 1. Caracterización de distribuciones. Procesos marcados. Medidas vacías y caracterización de procesos puntuales. Funciones de correlación.

2. Procesos de Poisson. Teoremas de superposici;on. Proyecciones. Procesos Bernoulli. Construcción de Neveu. Teorema de Campbell. Fórmula de Slivnyak-Mecke. El funcional característico. Leyes de grandes números. Procesos marcados. Procesos de Poisson no estacionarios. Procesos Compuestos. Procesos de Cox.

3. Geometría estocástica. Proceso de Poisson de líneas, planos y de objetos en general. Sopa de ciclos de paseos aleatorios. Entrelazamientos aleatorios.

4. Procesos de Gibbs. Especificaciones. Desigualdad de Holley. Percolación de Bernoulli. Percolación continua. Modelo de Ising continuo. El modelo de aglomerados aleatórios. Transición de fase.

5. Simulación perfecta. Construcción de medidas de Gibbs de baja densidad usando dinámicas de nacimiento y muerte espaciales. Dominación por procesos de ramificación.

6. Gas de Bose. Permutaciones espaciales aleatorias. Límite termodinámico y transición de fase. Gas de Bose, sopa Gaussiana y entrelazamientos Gaussianos.

7. Evolución temporal. Proceso de bloques. Colisión elástica. Partículas con masa y longitud. Hidrodinámica.

8. Proceso de Hammersley y máxima subsecuencia creciente de permutaciones.


BIBLIOGRAFIA

[1] Sung Nok Chiu, Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, and Joseph Mecke. Stochastic geometry and its applications. Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, third edition, 2013.

[2] David Roxbee Cox and Valerie Isham. Point processes. Chapman & Hall, London-New York, 1980. Monographs on Applied Probability and Statistics.

[3] Daryl J. Daley, David Vere-Jones An introduction to the theory of point processes. Vol 1 and 2.

[4] Peter J. Diggle. Statistical analysis of spatial and spatio-temporal point patterns, volume 128 of Monographs on Statistics and Applied Probability. CRC Press, Boca Raton, FL, third edition, 2014.

[5] Janine Illian, Antti Penttinen, Helga Stoyan, and Dietrich Stoyan. Statistical analysis and modelling of spatial point patterns. Statistics in Practice. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2008.

[6] Olav Kallenberg. Random measures, theory and applications, volume 77 of Probability Theory and Stochastic Modelling. Springer, Cham, 2017.

[7] J. F. C. Kingman. Poisson processes, volume 3 of Oxford Studies in Probability. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993. Oxford Science Publications.

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[9] J. Neveu. Processus ponctuels, pages 249-445. Lecture Notes in Math., Vol. 598. Springer-Verlag, Berlin, 1977.

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[11] M. N. M. van Lieshout. Markov point processes and their applications. Imperial College Press, London, 2000.

[12] Jiri Cerný and Augusto Quadros Teixeira. From random walk trajectories to random interlacements, volume 23 of Ensaios Matematicos. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 2012.

[13] Inés Armendáriz, Pablo A. Ferrari, Sergio Yuhjtman. Gaussian random permutation and the boson point process - arXiv:1906.11120, 2019.

[14] Dan Romik. The surprising mathematics of longest increasing subsequences, volume 4 of Institute of Mathematical Statistics Textbooks. Cambridge University Press, New York, 2015.



Otros artículos sobre procesos puntuales y afines:

Christopher Hoffman, Alexander E. Holroyd, and Yuval Peres
A stable marriage of Poisson and Lebesgue

A cada punto del proceso de Poisson en el plano se le asigna un conjunto de puntos (no necesariamente conexo) de area 1. La asignación se hace dinamicamente por orden de llegada. El artículo demuestra que la asignación es posible.


Sourav Chatterjee, Ron Peled, Yuval Peres, Dan Romik
Phase Transitions in Gravitational Allocation Geometric and Functional Analysis 2010, Volume 20, Issue 4, pp 870–917

Asumiendo que los planetas forman un proceso de Poisson y cada planeta tiene masa 1 y volumen cero, (casi) todo punto del espacio será atraído por uno de los planetas. Se demuestra que el volúmen de puntos atraído por cada planeta es constante, igual a la inversa de la densidad de puntos.


Claudio Landim
Hydrodynamic limit of interacting particle systems Lectures in Trieste, 2002.

Notas bien accesibles sobre hidrodinámica de sistemas de partículas


Ferrari, Landim, Thorisson
Poisson trees, succession lines and coalescing random walks Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques (2004) Volume: 40, Issue: 2, page 141-152.

Holroyd, Peres
Trees and Matching from point processes Electron. Commun. Probab. Volume 8 (2003), paper no. 3, 17-27.

Estos dos artículos muestran ejemplos de "factor graphs" de procesos puntuales. Dada una configuración de un proceso puntual, se trata de asignar aristas a pares de puntos, de tal manera de construir un grafo totalmente conexo. La asignación debe ser invariante por translaciones.