Departamento de Matemática

Procesos Puntuales
Segundo cuatrimestre 2019

Profesor: Pablo Ferrari, pferrari@dm.uba.ar.

Teóricas
Prácticas: 1, 2, 3, 4, 5,

Un proceso puntual es un subconjunto aleatorio numerable de un espacio. Empezaremos con los procesos de Poisson en el espacio Euclidiano $d$-dimensional, continuaremos con procesos puntuales con interacciones, describiendo propiedades de mecánica estadística. Un grupo importante son los procesos de Poisson cuyos puntos son objetos como lineas rectas, contornos, ciclos (loops) y trayectorias de paseos aleatorios. Finalizaremos con una descripción del gas de Bose como una superposición de procesos de Poisson de ciclos de puntos y de interlazos aleatorios, una interpretación probabilística con impacto en la comprensión del fenómeno de condensación de Bose-Einstein.

Correlativas: Probabilidades y estadística.

Horarios:
martes de 15 a 17, aula E24 (teórica)
miercoles de 16 a 18, aula 6 (práctica)
jueves de 16:30 a 18:30, aula de seminarios del DM en el segundo piso (teórica)






PROGRAMA

1. Introducción. Motivación y ejemplos. Dimensión 1. Procesos de Poisson. Procesos de Renovación. Caracterización de distribuciones. Procesos marcados. Procesos en espacios generales.

2. Marco teórico. Medidas de conteo. Especificaciones. Invariancia por traslaciones. Medidas de Palm. Momentos. Propiedades espectrales. Función generadora. Procesos multivariados y multidimensionales.

3. Modelos especiales. Procesos de Poisson no estacionarios. Procesos Compuestos. Procesos aglomerados. Procesos de renovación y generalizaciones. Procesos semi Markovianos. Proceso de Morán. Procesos auto-regresivos. Procesos de variación acotada.

4. Operaciones en procesos puntuales. Adelgazamiento. Traslación. Superposición. Divisibilidad infinita.

5. Procesos puntuales multivariados. Especificaciones. Intensidades condicionales. Procesos especiales. Aplicaciones. Procesos marcados: simple shot noise.

6. Espacios generales. Proceso de Poisson en espacios de medida sigma finita. Construcción usando círculos concéntricos. Construcción de Neveu. Procesos discretos en grillas. Sopa de ciclos Brownianos. Entrelazamientos aleatorios.

7. Procesos de Gibbs. Especificaciones. Límite termodinámico. Construcción usando dinámicas de nacimiento y muerte espaciales. Simulación perfecta.

8. Gas de Bose. Permutaciones aleatorias espaciales. Líımite termodinámico. Gas de Bose. Relación del gas de Bose con la sopa Gaussiana y los entrelazamiento Gaussianos.



BIBLIOGRAFIA

[1] Sung Nok Chiu, Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, and Joseph Mecke. Stochastic geometry and its applications. Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, third edition, 2013.
[2] David Roxbee Cox and Valerie Isham. Point processes. Chapman & Hall, London-New York, 1980. Monographs on Applied Probability and Statistics.
[3] Daryl J. Daley, David Vere-Jones An introduction to the theory of point processes. Vol 1 and 2.
[4] Peter J. Diggle. Statistical analysis of spatial and spatio-temporal point patterns, volume 128 of Monographs on Statistics and Applied Probability. CRC Press, Boca Raton, FL, third edition, 2014.
[5] Janine Illian, Antti Penttinen, Helga Stoyan, and Dietrich Stoyan. Statistical analysis and modelling of spatial point patterns. Statistics in Practice. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2008.
[6] Olav Kallenberg. Random measures, theory and applications, volume 77 of Probability Theory and Stochastic Modelling. Springer, Cham, 2017.
[7] J. F. C. Kingman. Poisson processes, volume 3 of Oxford Studies in Probability. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993. Oxford Science Publications.
[8] Elliott H. Lieb, Robert Seiringer, Jan Philip Solovej, and Jakob Yngvason. The mathematics of the Bose gas and its condensation, volume 34 of Oberwolfach Seminars. Birkhauser Verlag, Basel, 2005.
[9] Jesper Moeller and Rasmus Plenge Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes, volume 100 of Monographs on Statistics and Applied Probability. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004.
[10] J. Neveu. Processus ponctuels, pages 249-445. Lecture Notes in Math., Vol. 598. Springer-Verlag, Berlin, 1977.
[11] Hermann Thorisson. Coupling, stationarity, and regeneration. Probability and its Applications (New York). Springer-Verlag, New York, 2000.
[12] M. N. M. van Lieshout. Markov point processes and their applications. Imperial College Press, London, 2000.
[13] Jiri Cerný and Augusto Quadros Teixeira. From random walk trajectories to random interlacements, volume 23 of Ensaios Matem_aticos [Mathematical Surveys]. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 2012.
[14] Inés Armendáriz, Pablo A. Ferrari, Sergio Yuhjtman. Gaussian random permutation and the boson point process - arXiv:1906.11120, 2019.


Papers on miscelaneous topics:

Christopher Hoffman, Alexander E. Holroyd, and Yuval Peres
A stable marriage of Poisson and Lebesgue
Sourav Chatterjee, Ron Peled, Yuval Peres, Dan Romik
Phase Transitions in Gravitational Allocation Geometric and Functional Analysis 2010, Volume 20, Issue 4, pp 870–917