La ley de reciprocidad cuadrática es sin duda uno de los teoremas más bellos y profundos de la aritmética. Este teorema fue conjeturado por Euler y Legendre, y demostrado por primera vez por Gauss, quien publicó seis demostraciones diferentes, y en cuyos papers póstumos se encontraron más.
Quizás su enunciado más sencillo es el debido a Legendre: Supongamos que p y q son dos primos impares. Si introducimos el símbolo de Legendre
que vale 1 si p es un resto cuadrático de q, y -1 si es un no resto cuadrático, entonces la ley de reciprocidad cuadrática establece que
En la página de Franz Lemmermeyer (autor del libro Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein) se listan 224 demostraciones diferentes de este teorema, seis de las cuales se deben a Gauss (quien fue el primero en dar una demostración completa).
Recientemente, al preparar un curso optativo sobre teoría analítica de números, encontré algunas pruebas sencillas de este teorema, realmente notables. Una de ellas, aparece en el artículo A shortened classical proof of the quadratic reciprocity law; de Wouter Castryck. Tiene el mérito de ser breve pero conceptual. Se basa en contar el número de soluciones módulo p de una ecuación cuadrática en muchas variables de dos modos diferentes. **