\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\Materia{\'Algebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{2}
\Titulo{Grupos: homomorfismos, cocientes y productos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\qm{\textquestiondown} 

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
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\DeclareMathOperator{\ev}{ev}
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\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definici\'on}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposici\'on}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

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\section{Homomorfismos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y $X$ un conjunto. Sea $x_0\in X$ y sea 
  \[
  \ev_{x_0}:f\in G^X\mapsto f(x_0)\in G.
  \]
Mostrar que se trata de un homomorfismo de grupos. Determinar su n\'ucleo e
imagen.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que cualquiera sea el grupo $G$, existe un isomorfismo
$G\cong G^\op$ entre $G$ y su grupo opuesto.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ y $H$ grupos, y sea $\hom_{\Grp}(G,H)$ el conjunto
de todos los homomorfismos $f:G\to H$. \qm Se trata en general de un subgrupo de
$H^G$? Encuentre condiciones sobre $H$ que garanticen que lo sea.

%%%%%%%%%%
\item Muestre que el grupo $\HH$ del ejercicio $2.2$ y el
grupo $\HH_1$ del ejercicio $3.6$, de la p\'actica $1$, son isomorfos.

%%%%%%%%%%
\item\label{hom:inner} Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}

\item Sea $g\in G$ e $\inn_g:h\in G\mapsto ghg^{-1}\in G$. Mostrar
que $\inn_g\in\Aut(G)$.

\item Mostrar que la aplicaci\'on $\inn:g\in
G\mapsto\inn_g\in\Aut(G)$ es un homomorfismo de grupos.

\item Describir el n\'ucleo de $\inn$. Los automorfismos que est\'an
en la imagen de $G$ se llaman \emph{automorfismos interiores} y la imagen misma
se denota $\Inn(G)$.

\item\label{hom:inner:normal} Mostrar que $\Inn(G)$ es un subgrupo
normal de $\Aut(G)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $f:G\to H$ un homomorfismo de grupos.
\begin{ejitems}

\item Si $H$ es abeliano, entonces $[G,G]\subset\ker f$.

\item Mostrar que $f([G,G])\subset [H,H]$. En particular, concluya que
$[G,G]$~es un subgrupo caracter\'istico de~$G$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $f:G\to H$ un homomorfismo de grupos. \qm Es cierto en general que
$f(\Z(G))\subset \Z(H)$? En caso negativo, de condiciones suficientes que
garanticen esta inclusi\'on. Bajo esas condiciones, \qm es $f(\Z(G))=\Z(H)$?

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}

\item Mostrar que la funci\'on $\ev_1:f\in\hom_\Grp(\ZZ,G)\mapsto
f(1)\in G$ es una biyecci\'on.

\item Describir $\hom_\Grp(\ZZ^2,G)$ y, para cada $n\in\NN$,
$\hom_\Grp(\ZZ_n,G)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Determinar $\hom_\Grp(\QQ,\ZZ)$ y $\hom_\Grp(\QQ,G)$ para un
grupo finito $G$.

\item Describir la imagen $D(G)$ de
$\ev_1:f\in\hom_\Grp(\QQ,G)\mapsto f(1)\in G$.

\item Mostrar que cuando $G$ es abeliano, $D(G)$ es un subgrupo
caracter\'istico de $G$

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo. 
\begin{ejitems}

\item Encontrar una condici\'on necesaria y suficiente sobre $G$
para que la aplicaci\'on $(g,h)\in G\times G\mapsto gh\in G$ resulte un
homomorfismo de grupos.

\item Encontrar una condici\'on necesaria y suficiente sobre $G$
para que la aplicaci\'on $g\in G\mapsto g^{-1}\in G$ resulte un homomorfismo de
grupos.

\item Encontrar una condici\'on necesaria y suficiente sobre $G$
para que la aplicaci\'on $g\in G\mapsto g^2\in G$ resulte un homomorfismo de
grupos.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $m,n\in\NN$. Si $(m,n)=1$, entonces
$\hom_\Grp(\ZZ_m,\ZZ_n)$ es trivial. \qm Qu\'e sucede en general?

%%%%%%%%%%
\item\label{phi-split} Sea $G$ un grupo finito y $\phi:G\to G$ un endomorfismo de~$G$.
\begin{ejitems}

\item Existe $n\in\NN$ tal que si $m\geq n$, entonces
$\phi^m(G)=\phi^n(G)$. Sea $\alpha=\phi^n$.

\begin{Solucion}
Tenemos una cadena decreciente de subgrupos de $G$:
  \[
  G\supset \phi(G)\subset \phi^2(G) \supset\cdots
  \]
Como $G$ es finito, esta cadena tiene que estacionarse.~\qed
\end{Solucion}

\item Mostrar que $\im\alpha$ es normal o dar un contraejemplo.

\begin{Solucion}
Hay un homomorfismo $\phi:S_3\to S_3$ tal que $\phi((i\,j))=(1\,2)$ cualquiera
sea la transposici\'on $(i\,j)\in S_3$. Es f\'acil ver que
$\phi^1(G)=\phi^k(G)=\gen{(1\,2)}$ para todo $k\geq1$. Luego $\alpha=\phi$ y
claramente $\im\alpha$ no es normal.

\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Usando el hecho que $\GL_2(\FF_2)$ permuta los elementos no
nulos de $\FF_2^2$, encuentre un isomorfismo $\GL_2(\FF_2)\cong S_3$.

\begin{Solucion}
Si $g\in\GL_2(\FF_2)$, podemos definir una aplicaci\'on
$\phi(g):v\in\FF_2^2\mapsto gv\in\FF_2^2$ dada por el producto matricial. Como
$\det g\neq0$, $\phi(g)$ es una biyecci\'on tal que $\phi(g)(0)=0$. Luego
$\phi(g)$ preserva $\FF_2^2\setminus0$ y la restricci\'on a este conjunto es una
biyecci\'on. Es claro que la aplicaci\'on $\phi':g\in\GL_2(\FF_2)\mapsto
\phi(g)|_{\FF_2^2\setminus0}\in S(\FF_2^2\setminus0)$ es un homomorfismo de
grupos.

Casi por definici\'on este homomorfismo es inyectivo. Contando, vemos que
$\GL_2(\FF_2)$ tiene $6$ elementos, as\'i que $\phi'$ debe ser una
isomorfismo.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo y sea $X\subset G$ un subconjunto tal que
$\gen{X}=G$. Sea $f\in\End(G)$ tal que $f(x)=x$ para todo elemento $x\in X$.
Entonces $f=\id_G$.

\begin{Solucion}
Basta mostrar que $f(g)=g$ cualquiera sea $g\in G$. Sea entonces $g\in G$. Como
$X$~genera a $G$, existen $x_1,x_2,\dots,x_n\in X$ tal que $g=x_1x_2\cdots x_n$.
Entonces $f(g)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=x_1x_2\cdots x_n=g$.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $X$ el conjunto de los elementos de orden $2$ de $S_3$.
Muestre que cada automorfismo de $S_3$ induce una permutaci\'on de $X$ y deduzca que
$\Aut(S_3)\cong S_3$.

\begin{Solucion}
Definimos $\phi:S_3\to S(X)$ de manera que si $g\in S_3$ y $x\in X$,
$\phi(g)(x)=gxg^{-1}$. Es f\'acil ver que se trata de un homomorfismo de grupos.
Como $\gen{X}=G$, usando la parte anterior concluimos que $\phi$ es inyectivo.
Como $\abs{X}=3$, es $\abs{S_3}=\abs{S(X)}=3!$ y $\phi$ debe ser un
isomorfismo.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $n\geq2$. Consideramos el polinomio \emph{discriminante}
  \[
  \Delta(x_1,\dots,x_n) = \prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)
    \in \ZZ[x_1,\dots,x_n]
  \]
Si $\pi\in S_n$ es una permutaci\'on de $\{1,\dots,n\}$, definimos
  \[
  \eps(\pi) = \frac
                  {\Delta(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})}
                  {\Delta(x_1,\dots,x_n)}.
  \]
\begin{ejitems}

\item Mostrar que cualquiera sea $\pi\in S_n$, es
$\eps(\pi)\in\{\pm1\}$.

\item Mostrar que $\eps:S_n\to\{\pm1\}$ es un homomorfismo de
grupo si dotamos a $\{\pm1\}$ del producto usual.

\end{ejitems}

\noindent El subgrupo $A_n=\ker\eps$ es el \emph{$n$-\'esimo grupo alternante}.

\begin{ejitems}[resume]

\item Describir $A_2$ y $A_3$.

\item Sea $\tau=(i\,j)\in S_n$ una transposici\'on. Determinar el valor
de~$\eps(\tau)$.

\item Recordemos que todo elemento $\pi\in S_n$ puede ser
escrito---de muchas maneras---como producto de transposiciones. Muestre que la
paridad del n\'umero de transposiciones empleadas depende solamente de $\pi$.

\end{ejitems}

\noindent Una permutaci\'on que puede escribirse de alguna forma como un producto
de un n\'umero par de transposiciones se dice~\emph{par}.

%%%%%%%%%%
\item\header{Automorfismos de $\HH$}
\begin{ejitems}

\item Determine todos los automorfismos interiores de $\HH$.

\item De ejemplos de automorfismos de $\HH$ no interiores.

\item Muestre que $\Aut(\HH)\cong S_4$.
%   \[
%   \includegraphics[height=1in]{cuaterniones-cubo}
%   \]

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Cocientes}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que
\begin{ejitems}
\item $\CC^\times/\RR^+\cong S^1$;
\item $\ZZ/m\ZZ\cong \ZZ_m$ cualquiera sea $m\in\NN$;
\item $\GL_n(k)/\SL_n(k)\cong k^\times$ si $k$ es un cuerpo y $n\in\NN$;
\item $S^1/\GG_n\cong S^1$ si $n\in\NN$;
\item si $m|n$, $\GG_n/\GG_m\cong \GG_{n/m}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es un grupo no abeliano, entonces $G/\Z(G)$ no es c\'iclico.

\begin{Indicacion}
Use el ejercicio $3.14$ de la pr\'actica $1$.
\end{Indicacion}

\begin{Solucion}
En caso contrario, existir\'ia $g\in G$ tal que $G=\gen{x,\Z(G)}$. Como claramente
$\gen{x,\Z(G)}=(x)\,\Z(G)$, el ejercicio~\ref{sub:abel-times-center} tendr\'iamos que
$G$ es abeliano.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item\label{quot:g-over-zg} Muestre que $G/\Z(G)\cong\Inn(G)$.

\begin{Solucion}
Es claro que la applicaci\'on $\inn:G\to\Aut(G)$ considerada en~\ref{hom:inner}
tiene a $\Z(G)$ como n\'ucleo y, por definici\'on, $\Inn(G)=\im\inn$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es un grupo y $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, muestre que
$G/(H\cap K)$ es isomorfo a un subgrupo de $G/H\times G/L$.

%%%%%%%%%%
\item Dado un grupo $G$, el \emph{grupo $\Out(G)$ de automorfismos exteriores
de~$G$} es el cociente $\Aut(G)/\Inn(G)$; recordemos que en el
ejercicio~\ref{hom:inner:normal} vimos que $\Inn(G)$ es normal en $\Aut(G)$.
Es importante observar que los elementos de $\Out(G)$ \emph{no} son
automorfismos de $G$.

Determinar $\Out(G)$ cuando $G\in\{S_3, S_4, \HH\}$.

\begin{Solucion}%
\def\T{\mathcal{T}} 
Sea $\T=\{(1\,2),\,(1\,3),\,(2\,3)\}$ el conjunto de las $3$ transposiciones de
$S_3$, que es precisamente el subconjunto de $S_3$ formado por los elementos de
orden $2$. Si $f\in\Aut(G)$ y $t\in\T$, entonces $f(t)^2=1$ as\'i que $f(t)\in\T$;
vemos as\'i que $f(\T)\subset\T$ y, como $f$ es biyectiva, que $f$ se restringe a
$\T$ y da un elementpo $f|_\T\in S(\T)$. Es claro que obtenemos de esta forma un
homomorfismo $\phi:f\in\Aut(S_3)\mapsto f|_\T\in S(\T)$. M\'as a\'un, como $\T$
genera a $S_3$, $\phi$ es inyectivo y, en particular, $\abs{\Aut(S_3)}\leq 3!$.

Como $\Z(S_3)=1$, \ref{quot:g-over-zg}~nos dice que
$\abs{\Inn(S_3)}=\abs{S_3/\Z(S_3)}=3!$. Comparando cardinales, vemos que
$\Inn(S_3)=\Aut(S_3)$ y, entonces, que $\Out(S_3)=1$.

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo no normal. Mostrar que el conjunto
de coclases izquierdas de $H$ en $G$ no forma un grupo bajo la multiplicaci\'on
usual.

\begin{Solucion}
Supongamos que $G/H$ es un grupo. 
El \'unico elemento idempotente de un grupo es el neutro, as\'i que, como $HH=H$
porque $H$ es un subgrupo de $G$, vemos que $H$ es el elemento neutro de $G/H$.
Entonces, cualquiera sea $g\in G$, debe ser $HgH=gH$, o, equivalentemente,
$g^{-1}HgH=H$. Como por supuesto $H\supset\{1\}$, es $H=g^{-1}HgH\supset
g^{-1}Hg\{1\}=g^{-1}Hg$. La arbitrariedad de $g$ implica que $H$ es normal.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Productos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sean $U$ y $V$ dos grupos. Sean adem\'as $f:U\to W$ y $g:V\to W$ dos
homomorfismos de grupos. Entonces la aplicaci\'on $h:(u,v)\in U\times V\mapsto
f(u)g(v)\in K$ es un homomorfismo de grupos sii todo elemento de $f(U)$ conmuta
con todo elemento de $h(V)$.

%%%%%%%%%%
\item Si $G$ y $H$ son grupos, determine $\Z(G\times H)$.

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto directo interno} Sea $G$ un grupo.

\begin{ejitems}

\item Sean $N$ y $M$ dos subgrupos normales de $G$ y supongamos que
$N\cap M=1$ y $G=NM$. Mostrar que entonces es $G\cong N\times M$.

\begin{Solucion}
Mostremos primero que si $n\in N$ y $m\in M$, entonces $nm=mn$. 
Como $M$ es normal, $nmn^{-1}\in M$ y entonces $nmn^{-1}m^{-1}\in M$;
de forma similar, $mnm^{-1}\in N$ porque $N$ es normal y entonces
$nmn^{-1}m^{-1}\in N$. As\'i $nmn^{-1}m^{-1}\in N\cap M=1$. 

Consideremos ahora la aplicaci\'on $\phi:(n,m)\in N\times M\mapsto nm\in G$.
Usando lo ya hecho es inmediato verificar que se trata de un homomorfismo de
grupos. La hip\'otesis de que $G=NM$ implica que $\phi$ es sobreyectivo.
Supongamos que $(n,m)\in\ker\phi$. Entonces $nm=1$ en $G$ y $N\ni n=m^{-1}\in
M$, asi que $n, m\in N\cap M=1$. Luego $\ker\phi=1$ y $\phi$ es inyectiva.~\qed
\end{Solucion}

\item Supongamos que $G$ es grupo finito de orden $mn$ con $(m,n)=1$. Si $G$ posee
exactamente un subgrupo~$N$ de orden~$n$ y exactamente un subgrupo~$M$ de orden~$m$,
entonces $G$~es isomorfo al producto directo de~$N$ y~$M$.

\begin{Solucion}
Si $g\in G$, $gNg^{-1}$ es un subgrupo de $G$ de orden $n$, de
manera que debe ser $gNg^{-1}=N$; vemos as\'i que $N$ es normal en $G$. De forma
similar, $M$ es un subgrupo normal de $G$. Sii $g\in N\cap M$, entonces $\abs{g}$
divide a $n$ y a $m$, as\'i que divide a $(n,m)=1$ y debe ser $g=1$; luego $N\cap
M=1$. Como en~\emph{(a)}, usando esto podemos mostrar que todo elemento de $N$
conmuta con todo elemento de $M$ y, entonces, que $\phi:(n,m)\in N\times M\to
nm\in G$ es un homomorfismo inyectivo de grupos. Como $\abs{N\times M} = \abs{G}$,
$\phi$ es sobreyectivo y, finalmente, vemos que se trata de un isomorfismo.
\end{Solucion}

\item* Sean $k\in\NN$ y $(N_i)_{i=1}^k$ una familia de subgrupos normales de $G$
tales que $G=\gen{\bigcup_{i=1}^kN_i}$ y para cada $j\in\{1,\dots,k\}$ se tiene que 
  \[
  N_j\cap\gen{\bigcup_{\substack{1\leq i\leq k\\i\neq j}}N_i} = 1.
  \]
Mostrar que entonces $G\cong N_1\times\dots\times N_k$.

\begin{Solucion}
Razonando como en~\emph{(a)} vemos que si $1\leq i<j\leq k$,
$n_i\in N_i$ y $n_j\in N_j$, 
  \[
  [n_i,n_j]\in N_i\cap N_j
    \subset 
    N_i\cap\gen{\bigcup_{\substack{1\leq l\leq k\\l\neq i}}N_l} = 1,
  \]
de manera que los elementos de $N_i$ y de $N_j$ conmutan. Luego la aplicaci\'on
  \[
  \phi:(n_1,\dots,n_k)\in N_1\times\dots\times N_l\mapsto n_1\cdots n_k\in G
  \]
es un homomorfismo de grupos, que es sobreyectivo porque
$G=\gen{\bigcup_{i=1}^kN_i}$. Para ver que es inyectivo, sea $(n_1,\dots,n_k)\in
\ker\phi$. Si $1\leq i\leq k$, 
  \[
  n_i 
    = n_{i-1}^{-1}n_{i-2}^{-1}\cdots n_2^{-1}n_1^{-1}
      n_k^{-1}n_{k-1}^{-1}\cdots n_{i+2}^{-1}n_{i+1}^{-1}
    \in N_i\cap\gen{\bigcup_{\substack{1\leq l\leq k\\l\neq i}}N_l} = 1.
  \]
Luego $(n_1,\dots,n_k)=1$ y $\ker\phi$ es trivial.
\end{Solucion}

\item*\label{prod:por-ordenes-k} Otra vez, supongamos que $G$ es finito y sean
$N_1,\dots,N_k$ subgrupos normales de $G$ de \'ordenes $r_1,\dots,r_k$ tales que
$(r_i,r_j)=1$ si $1\leq i,j\leq k$ y $\abs{G}=r_1\cdots r_k$. Entonces $G\cong
N_1\times\cdots\times N_k$.

\begin{Solucion}
Como en~\emph{(b)}, se ve que si $1\leq i<j\leq k$, todo elemento de $N_i$
conmuta con todo elemento de $N_j$. De esto deducimos que la aplicaci\'on
  \[
  \phi:(n_1,\dots,n_k)\in N_1\times\dots\times N_k\mapsto n_1\cdots n_k\in G
  \]
es un homomorfismo de grupos. Teniendo en cuenta los \'ordenes de los grupos
considerados, es claro que para probar el resultado deseado basta mostrar que
$\phi$ es inyectivo. Sea $(n_1,\dots,n_k)\in\ker\phi$. Como
$\phi(n_1,\dots,n_k)=n_1\cdots n_k=1$, es
  \[
  n_1=n_k^{-1}\cdots n_2^{-1}\in N_1\cap\gen{N_2\cup\dots\cup N_k}.
  \]
Pongamos $M=\gen{N_2\cup\dots\cup N_k}$. La funci\'on $\psi:(g_2,\dots,g_k)\in
N_2\times\dots\times N_k\mapsto g_2\cdots g_k\in M$ es un homomorfismo de grupos
y es claramente sobreyectivo. Como el orden del dominio de $\psi$ es $r_2\cdots
r_k$, concluimos que el orden de $M$ divide a $r_2\cdots r_k$. Pero entonces el
orden de $n_1$ divide a $r_1$ y a $r_2\cdots r_k$, esto es, $n_1=1$. De la misma
forma se ve que todas las componentes de $(n_1,\dots,n_k)$ son triviales, y esto
nos dice que $\phi$~es inyectiva, como quer\'iamos.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\label{semidirecto-def}\header{Producto semi-directo}
\begin{ejitems}
\item Sean $G$ y $N$ grupos y sea $\theta:G\to\Aut(N)$ un homomorfismo de grupos.
Sea $K=N\times G$ y consideremos el producto en $K$ dado por
  \[
  (n,g)\cdot(n',g') = (n\theta(g)(n'),gg'), 
    \qquad\forall(n,g),(n',g')\in K.
  \]
Mostrar que, con respecto a este producto, $K$ es un grupo. 
\end{ejitems}

\noindent Llamamos al grupo $K$ construido el \emph{producto semi-directo (o
cruzado) de $N$ por $G$ con respecto a $\theta$} y lo notamos $N\rtimes_\theta
G$.

\begin{ejitems}[resume]
\item Encontrar homomorfismos `naturales' de grupo $\iota:N\to N\rtimes_\theta G$ y
$\pi:N\rtimes_\theta G\to N$ tales que $\iota$ sea inyectivo, $\pi$ sea
sobreyectivo e $\im\iota=\ker\pi$.
\item Mostrar que si $\theta=1$ es el homomorfismo trivial, $N\rtimes_\theta
G\cong N\times G$ es simplemente el producto directo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto semi-directo interno} Sea $K$ un grupo y sean $G$ y $N$
subgrupos de $K$ con $N$ normal en $K$. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
\begin{ejitems}
\item $K=NG$ y $N\cap G=\{1\}$;
\item $K=GN$ y $N\cap G=\{1\}$;
\item Todo elemento de $K$ puede escribirse de forma \'unica como un producto de
un elemento de $N$ por uno de $G$.
\item Todo elemento de $K$ puede escribirse de forma \'unica como un producto de
un elemento de $G$ por uno de $N$.
\item La composici\'on de la inclusi\'on $\mathrm{incl:}:G\hookrightarrow K$ con la
proyecci\'on can\'onica $\mathrm{can}:K\twoheadrightarrow K/N$ es un isomorfismo
$\tau:G\cong K/N$.
\item Existe un homomorfismo $\sigma:K\to N$ que se restringe a la identidad de
$N$ y cuyo n\'ucleo es $N$.
\end{ejitems}
Adem\'as, cuando estas afirmaciones valen, existe un homomorfismo de grupos
$\theta:G\to\Aut(N)$ y un isomorfismo de grupos $\xi:N\rtimes_\theta G\to K$
tales que el siguiente diagrama conmuta:
  \[\xymatrix{
  N \ar[r]^-{\iota} \ar[d]
    & N\rtimes_\theta G \ar[r]^-{\pi} \ar[d]^-{\xi}
    & G \ar[d]^-{\tau}
    \\
  N\: \ar@{^(->}[r]^{\mathrm{incl}}
    & K \ar@{->>}[r]^{\mathrm{can}}
    & K/N
  }\]
Los homomorfismos $\iota$ y $\pi$ del diagrama fueron construidos en el
ejercicio~\ref{semidirecto-def}.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $S_3\cong \ZZ_3\rtimes_\theta\ZZ_2$ para un homomorfismo
$\theta:\ZZ_2\to\Aut(\ZZ_3)$ apropiado.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $S_n$ es el producto semi-directo de $A_n$ y $\gen{(1\,2)}$.

%%%%%%%%%%
\item* Mostrar que $\HH$ no puede ser escrito como un producto semi-directo de
forma no trivial.

%%%%%%%%%%
\item* Sea $G$ un grupo finito y $\phi:G\to G$ un endomorfismo de~$G$ y $\alpha$
el endomorfismo de $G$ construido en el ejercicio~\ref{phi-split}. Mostrar que
$G$ es el producto semi-directo de $\ker\alpha$ e $\im\alpha$.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\end{document}
