\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{\'Algebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{1}
\Titulo{Grupos -- introducci\'on}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\qm{\textquestiondown} 

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\ev}{ev}
\DeclareMathOperator{\inn}{inn}
\DeclareMathOperator{\chr}{char}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definici\'on}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposici\'on}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section{Definiciones}
% 
% \begin{ejercicios}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item\header{Exponentes peque\~nos} El \emph{exponente} de un grupo $G$ es el
% menor n\'umero $e$ tal que para todo $g\in G$ se tiene $g^e=1$.
% \begin{ejitems}
% 
% \item Mostrar que un grupo~$G$ tal que $g^2=1$ para todo~$g\in G$
% es abeliano.
% 
% \item* Qu\'e puede decir si se tiene en cambio que~$g^3=1$?
% 
% \begin{Solucion}
% Supongamos que $G$ es un grupo no abeliano tal que $g^3=1$ para todo $g\in G$ y
% supongamos que no posee subgrupos propios con esta propiedad. Entonces existen
% elementos $x$, $y\in G$ tales que $xy\neq yx$ y debe ser $G=\gen{x,y}$.
% 
% Notemos que si $u$, $v\in G$, entonces $(uv)^3=uvuvuv=1$, de manera que
%   \[
%   uvu=v^{-1}u^{-1}v^{-1}, \qquad\forall u,\,v\in G.
%   \]
% 
% Sea $z=y^{-1}x^{-1}yx$, de manera que $yx=xyz$. Entonces
% \begingroup
%   \def\i{^{-1}}
%   \begin{align*}
%   yzy\i z\i
%     &= y \cdot y\i x\i y x \cdot y\i \cdot x\i y\i x y 
%      = x\i y \underbrace{x} y\i x\i y\i x y \\
%     &= \underbrace{x\i y x\i} x\i y\i x\i y\i x y 
%      = y\i x y\i \underbrace{x\i y\i x\i} y\i x y \\
%     &= y\i x y\i \underbrace{yxy} y\i x y 
%      = y\i x^3y  = 1
% \intertext{y}
%   xzx\i z\i
%     &= x \cdot y\i x\i y x \cdot x\i \cdot x\i y\i x y
%      = x y\i x\i \underbrace{y} x\i y\i x y \\
%     &= x \underbrace{y\i x\i y\i} y\i x\i y\i x y 
%      = x xyx \underbrace{y\i x\i y\i} x y \\
%     &= x xyxxyxxy 
%      = (x^2y)^3 = 1
%   \end{align*}
% \endgroup
% Vemos as\'i que $x$ e $y$ conmutan con $z$. 
% 
% Usado esto es f\'acil ver que todo elemento de $G$ puede escribirse en la forma
% \(x^iy^jz^k\) con $0\leq i,j,k\leq 2$.
% 
% Calculando vemos que
%   \(
%   [x^iy^jz^k, x] = z^j
%   \)
% y que 
%   \(
%   [x^iz^k, y] = z^{2i}
%   \).
% Entonces, si $x^iy^jz^k = x^{i'}y^{j'}z^{k'}$, tenemos que
%   \[
%   z^j = [x^iy^jz^k,x] = [x^{i'}y^{j'}z^{k'},x] = z^{j'}
%   \]
% y, como $z\neq1$, esto implica que $j=j'$. Luego debe ser 
% $x^iz^k = x^{i'}z^{k'}$ y
%   \[
%   z^{2i} = [x^iz^k,y] = [x^{i'}z^{k'},y] = z^{2i'}
%   \]
% y vemos que $i=i'$. Por supuesto, debe ser entonces $k=k'$. Hemos probado que la
% escritura de un elemento de $G$ en la forma $x^iy^jz^k$ es \emph{\'unica}. En
% particular, $G$ posee $27$ elementos.
% 
% Calculando, vemos que
%   \[
%   x^iy^jz^k \cdot x^{i'}y^{j'}z^{k'}
%     = x^{i+i'}y^{j+j'}z^{k+k'+i'j}.
%   \]
% Es f\'acil ver que esta f\'ormula define de hecho un grupo no abeliano en el que
% todo elemento tiene orden $3$.
% 
% Notemos que podemos describir este grupo a menos de isomorfismo como
% $(\ZZ_3\oplus\ZZ_3)\rtimes_\theta\ZZ_3$ con
% $\theta:\ZZ_3\to\Aut(\ZZ_3\oplus\ZZ_3)$ determinado por la condici\'on de que 
%   \[
%   \theta(1) = \begin{pmatrix} 
%                 1 & 1 \\ 
%                 0 & 1 
%               \end{pmatrix}.
%   \]
% Imitando esta construcci\'on es posible contruir ejemplos de grupos no abelianos
% en los que todos los elementos tienen orden $p$ para cada n\'umero primo $p$.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Encontrar todos los grupos de orden a lo sumo~$6$.
% 
% %%%%%%%%%%
% \item* Mostrar que los tres axiomas de grupo---la asociatividad, la
% existencia de elemento neutro y la existencia de inversos---son independientes.
% 
% \end{ejercicios}
% 
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejemplos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $n\in\NN$ y sea $\GG_n=\{z\in\CC:z^n=1\}$. Mostrar que $\GG_n$, con
respecto al producto de $\CC$ es un grupo abeliano c\'iclico.

\item Sea $S^1=\{z\in\CC:\abs{z}=1\}$. Mostrar que $S^1$, con respecto al
producto de~$\CC$, es un grupo abeliano. \qm Es c\'iclico? 

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\label{ex:hh} Sea $\HH$ el conjunto de $8$ elementos
$\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ dotado del producto dado por la siguiente
ecuaciones:
  \begin{gather*}
  \begin{aligned}
  i\cdot j &= k, & j \cdot k &= i, & k \cdot i &= j, \\
  j\cdot i &= -k, & k \cdot j &= -i, & i \cdot k &= -j, 
  \end{aligned} \\
  i\cdot i = j\cdot j = k\cdot k = -1,
  \end{gather*}
y la regla usual de los signos. Mostrar que $(\HH,\cdot)$ es un grupo no
abeliano. Llamamos a $\HH$ el \emph{grupo de cuaterniones}. El siguiente
diagrama permite recordar la tabla de multiplicaci\'on de~$\HH$.
  \[
  \begin{xy} /r2pc/:
  \def\name{\ifcase\xypolynode\or i\or j\or k\fi}
  \xypolygon3"a"{~*{\name}~><{@{->}@/_1.25em/}}
  \end{xy}
  \]

%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo y $n\in\NN$. Ponemos
  \begin{gather*}
  \GL_n(k) = \{ A\in M_n(k) : \det A \neq 0 \} \\
\shortintertext{y}
  \SL_n(k) = \{ A\in M_n(k) : \det A = 1 \}.
  \end{gather*}
Mostrar que, dotados de la multiplicaci\'on usual de matrices, estos dos conjuntos
resultan ser grupos. Descr\'ibalos para $n=1$. \qm Cu\'ando son abelianos?

%%%%%%%%%%
\item\header{Grupo opuesto}
Sea $G$ un grupo. Sea $(G^\op,\cdot)$ tal que $G^\op=G$ como conjunto, y el
producto es
  \[
  \cdot:(g,h)\in G^\op\times G^\op\mapsto hg\in G^\op.
  \]
Mostrar que $(G^\op,\cdot)$ es un grupo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ uno grupo y $X$ un conjunto. 
\begin{ejitems}

\item Sea $G^X=\{f:X\to G\}$ dotado del
producto $\cdot:G^X\times G^X\to G^X$ dado por
  \[
  (f\cdot g)(x)=f(x)g(x), \qquad\forall f, g\in G^X, \forall x\in X.
  \]
Mostrar que $G^X$ es un grupo. \qm Cu\'ando es abeliano?

\item Sea $x_0\in X$ y sea $H_{x_0}=\{f\in G^X:f(x_0)=1\}$. Mostrar que
$H_{x_0}$ es un subgrupo de $G$. \qm Es normal?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto directo}
Sean $G$ y $H$ dos grupos. Consideremos la operaci\'on $\cdot$ sobre el
conjunto $K=G\times H$ dada por
  \[
  \cdot:\big((g_1,h_1),(g_2,h_2)\big)\in K\times K\mapsto (g_1g_2,h_1h_2)\in K.
  \]
Mostrar que $K$ es un grupo. Llamamos a $K$ el \emph{producto directo de $G$ y
$H$} y lo notamos $G\times H$.

%%%%%%%%%%
\item\label{all-p}\header{$\FF_p$-espacios vectoriales}
\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo abeliano y sea $p$ un n\'umero primo.
Supongamos que todo elemento de $G$ tiene order $p$. Mostrar que es posible
definir una multiplicaci\'on $\cdot:\FF_p\times G\to G$ por escalares de $\FF_p$
de manera que $(G,+,\cdot)$ resulte un $\FF_p$-espacio vectorial.

\item Supongamos adem\'as que $G$ es finito. Mostrar que existe
$n\in\NN_0$ tal que
  \[
  G\cong \underbrace{\ZZ_p\times\dots\times\ZZ_p}_{\text{$n$ veces}}.
  \]
\end{ejitems}
\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Subgrupos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y $H\subset G$ un subconjunto. Mostrar que
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]

  \item $H$ es un subgrupo de $G$.

  \item $H$ es no vac\'io y cualesquiera sean $x,y\in H$, es $xy^{-1}\in H$.

  \end{enumerate}
Si adem\'as $G$ es finito, estas afirmaciones son equivalentes a:
  \begin{enumerate}[resume]
  
  \item\label{sub:criterio-finito} $H$ es no vac\'io y cualesquiera sean $x, y\in
  H$, es $xy\in H$.
  
  \end{enumerate}
Dar un contraejemplo para esta \'ultima equivalencia cuando $G$ es infinito.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y $H_1$ y $H_2$ subgrupos de $G$.
\begin{ejitems}

\item $H_1\cap H_2$ es un subgrupo de $G$.

\item $H_1\cup H_2$ es un subgrupo de $G$ sii $H_1\subset H_2$ o
$H_2\subset H_1$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Dado un grupo $G$, \qm es el subconjunto de elementos de orden
finito un subgrupo de $G$?

%%%%%%%%%%
\item\label{ex:subgrupo-generado} Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}

\item Sea $\mathcal H$ una familia de subgrupos de $G$. Mostrar
que $\bigcap_{H\in\mathcal{H}}H$ es un subgrupo de $G$.

\item Sea ahora $X\subset G$ un subconjunto arbitrario. Mostrar
que existe un menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Describirlo en t\'ermino
de los elementos de $X$.

\end{ejitems}

\noindent El subgrupo cuya existencia se afirma en la segunda parte de este
ejercicio se denomina el \emph{subgrupo de $G$ generado por $X$} y se denota
$\gen X$. Si $X=\{x_1,\dots,x_r\}$, escribimos $\gen{x_1,\dots,x_r}$ en lugar de
$\gen{\{x_1,\dots,x_n\}}$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo, $X\subset X$ un subconjunto tal que
$G=\gen{X}$ y sea $N$ un subgrupo de $G$. Mostrar que $N$ es normal en $G$ sii
$xNx^{-1}\subset N$ para todo $x\in X$.

%%%%%%%%%%
\item\label{ex:hh-n} Sea $n\in\NN$ y sea $\omega\in\GG_{2^n}$ una
ra\'iz primitiva $2^n$-\'esima. Consideremos las matrices
  \begin{align*}
  &R = \begin{pmatrix} 
        \omega & 0 \\ 
        0 & \omega^{-1} 
      \end{pmatrix},
  &
  &S = \begin{pmatrix}
        0 & -1 \\
        1 & 0
      \end{pmatrix}
  \end{align*}
y sea $\HH_n=\gen{R, S}$ el subgrupo generado por $R$ y $S$ en $\GL_2(\CC)$.
Llamamos a~$\HH_n$ el \emph{$n$-\'esimo grupo de cuaterniones generalizados}.

Determinar el orden de $\HH_n$ y listar sus elementos.

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item  Sea $G=\GL_2(\ZZ)$ y sean $\alpha,\beta\in G$ dados por
  \begin{align*}
  &\alpha = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},
  &&\beta = \begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}.
  \end{align*}
Muestre que $\alpha^4=\beta^3$, pero que $\alpha\beta$ tiene orden infinito.
As\'i, $\gen{\alpha,\beta}$ es infinito.

Este ejemplo muestra que finitos elementos de orden finito pueden generar un
subgrupo infinito.

\item Determine $\gen{\alpha,\beta}$.

\begin{Solucion}
\def\M#1#2#3#4{\left(\begin{smallmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{smallmatrix}\right)}
Escribamos $G=\gen{\alpha,\beta}$. Afirmamos que $G=\SL_2(\ZZ)$. Es 
$\alpha\beta=\M1101$, as\'i que calculando vemos inmediatamente que
$\M1x01=(\alpha\beta)^x\in G$ para todo $x\in\ZZ$.

Sea $A=\M abcd\in\SL_2(\ZZ)$ y mostremos que $A\in G$ haciendo inducci\'on sobre $m=c+d$. 

Como
  \begin{align*}
  &  A\alpha = \M b{-a}d{-c},
  && A\alpha^2 = \M{-a}{-b}{-c}{-d}, 
  && A\alpha^3 = \M {-b}{a}{-d}c,
  \end{align*}
podemos suponer que $c,d\geq0$ sin p\'erdida de generalidad.

Para empezar, si $m=1$, debe ser $A=\M ab01$ \'o $A=\M ab10$. En el
primer caso debe ser $a=1$ y vemos que $A=(\alpha\beta)^b$. En el segundo debe
ser $b=-1$, y calculando vemos que $A=(\alpha\beta)^a\alpha$.

Supongamos que $m>1$. Notemos que debe ser $cd\neq0$. Si $c\geq d$, entonces es
  \[
  A\beta = \M{-b}{a-b}{-d}{c-d}.
  \]
Si $c=d$, entonces $d=1$ y $A\beta\alpha^2=\M b{b-a}10$, que sabemos ya que est\'a
en $G$. Si, por otro lado, $c>d$, entonces $\abs{d}+\abs{c-d}<m$, as\'i que
$A\beta$ est\'a en $G$, por nuestra hip\'otesis inductiva.~\qed

\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Generaci\'on de $S_n$}
\begin{ejitems}

\item Mostrar que
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]
  \item $S_n=\gen{\{(i\,j):1\leq i<j\leq n\}}$;
  \item $S_n=\gen{\{(1\,i):1\leq i\leq n\}}$;
  \item $S_n=\gen{\{(i\;\;i+1):1\leq i<n\}}$;
  \item $S_n=\gen{(1\,2),\;(1\,2\,3\dots n)}$;
  \end{enumerate}

\item* Sea $\mathcal T=\{(i\,j):1\leq i<j\leq n\}$ el conjunto de
todas las transposiciones. Encuentre una condici\'on necesaria y suficiente para
que un subconjunto $T\subset\mathcal T$ para que $S_n=\gen{T}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}

\item Sea $\mathcal H$ una familia de subgrupos normales de $G$.
Mostrar que $\bigcap_{H\in\mathcal{H}}H$ es un subgrupo normal de $G$.

\item Sea $X\subset G$ un subconjunto arbitrario. Mostrar que existe un menor
subgrupo normal de $G$ que contiene a $X$. Describirlo en t\'ermino de los
elementos de $X$.

\end{ejitems}

\noindent El subgrupo cuya existencia se afirma en la segunda parte de este
ejercicio se denomina el \emph{subgrupo normal de $G$ generado por $X$}. En
general, este subgrupo no coincide con el subgrupo generado por $X$, construido
en~\ref{ex:subgrupo-generado}.

\begin{ejitems}[resume]

\item\label{sub:normal-from-normal} Supongamos que $X\subset G$ es
un conjunto tal que, cualquiera sea $g\in G$, es $gXg^{-1}\subset X$. Mostrar
que entonces el subgrupo normal generado por $X$ coincide con el subgrupo
generado por $X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo y sea $N\subset G$ un subgrupo tal que $gNg^{-1}\subset
N$ para todo $g\in G$. Muestre que $N$ es normal.

\begin{Solucion}
Sea $g\in G$. Entonces como $gNg^{-1}\subset N$, es $N=g^{-1}gNg^{-1}g\subset
g^{-1}Ng$. As\'i, $gNg^{-1}\supset N$ para todo $g\in G$. Esto, junto con la
hip\'otesis, implica que $N$ es normal
\end{Solucion}

\item Sea $G=\GL_2(\QQ)$ y 
  \(
  H = \{
        \left(
        \begin{smallmatrix}1&n\\0&1\end{smallmatrix}
        \right)
        : n \in \ZZ
      \}
    \subset G
  \).
Entonces $H$ es un subgrupo de $G$. Sea ahora
  \(
  g = \left(
      \begin{smallmatrix}5&0\\0&1\end{smallmatrix}
      \right)
    \in G
  \).
Muestre que $gHg^{-1}\subsetneq H$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es un grupo y $A, B\subset G$ son subconjuntos, definimos
  \[
  AB=\{ab:a\in A, b\in B\}.
  \]

Consideremos un grupo $G$ y $A, B\subset G$ dos subconjuntos arbitrarios.

\begin{ejitems}

\item $AB$ es un subgrupo de $G$ sii $AB=BA$.

\item $G=AB$ sii $G=\gen{A,B}$ y $AB=BA$.

\item Si $AB=BA$ y $C\subset G$ es un subgrupo tal que $A\subset
C$, entonces $AB\cap C=A(B\cap C)$.

\item Si $G=AB$ y $C\subset G$ es un subgrupo tal que $A\subset
C$, entonces $C=A(B\cap C)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\label{sub:derivado} Sea $G$ un grupo. Si $a,b\in G$, escribimos
$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$; $[a,b]$ es el \emph{conmutador de $a$ y $b$}. Claramente
$[a,b]=1$ sii $a$ y $b$ conmutan, as\'i que en cierta forma $[a,b]$ mide la
no-conmutatividad de $a$ y $b$. 
\begin{ejitems}

\item Sea $X=\{[a,b]:a,b\in G\}$ y sea $G'=\gen{X}$ el subgrupo
generado por $X$ en~$G$. Mostrar que $G'$ es normal en $G$. Llamamos a $G'$ es
\emph{subgrupo derivado de $G$} y lo escribimos $[G,G]$.

\item $G$ es abeliano sii $[G,G]=1$.

\item Determinar $[G,G]$ cuando $G$ es $\HH$ o un grupo diedral
$D_n$.

\end{ejitems}

% Un grupo es \emph{perfecto} si coincide con su subgrupo derivado.
% \begin{ejitems}[resume]
% 
% \item* Sea $k$ un cuerpo finito. Mostrar que
% $[\GL_n(k),\GL_n(k)]=\SL_n(k)$ con la excepci\'on de $\GL_2(\FF_2)$. Mostrar que
% $\SL_n(k)$ es perfecto con la excepci\'on de $\SL_2(\FF_2)$ y $\SL_2(\FF_3)$. \qm Qu\'e
% sucede en los casos excepcionales?
% 
% \end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\label{sub:centro}\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo y sea 
  \(
  \Z(G)=\{g\in G:\text{$gh=hg$ para todo $h\in G$}\}
  \).
Mostrar que $\Z(G)$ es un subgrupo normal de $G$. Llamamos a $\Z(G)$ el
\emph{centro de $G$} y decimos que los elementos de $\Z(G)$ son \emph{centrales}
en $G$. 

\item Sea $G$ un grupo y $X\subset G$ un subconjunto tal que
$G=\gen{X}$. Mostrar que es
  \[
  \Z(G)=\{g\in G:\text{$gx=gx$ para todo $x\in X$}\}.
  \]

\item Encontrar el centro de un grupo abeliano, de $D_n$ para
cada $n\geq1$, de $\HH$, de $S_n$ para cada $n\geq1$, de $\GL_n(R)$ para cada
$n\geq1$ y $R\in\{\RR,\ZZ,\CC,\FF_p\}$.

\item Sea $G$ un grupo y $X$ un conjunto. Determinar el centro de
$G^X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\label{sub:abel-times-center} Sea $G$ un grupo y $H$ un
subgrupo abeliano de $G$. Mostrar que $H\Z(G)$ es un subgrupo abeliano de $G$.

%%%%%%%%%%
% \item\label{sub:centralizador} Sea $G$ un grupo.
% \begin{ejitems}
% 
% \item Sea $g\in G$. El \emph{centralizador de $g$ en $G$} es el
% subconjunto $\C(g) = \{h\in G:gh = hg\}$. Mostrar que se trata de un subgrupo de
% $G$ y que es, en efecto, el subgrupo m\'as grande de $G$ que contiene a $g$ y en
% el que $g$ es central.
% 
% \item Sea $N\subset G$ un subconjunto. El \emph{centralizador de
% $N$ en $G$} es el subconjunto $\C(N) = \{h\in G:\text{$nh = hn$ para cada $n\in
% N$}\}$. Mostrar que se trata de un subgrupo de $G$.
% 
% \item Mueste que si $N\subset G$ es un subconjunto,
% $\C(\gen{N})=\C(N)$.
% 
% \item Sea $H\subset G$ un subgrupo de $G$. El \emph{normalizador
% de $H$ en $G$} es el subconjunto $\N(H)=\{g\in G:gH=Hg\}$. Mostrar que se trata
% de un subgrupo de $G$. Mostrar, m\'as a\'un, que $H$ es un subgrupo normal de
% $\N(H)$.
% 
% \item Si $N\subset G$ es un subconjunto normal (es decir, si para
% cada $g\in G$, $gNg^{-1}$), entonces $\Z(N)$ es un subgrupo normal de $G$.
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Si $g=(i_1\,i_2\cdots i_{k-1}\,i_k)\in S_n$ es un ciclo de
% orden $k$, determinar $\C(g)$.
% 
% %%%%%%%%%%
% \item\label{sub:centralizador-iterado} 
% Sea $G$ un grupo y $S$ y $T$ subconjuntos de $G$ tales que $S\subset T$.
% Entonces:
% \begin{ejitems}
% 
% \item $\C(S)\supset\C(T)$;
% 
% \begin{Solucion}
% Si $g\in\C(T)$, entonces para cada $t\in T$ es $gt=tg$. Como
% $S\subset T$, vemos que para cada $s\in S$ es $gs=sg$ y, entonces, que
% $\C(S)\subset\C(T)$.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \item $\C(\C(S))\supset S$; y
% 
% \begin{Solucion}
% Sea $s\in S$. Si $c\in\C(S)$, entonces $cs=sc$. Luego $s$ conmuta con
% todos los elementos de $\C(S)$ y esto nos dice precisamente que $s\in\C(\C(S))$.
% \end{Solucion}
% 
% \item $\C(\C(\C(S)))=\C(s)$.
% 
% \begin{Solucion}
% Como $S\subset\C(\C(S))$, usando~\emph{(a)} vemos que
% $\C(S)\supset\C(\C(\C(S)))$. Por otro lado $\C(\C(\C(S)))\supset\C(S)$
% aplicando~\emph{(b)}.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Sea $G$ un grupo y $g\in G$. Entonces:
% \begin{ejitems}
% 
% \item $g\in\C(g)$;
% 
% \item $\C(\C(g))=\Z(\C(g))$;
% 
% \item $\C(g)\subset\C(h)$ sii $h\in\Z(\C(g))$; y
% 
% \item $\C(g)\subset\C(h)$ sii $\Z(\C(g))\supset\Z(\C(h))$.
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Sean $G$ un grupo y $H$ y $K$ subgrupos de $G$.
% \begin{ejitems}
% 
% \item Si alguno de $H$ o $K$ es normal en $G$ entonces $HK$ es un
% subgrupo.
% 
% \item Si los dos son normales, entonces $HK=KH$ y se trata de un
% subgrupo normal de $G$.
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item\label{normal-conmut} Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo
% normal de $G$. Mostrar que $[N,G]\subset N$.
% 
% %%%%%%%%%%
% \item*\label{normalidad-trans} El objetivo de este ejercicio es dar un ejemplo de
% que la normalidad de subgrupos no es transitiva.
% \begin{ejitems}
% 
% \item Sea $G$ el conjunto de todas las funciones $f:\RR^2\to\RR^2$
% que pueden escribirse en la forma
%   \[
%   f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
%   = \begin{pmatrix}
%       ax+by+e \\
%       cx+dy+f 
%     \end{pmatrix}
%   \]
% para ciertos $a, b, c, d, e, f\in\RR$ con $ad-bc\neq0$. Mostrar que $G$, con
% respecto a la composici\'on de funciones, es un grupo. 
% 
% \item Sea $T$ el subconjunto de $G$ formado por las funciones
% $f:\RR^2\to\RR^2$ que pueden escribirse en la forma
%   \[
%   f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
%   = \begin{pmatrix}
%       x+e \\
%       y+f 
%     \end{pmatrix}
%   \]
% para ciertos $e,f\in\RR$. Mostrar que $T$ es un subgrupo \emph{normal} en $G$.
% 
% \item Sea $L$ el subconjunto de $T$ formado por las funciones
% $f:\RR^2\to\RR^2$ que pueden escribirse en la forma
%   \[
%   f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
%   = \begin{pmatrix}
%       x+e \\
%       y+f 
%     \end{pmatrix}
%   \]
% para ciertos $e,f\in\ZZ$. Mostrar que se trata de un subgrupo de $T$; como
% $T$~es abeliano, $L$ es normal en $T$.
% 
% \item Mostrar que $L$ no es normal en $G$.
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Encontrar todos los subgrupos de $D_4$. Clasif\'iquelos bajo
% isomorfismo y determinar cu\'ales son normales.
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Sea $\HH$ el grupo de los cuaterniones. Mostrar que posee
% un \'unico elemento de orden~$2$ y que \'este es central. Deducir que $H\not\cong
% D_4$ y que todo subgrupo de~$H$ es normal.
% 
% Un grupo no abeliano con esta propiedad se dice \emph{Hamiltoniano}. El siguente
% teorema de Reinhold Baer (1902--1979) describe completamente esta clase de
% grupos:
% 
% \begin{Teorema*}
% \emph{(R. Baer, Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, S. B.
% Heidelberg. Akad. Wiss. 2 (1933), 12-17)} Un grupo finito es hamiltoniano sii es
% isomorfo a $\HH\times A$ para alg\'un grupo abeliano que no tiene elementos de
% orden~$4$.
% \end{Teorema*}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$ de \'indice
% finito~$n$. Mostrar que si~$g\in G$, entonces $g^n\in N$. Dar un ejemplo para
% mostrar que esto puede ser falso si $N$~no es normal.
% 
% %%%%%%%%%%
% \item\begin{ejitems}
% 
% \item Mostrar que un grupo no trivial sin subgrupos propios es
% c\'iclico de orden primo.
% 
% \begin{Solucion}
% Sea $G$ un grupo no trivial sin subgrupos propios y sea $g\in G\setminus\{1\}$.
% Entonces $\gen{g}$ es un subgrupo no trivial, as\'i que la hip\'otesis implica que
% $G=\gen{g}$ y vemos que $G$ es c\'iclico. 
% 
% Si $\abs{g}$ no es primo y existe $k>1$ tal que $k | \abs{g}$, entonces
% $\gen{g^k}$ es un subgrupo propio no trival de $\gen{g}=G$. Esto contradice la
% hip\'otesis. Luego $\abs{G}=\abs{g}$ es primo.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \item Sea $G$ un grupo c\'iclico y $g\in G$ un generador. Sea
% $n=\abs{G}$ y sea $p$ un n\'umero primo tal que $p\divides n$. Entonces
% $\gen{g^p}$ es un subgrupo maximal de~$G$.
% 
% \begin{Solucion}
% Supongamos por el contrario que $\gen{g^p}$ no es maximal, de manera que existe
% $k\in\NN$ tal que $\gen{g^p}\subsetneq\gen{g^k,g^p}\subsetneq\gen{g}$. Si
% notamos que $\gen{g^k,g^p}=\gen{g^{k-p},g^p}$ vemos que podemos suponer sin
% p\'erdida de generalidad que $0<k<p$. Pero entonces existen $\alpha,\beta\in\ZZ$
% tales que $\alpha k+\beta p=1$ y, en particular,
% $g=(g^k)^\alpha(g^p)^\beta\in\gen{g^k,g^p}$, contradiciendo nuestra
% hip\'otesis.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \item Mostrar que un grupo finito que posee un solo subgrupo
% maximal es c\'iclico que tiene como orden una potencia de un n\'umero primo.
% 
% \begin{Solucion}
% Sea $G$ un grupo con un \'unico subgrupo maximal $M$. Sea $g\in G\setminus M$.
% Entonces $\gen{g}\not\subset M$ as\'i que debe ser $G=\gen{g}$. Pongamos
% $n=\abs{g}$.
% 
% Sea $p$ un divisor primo de $n$. Entonces el ejercicio anterior implica que
% $\gen{g^p}$ es un subgrupo maximal de $G$. Vemos as\'i que $M=\gen{g^p}$ y, en
% particular, $\abs{M}=n/p$. Si $n$ posee otro divisor primo $q\neq p$, entonces
% el mismo razonamiento muestra que $\abs{M})n/q$. Por supuesto, esto es absurdo.
% 
% Concluimos as\'i que $n$ posee exactamente un divisor primo.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item* Sea $G$ un grupo finito y $H$ el subgrupo de $G$ generado
% por los elementos de orden impar. Entonces $H$ es normal y tiene \'indice una
% potencia de~$2$.
% 
% \begin{Solucion}
% Que $H$ es normal es claro en vista de~\ref{sub:normal-from-normal}, porque el
% conjunto generador de $H$ es normal. Resta ver que $[G:H]$ es una potencia
% de~$2$.
% 
% Supongamos por el contrario que existe un primo impar $p$ que divide a $[G:H]$.
% Entonces existe $g\in G\setminus H$ tal que $gH$ tiene orden $p$ en $G/H$, es
% decir, tal que $g^p\in H$. Escribamos $\abs{g}=p^rm$ con $(p,m)=1$. Claramente
% $g^m$ tiene orden $p^r$, que es impar, as\'i que $g^m\in H$. Como existen $\alpha$
% y $\beta\in\ZZ$ tales que $\alpha p + \beta m=1$, concluimos que
% $g=(g^p)^\alpha(g^m)^\beta\in H$, contradiciendo la elecci\'on de~$g$.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item*\header{Subgrupo de Frattini} Sea $G$ un grupo. Sea $\mathcal{M}$ el
% conjunto de subgrupos propios maximales de $G$. Si $\mathcal{M}\neq\emptyset$,
% ponemos $\Phi(G)=\bigcap_{M\in\mathcal{M}}M$; si, en cambio,
% $\mathcal{M}=\emptyset$, ponemos $\Phi(G)=G$. $\Phi(G)$ es el \emph{subgrupo de
% Frattini}, en honor de Giovanni Frattini (1852--1925, Italia).
% 
% \begin{ejitems}
% \item Determinar el subgrupo de Frattini de $\ZZ_{p^2}$ si $p$ es
% primo.
% 
% \end{ejitems}
% 
% \noindent Un elemento $g\in G$ es un \emph{no-generador} si siempre que $X\subset G$
% es un conjunto generador de $G$ y $g\in X$, entonces $X\setminus\{g\}$ tambi\'en
% genera a $G$.
% 
% \begin{ejitems}[resume]
% \item Mostrar que $\Phi(G)$ es el conjunto de elementos
% no-generadores de $G$.
% 
% \begin{Solucion}
% \def\N{\mathcal{N}}\def\M{\mathcal{M}}%
% Sea $\N$ el conjunto de elementos no-generadores de $G$.
% 
% Supongamos primero que $\M\neq\emptyset$. Sea $g\in G$ tal que existe $M\in\M$
% con $g\not\in M$. Entonces $M\subsetneq\gen{M\cup\{g\}}$ y debe ser
% $\gen{M\cup\{g\}}=G$. Pero $M$ no genera a $G$, as\'i que vemos que $g\not\in\N$.
% Esto muestra que $\N\subset\Phi(G)$. Por otro lado, si $g\not\in\N$, existe
% $X\subset G$ tal que $\gen{X}=G$ pero $\gen{X\setminus\{g\}}\neq G$. Sea
% $M\in\M$ tal que $\gen{X\setminus\{g\}}\subset M$. Entonces claramente $g\not\in
% M$ y vemos que $g\not\in\Phi(M)$. Concluimos que $\N\supset\Phi(G)$ y que,
% entonces, se tiene de hecho la igualdad.
% 
% Supongamos ahora que $\M=\emptyset$. En este caso tenemos que mostrar que
% $\N=G$. Buscando una contradicci\'on, supongamos que $g\in G\setminus\N$,
% de manera que existe $X\subset G$ tal que $\gen{X}=G$ pero
% $\gen{X\setminus\{g\}}\subsetneq G$.
% 
% Consideremos la familia $\mathcal F=\{H\subset G:\text{$H$ es subgrupo de $G$,
% $X\setminus\{g\}\subset H$ y $g\not\in H$}\}$, que no es vac\'ia porque
% $\gen{X\setminus\{g\}}\in\mathcal F$. El lema de Zorn nos provee inmediatamente
% de un elemento $M\in\mathcal F$ maximal en $\mathcal F$. Afirmamos que $M$ es de
% hecho maximal. En efecto, si $h\in G\setminus M$, es $\gen{M\cup\{h\}}\supsetneq
% M$, as\'i que $\gen{M\cup\{h\}}\not\in\mathcal F$. Como claramente
% $X\setminus\{g\}\subset\gen{M\cup\{h\}}$, debe ser $g\in\gen{M\cup\{h\}}$ y
% entonces $\gen{M\cup\{h\}}=G$. Vemos que $M\in\mathcal M=\emptyset$, lo que es
% absurdo.
% 
% Tiene que ser entonces $G\setminus\N$, como quer\'iamos.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \item Mostrar que $\Phi(G)$ es normal.
% 
% \begin{Solucion}
% El conjunto de no-generadores de $G$ es claramente normal.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% \end{ejitems}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo propio de $G$. Entonces
% $\gen{G\setminus H}=G$.
% 
% \begin{Solucion}
% Supongamos que $H'=\gen{G\setminus H}\subsetneq G$. Como $H\cup H'=G$, debe ser
% $H'\subset H$ \'o $H\subset H'$. En el primer caso, es $G\setminus H\subset
% H'\subset H$, as\'i que $G\setminus H=\emptyset$, lo que es imposible; en el
% segundo, $G=H\cup(G\setminus H)\subset H'$, lo que tambien es imposible. Vemos
% as\'i que nuestra suposici\'on contradice las hip\'otesis.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% %%%%%%%%%%
% \item Sea $G\subset\CC^\times$ un subgrupo finito del grupo
% multiplicativo $\CC^\times$. Entonces existe $n\in\NN$ tal que $G=\GG_n$ es el
% grupo de las ra\'ices $n$-\'esimas de la unidad.
% 
% \begin{Solucion}
% Sea $G\subset\CC^\times$ un subgrupo finito de orden $n$. Entonces si $z\in G$,
% es $z^n=1$ y vemos que cada elemento de $G$ es ra\'iz de $p(X)=X^n-1$. Como el
% conjunto de ra\'ices de $p$ es precisamente $\GG_n$, vemos que $G$ es un subgrupo
% de $\GG_n$. Como $\abs{G}=n=\abs{\GG_n}$, debe ser, de hecho, $G=\GG_m$.~\qed
% \end{Solucion}
% 

\end{ejercicios}


\end{document}
