La característica de Euler y el teorema de Gauss-Bonnet

6 de noviembre de 2006

Índice General

1 Complejos de cadena 2

2 Homología 2

3 La característica de Euler de un complejo 2

4 Mayer-Vietoris 4 4.1 Aplicación al cálculo de característica de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 El teorema de Gauss-Bonnet 8 5.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.2 ”Frames” y conexión con 1-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.3 Fórmulas estructurales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.4 Fórmulas estructurales para S ⊂ ℝ^{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.5 Demostración de la version local para un triángulo o cuadrado . . . . . . . 11

1 Complejos de cadena

Un sucesion de espacios vectoriales y transformaciones lineales

\xymatrix{⋯ \ar[r]^{d_{n+1}} & C_{n+1} \ar[r]^{d_{n}} & C_{n} \ar[r]^{d_{n−1}} & C_{n−1} \ar[r] & ⋯}

se llama un complejo si d_{n}d_{n+1} = 0 para todo n.

Si las flechas van al revés, se llama complejo de co-cadenas, se suelen indexar arriba, pero re-indexando C̃^{n} ≡ C_{−n} podemos pasar de los ocmplejos de cadena a los de cocadena y viceversa.

Ejemplo: U un abierto de ℝ^{3}

C^{0} = C^{∞}(U), C^{1} = C^{∞}(U)^{3}, C^{2} = C^{∞}(U)^{3}, C^{3} = C^{∞}(U)

d_{0} : C^{0} → C^{1} dada por d_{0}(f) = ∇f, d_{1} : C^{1} → C^{2} dada por d_{1}(F) = ∇ × F, d_{2} : C^{2} → C^{3} dada por d_{2}(G) = ∇ · F. (Y el resto de los espacios vectoriales y transf. igual a cero.)

Sabemos que ∇ × (∇f) ≡ 0 y ∇ · (∇ × F) ≡ 0, por lo tanto es un complejo.

2 Homología

Si

\xymatrix{⋯ \ar[r]^{d_{n+1}} & C_{n+1} \ar[r]^{d_{n}} & C_{n} \ar[r]^{d_{n−1}} & C_{n−1} \ar[r] & ⋯}

es un complejo, la condición d_{n−1}d_{n} = 0 nos dice exactamente Imd_{n} ⊆ Kerd_{n−1}. escribiremos d por d_{n}, y d^{2} = 0 en vez de d_{n−1}d_{n} = 0. Si buscamos elementos ω_{n} tales que dω_{n} = 0, segur resolvemos esto poniendo ω_{n} =

dη_{n+1}. Pero, hay otros? O de otra manera, si queremos ver que ω = dη, es necesario que ω satisfaga dω = 0. Pero, será suficiente? Se define, para un complejo C, su homología en grado n como

H_{n}(C) = Ker(d_{n−1})/Im(d_{n})

La cohomologia de De Rham es la homología del complejo (de cocadenas) de las formas diferenciales con el diferencial exterior. H_{dR}^{n}(M) = n-formas cerradas / n-formas exactas = Ker(d : Ω^{n} → Ω^{n+1})/Im(d : Ω^{n−1} → Ω^{n}).

La condición d_{n+1}d_{n} = 0

3 La característica de Euler de un complejo

Sea

C = ⋯ → C_{n+1} → C_{n} → C_{n−1} → ⋯

un complejo de dimension total finita. Se define

χ(C) = ∑_{n}(−1)^{n} dim C_{n}

Teorema 3.1. Sea C un complejo de dimension finita, entonces

χ(C) = χ(H(C))

Ejemplo 3.2. El complejo mas corto posible, que no sea concentrado en un unico lugar, es un morfismo f : X → Y. Este teorema dice

dim X − dim Y = dim Kerf − dim Y/Im(f).

En efecto, todos sabemos el teorema de la dimensión que nos dice

dim X = dim Kerf + dim Imf,

por lo tanto

dim X − dim Y = dim Kerf + dim Imf − dim Y = dim Kerf − dim(Y/Im(f)) Demostración.(del teo) En general, por induccion en el largo del complejo, si empieza en lugar dado:

C : 0 → C_{n−1} →^{d_{n−1}} C_{n} → C_{n+1} → ⋯

podemos considerar el complejo

C̃ : 0 → 0 → C_{n}/Im(d_{n−1}) → C_{n+1} → ⋯

tiene largo mas chico, luego

χC̃ = χH(C̃).

La homologia de C̃ es la misma que la de C, salvo en lugar n − 1. Tenemos

χH(C̃) = χH(C) − (−1)^{n−1}H_{n−1}(C) = χH(C) − (−1)^{n−1} dim Ker(d_{n−1})

Por otra parte,

χC̃ = χC − (−1)^{n−1} dim C_{n−1} − (−1)^{n} dim Im(d_{n−1})

y por hipotesis inductiva

χC̃ = χH(C̃),

luego, bastaria probar la igualdad

(−1)^{n−1}Ker(d_{n−1}) = (−1)^{n−1} dim C_{n−1} + (−1)^{n} dim Im(d_{n−1})

o, quitando el (−1)^{n−1}:

Ker(d_{n−1}) = dim C_{n−1} − dim Im(d_{n−1})

que es cierta, de nuevo por el teorema de la dimension.

Corolario 3.3. Sea C un complejo exacto, entonces su caracteristica de Euler es cero.

Si C es un complejo de dimension no necesariamente finita, no acotado, pero cuya homologia sea de dimension total finita, podemos definir

χC ≡ χH(C).

Corolario 3.4. Si C^{1} y C^{2} son complejos con misma homologia, entonces χC^{1} = χC^{2}.

Definición 3.5. Si X es un espacio topologico tal que dim H_{∗}(X, k) es finita, entonces χ(X) ≡ χ(H_{∗}(X, k)).

Ejemplo 3.6. La caracteristica de Euler de un intervalo I es 1, pues H^{0} tiene dimension uno y el resto cero. Lo mismo para cualquier espacio contractil, por ejemplo el disco D^{2}.

Observación 3.7. De manera equivalente, se puede definir χ(X) como χ de cualquier complejo que calcule la homologia de X. Por ejemplo, M es una variedad, entoncesχM = χ(H_{∗}(M, k)) = χ(H_{dR}^{∗}(M)).

4 Mayer-Vietoris

Teorema 4.1. Sea M un espacio topologico (o variedad diferfenciable), A y B dos abiertos tales que M = A ∪ B, entonces existe una sucesion exacta larga para su homologia singular,

⋯ → H_{n}(A ∩ B) → H_{n}A ⊕ H_{n}B → H_{n}M → H_{n−1}(A ∩ B) → …

→ H_{1}M → H_{0}(A ∩ B) → H_{0}A ⊕ H_{0}B → H_{0}M → 0

y tambien para su cohomologia de De Rham:

0 → H_{dR}^{0}(M) → H_{dR}^{0}A ⊕ H_{dR}^{0}B → H_{dR}^{0}(A ∩ B) → ⋯

⋯ → H_{dR}^{n}(M) → H_{dR}^{n}A ⊕ H_{dR}^{n}B → H_{dR}^{n}(A ∩ B) → H_{n+1}(M) → …

Corolario 4.2. Sea M = A ∪ B una union de dos abiertos. Entonces χM = χA + χB − χA ∩ B.

4.1 Aplicación al cálculo de característica de Euler

La caracteristica de Euler de la union disjunta es la suma.

Ejemplo 4.3. La caracteristica de Euler de S^{1} es cero. Lo escribimos como union de dos intervalos, cuya interseccion es dos intervalos, entonces tenemos χS^{2} = 1 + 1 − 2 = 0.

Ejemplo 4.4. La caracteristica de Euler de un cilindro es cero, pues es homotopicamente equivalente a S^{1}.

Corolario 4.5. Si X es un espacio topologico triangulado, se puede definir χX como la suma alternada de la cantidad de simplices de cada dimension.

Hay dos maneras de ver esto:

1. En el caso de una superficie, como un triangulo es contractil, y un lado es contractil, y un punto tambien, vemos que basta chequear que la caracteristica de Euler de estos objetos se puede calcular a traves de esta suma alternada.

En un punto, la caracteristica de Euler es uno.

En un segmento, la caracteristica de Euler es uno, y un segmento tiene 1 simplice de dimension 1 (el segmento) y dos simplices de dimension 1 (sus extremos), asi que −1 + 2 = 1 da el resultado corresto.

Un triangulo tiene un simplice de dimension 2 (el triangulo), 3 lados, y tres vertices, luego 1 − 3 + 3 = 1 de nuevo da el resultado correcto!.

2. La otra manera es usar un teorema que dice que la homología se puede calcular con un complejo de cadenas, en el que en cada lugar (grado) tiene un espacio vectorial de dimension igual a la cantidad de simplices de la dimensión igual a ese grado, que uno obtuvo por triangulacion.

Una manera de demostrar ese teorema es inductivamente por la cantidad de simplices en la triangulacion, usando Mayer-Vietoris...

Observación 4.6. Vemos que no hace falta ”triangular”, podriamos ”cuadrangular”, o simplemente usar Mayer-Vietoris.

4.2 Ejemplos

Ejemplo 4.7. La esfera: el ecuador con un unico punto en el, y el hemisferio norte y sur da χS^{2} = 2 − 1 + 1 = 2. Otra manera es ver a la esfera pegando el hemisferio norte con el sur (dos discos, cada uno tiene caracteristica uno) y la interseccion es una banda alrededor del ecuador (caracteristica cero), luego 1 + 1 − 0 = 2.

Ejemplo 4.8.

El plano proyectivo, tiene el borde con un unico punto y un unico hemosferio, luego χℝP^{2} = 1 − 1 + 1 = 1 Ejemplo 4.9. El toro: dos ecuadores, un unico punto, un unico cuadrado, da χT^{2} = 1 − 2 + 1 = 0. O bien, usando Mayer Vietoris, unimos dos cilindros (caracteristica cero) que se intersecan en un cilindro (caracteristica cero) luego 2 × 0 − 0 = 0.

Ejemplo 4.10. Si a M le quitamos un circulo, la caracteristica de Euler disminuye en uno. En efecto, si M′ es M menos el circulo, sea A un circulo un poquito mas grande, de esta manera A ∪ M′ = M y A ∩ M′ es un anillo, que es homotopico a S^{1}, cuya caracteristica de Euler es cero. Tenemos χM = χM′ + χA, luego χM′ = χM − 1. Si hubieramos hecho una triangulacion, podriamos considerar que ese circulo es parte de la triangulacion, suando sumamos los vertices y los lados da lo mismo, pero cuando sumamos los triangulos, nos falta uno.

Ejemplo 4.11.

Si a M le agregamos una manija y llamamos M̃ a lo que resulta, la caracteristica de Euler disminuye en dos: χM̃ = χM′′ + χC^{2} − 2χC^{2} = χM − 2.

Ejemplo 4.12. Si a M le agregamos un cross-cap, la caracteristica disminuye en 1, pues M ∗ P^{2} = (M − D^{2}) ∪ P^{2} y con interseccion un disco, entonces χM ∗ P^{2} = χ(M − D^{2}) + χP^{2} − χC^{2} = χM − 1 + 1 − 1

Ejemplo 4.13. La botella de Klein la describimos como un cuadrado donde identificamos los lados paralelos. Un par como en el cilindro, y el otro par, con la orientacion al reves del toro. La cantidad de vertices, lados y cuadrados es independiente de la orientacion... da lo mismo que el toro: 0 = 1(cuadrado) − 2(lados) + 1(punto).

5 El teorema de Gauss-Bonnet

5.1 Enunciado

Version global:

Teorema 5.1. S una superficie orientable y orientada, compacta sin borde, entonces

∫_{S} d^{2}x\sqrt{h}R(h) = 2πχ(S)

Ejemplo 5.2. Tomamos una esfera de radio uno, entonces su curvatura es constantemente uno, la integral da el área, que es 4π, por lo tanto la caracteristica de Euler de la esfera es 2.

Version local:

Teorema 5.3. S una superficie orientable y orientada, con borde, entonces

∫_{S} d^{2}x\sqrt{h}R(h) + ∫_{∂S} k_{g}ds = 2πχ(S)

donde k_{g} es la curvatura geodésica (ver luego).

5.2 ”Frames” y conexión con 1-formas

En vez de coordenadas x^{μ} y campos vectoriales ∂_{μ} tomamos, en un abierto, campos E_{1}, …, E_{n} tales que ⟨E_{i}, E_{j}⟩ = δ_{ij}. La base dual da 1-formas que las llamamos θ_{i}.

Dada la conexión de Levi-Civita (o cualquier conexion..) ∇, y un frame E_{1}, …, E_{n}, se definen 1-formas asociadas ω_{ij} por la fórmula:

∇_{X}E_{i} = ∑_{k} ω_{ij}(X)E_{j}

o bien, en el caso de conexión de Levi-Civita:

ω_{ij}(X) = ⟨∇_{X}E_{i}, E_{j}⟩

Son n^{2} 1-formas, pero en realidad hay a lo sumo n(n−1)/2 pues hay relaciones: ω_{ij} = −ω_{ji}, dado que si la conexión es de Levi-Civita

X⟨Y, Z⟩ = ⟨∇_{X}Y, Z⟩ + ⟨Y, ∇_{X}Z⟩

y como ⟨E_{i}, E_{j}⟩ = δ_{ij} entonces

0 = ⟨∇_{X}E_{i}, E_{j}⟩ + ⟨E_{i}, ∇_{X}E_{j}⟩

5.3 Fórmulas estructurales en general

Para el diferencial exterior, valen las fórmulas

dθ_{i} = ∑_{j} ω_{ij} ∧ θ_{j}

dω_{ij} = ∑_{k} ω_{ik} ∧ ω_{kj}

Demostración.(Cartan) Por ejemplo las primeras: la manera intrínseca de definir el diferencial exterior es

dθ_{i}(X, Y) = Xθ_{i}(Y) − Y θ_{i}X − θ[X, Y]

Podemos evaluar esta expresión en (E_{j}, E_{k}) y obtenemos

dθ_{i}(E_{j}, E_{k}) = E_{j}θ_{i}(E_{k}) − E_{k}θ_{i}E_{j} − θ_{i}[E_{j}, E_{k}]

Como θ_{i}(E_{j}) = δ_{ij} (es la base dual), esas evaluaciones dan funciones constantes, al derivarlas con E_{k} dan cero, por lo tanto

dθ_{i}(E_{j}, E_{k}) = −θ_{i}[E_{j}, E_{k}]θ_{i}[E_{k}, E_{j}]

Por otra parte, si calculamos

(∑_{ℓ=1}^{n} ω_{iℓ} ∧ θ_{ℓ}) (E_{j}, E_{k}) = ∑_{ℓ=1}^{n} ω_{iℓ}(E_{j})θ_{ℓ}(E_{k}) − ∑_{ℓ=1}^{n} ω_{iℓ}(E_{k})θ_{ℓ}(E_{j})
= ω_{ik}(E_{j}) − ω_{ij}(E_{k})
= ⟨∇_{E_{j}}E_{i}, E_{k}⟩ − ⟨∇_{E_{k}}E_{i}, E_{j}⟩
= −⟨∇_{E_{j}}E_{k}, E_{i}⟩ + ⟨∇_{E_{k}}E_{j}, E_{i}⟩
= ⟨∇_{E_{k}}E_{j} − ∇_{E_{j}}E_{k}, E_{i}⟩
= ⟨[E_{k}, E_{j}], E_{i}⟩
= θ_{i}[E_{k}, E_{j}]

(hemos usado que la conexión no tiene torsión: ∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y] = 0)

Para dω_{ij} parecido..

5.4 Fórmulas estructurales para S ⊂ ℝ^{3}

Nos concentraremos en el caso S una superficie embebida en ℝ^{3}, orientable y orientada, donde ponemos la metrica usual plana en ℝ^{3} y la métrica inducida en la superficie.

Tomamos un Frame tal que E_{1} y E_{2} sean tangentes a a S y E_{3} es un vector normal (el vector normal E_{3} lo podemos hacer globalmente en la superficie si es que es orientable). Tomamos E_{1}, E_{2}, E_{3} base orientada.

Para vectores tangentes a S tenemos un endomorfismo

X ↦ (∇_{X}N_{3})^{S} =

Escrito en términos de ω_{ij} es:

X ↦ (∇_{X}N_{3})^{S} = ⟨∇_{X}N_{3}, E_{1}⟩E_{1} + ⟨∇_{X}N_{3}, E_{2}⟩E_{2} = ω_{13}(X)E_{1} + ω_{23}(X)E_{2}

Se define la curvatura de Gauss K = det S (y la curvatura media, que no usaremos, por H = \frac{1}{2}trS).

Si calculamos el determinante de este endomorfismo en la base E_{1}, E_{2}, tenemos

E_{1} ↦ (∇_{E_{1}}N_{3})^{S} = ω_{13}(E_{1})E_{1} + ω_{23}(E_{1})E_{2}
E_{2} ↦ (∇_{E_{2}}N_{3})^{S} = ω_{13}(E_{2})E_{1} + ω_{23}(E_{2})E_{2}

y por lo tanto,

K = det ( \begin{matrix}ω_{13}(E_{1}) & ω_{23}(E_{1}) \\ ω_{13}(E_{2}) & ω_{23}(E_{2}) \end{matrix} ) = ω_{13} ∧ ω_{23}(E_{1}, E_{2})

Lema 5.4. K = R_{S}, el escalar de Ricci de S.

Demostración.La conexion en S esta definda por

∇_{X}^{S}Y = (∇_{X}Y)^{S} = ⟨∇_{X}Y, E_{1}⟩E_{1} + ⟨∇_{X}Y, E_{2}⟩E_{2}

El tensor de curvatura en S se calcula como

R(X, Y, Z) = ∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z − ∇_{[X,Y]}Z

Si calculamos ω_{13}(E_{1})ω_{23}(E_{2}) − ω_{13}(E_{2})ω_{23}(E_{1}) empezaran a aparecer formulas con als derivadas covariantes... paciencia y perseverancia.. y surge R.

Ahora calculemos diferenciales en M. Notar que el elemento deárea ”d^{2}x\sqrt{h}” es θ_{1}∧θ_{2}.

Lema 5.5.

dω_{12} = −Kθ_{1} ∧ θ_{2}

Demostración.Usamos la formula

dω_{12} = ω_{11} ∧ ω_{12} + ω_{12} ∧ ω_{22} + ω_{13} ∧ ω_{32}
= ω_{13} ∧ ω_{32}
= −ω_{13} ∧ ω_{23}

Ahora aplicamos dω_{12}(E_{1}, E_{2}) y obtenemos

dω_{12}(E_{1}, E_{2}) = −ω_{13} ∧ ω_{23}(E_{1}, E_{2}) = −K

por otra parte dω_{12} debe ser un múltiplo de θ_{1} ∧θ_{2} pues este es el elemento de area, y como θ_{1} ∧ θ_{2}(E_{1}, E_{2}) = 1 se sigue que dω_{12} = −Kθ_{1} ∧ θ_{2}.

5.5 Demostración de la version local para un triángulo o cuadrado

Por la fórmula de K, mas el teorema de Stokes,

∫∫_{S} \sqrt{h}d^{2}xK = − ∫∫_{S} dω_{12} = − ∫_{∂_{M}} ω_{12}

Consideremos ahora la función ángulo con respecto al frame, es decir, ϕ definida por c′(t) = |c′(t)|(cos ϕ(t)E_{1} + sin ϕ(t)E_{2}).

Lema 5.6. Sea c una curva recorrida a velocidad constante, entonces

k_{g}(c(t)) = ϕ′(t) + ω_{12}(c′(t))

Primero, habria que definir k_{g}, la curvatura geodésica...

Si c(t) es una curva tal que ||c′(t)|| =cte., entonces ⟨c′′(t), c′(t)⟩ = 0, es decir, la aceleración es perpendicular a la velocidad.

En principio, la aceleración es un vector de la forma c′′(t) = a_{1}(t)E_{1} +a_{2}(t)E_{2} +a_{3}E_{3}, si lo descomponemos en una componente tangente a S y otra normal, la parte tangente será a_{1}(t)E_{1} + a_{2}(t)E_{2}. La curvatura geodésica, en módulo, es igual al módulo de este vector. Para determinar el signo hacemos lo siguiente:

Supongamos por comodidad que |c′| = 1. Podemos escribir c′(t) = cos ϕ(t)E_{1} + sin ϕ(t)E_{2}. Existe un único vector J(c′), perpendicular a c′ contenido en el tangente a S y tal que c′, J(c′), E_{3} sea una base orientada. Este vector, de hecho es

J(c′(t)) = − sin ϕ(t)E_{1} + cos ϕ(t)E_{2}

(es perpendicular a c′ y tangente a la superficie.) Por definición,

c′′(t) = k_{g}J(c′) + a_{3}(t)E_{3}

En otras palabras,

k_{g}(c(t)) = ⟨c′′(t), J(c′(t))⟩

(si es que c′ esta recorrida a velocidad constante 1).

Demostración.(del lema) La función ángulo esta definida por

c′(t) = cos ϕE_{1} + sin ϕE_{2}

luego

c′′(t) = ϕ′(− sin ϕE_{1} + cos ϕE_{2}) + cos ϕ∇_{c′}E_{1} + sin ϕ∇_{c′}E_{2}

y por otra parte,

J(c′) = − sin ϕE_{1} + cos ϕE_{2}

por lo tanto

k_{g} = ⟨c′′(t), J(c′(t))⟩
= ⟨ϕ′(− sin ϕE_{1} + cos ϕE_{2}) + cos ϕ∇_{c′}E_{1} + sin ϕ∇_{c′}E_{2}, − sin ϕE_{1} + cos ϕE_{2}⟩
= ϕ′ + ⟨cos ϕ∇_{c′}E_{1} + sin ϕ∇_{c′}E_{2}, − sin ϕE_{1} + cos ϕE_{2}⟩
= ϕ′ + cos^{2} ϕ⟨∇_{c′}E_{1}, E_{2}⟩ + sin^{2} ϕ⟨∇_{c′}E_{2}, E_{1}⟩
= ϕ′ + ⟨∇_{c′}E_{1}, E_{2}⟩
= ϕ′ + ω_{12}(c′)

Corolario 5.7. Sea c : [a, b] → S una curva (diferenciable), entonces

∫_{C} k_{g}ds = ϕ(b) − ϕ(a) + ∫_{C} ω_{12}

Corolario 5.8.

∫ ∫_{S} d^{2}x\sqrt{h}R + ∫_{∂_{S}} k_{g}ds = angulo recorrido en el borde

Dos ejemplos límite:

Consideramos el disco plano. La curvatura es cero, y el ángulo recorrido es frm−eπ, y esto nos da 2π veces la característica de Euler del disco, que es 1.

Como otro extremo, consideramos la esfera S^{2} de radio 1, tomamos S= el hemisferio norte, su borde es el ecuador. Como el ecuador es una geodésica, su curvatura geodésica es cero, por lo tanto la integral ∫_{∂_{S}} k_{g}ds = 0. Pero como la curvatura es constante (=1), el término ∫∫_{S} d^{2}x\sqrt{h}R da el área del hemisferio norte, que es la mitad del área de la esfera, es decir, \frac{1}{2}4π = 2π, igual que antes.

Para el teorema en general hace falta considerar bordes con puntas. En ese caso, la curvatura geodésica valdria infinito en las esquinas.. o mejor dicho, una delta por el valor del salto del angulo. Por eso, la integral ∫ k_{g} se reemplaza por la integral en los trozos diferenciables mas la suma de los ángulos (exteriores) de cada esquina.

Teorema 5.9. (el teorema de Gauss-Bonnet para un cuadrado) Sea x(u, v) : I × I → S la parametrización de un cuadrado, con ∂_{u}x ≠ 0. Llamando S̃ a la imagen de x, tenemos

∫∫S̃ d^{2}x\sqrt{g}R + ∫_{∂S̃} k_{g}ds = 2π

donde está pre-supuesta la elección de un vector normal y la orientación de la superficie y la parametrización.

Demostración.Consideramos el siguiente dibujo:

y tomamos como Frame E_{1} = \frac{1}{||∂_{u}||}∂_{u}, E_{2} a un vector unitario tangente a S y perpendicular a E_{1}, y E_{3} al vector normal a la superficie. El E_{2} se elige de manera que el Frame quede orientado.

∫∫S̃ d^{2}x\sqrt{g}R = − ∫∫S̃ dω_{12} = − ∫_{∂S̃} ω_{12}

Por otra parte, en cada trozo diferenciable C de ∂S̃,

∫_{C} k_{g} = ϕ(b) − ϕ(a) + ∫_{C} ω_{12}

donde a y b son los extremos de la parametrización de C.

El término de integral de ω_{12} en cada tramo suave se cancela, y queda entonces la suma de todas las diferencias de ángulo ”ϕ(b) − ϕ(a)” y los saltos de angulos.

Si el borde lo parametrizamos de manera que a tiempo 0 estamos en el lugar marcado en la figura, a tiempo 1 en donde doblamos en β, en 2 doblamos en γ, en 3 doblamos en δ y en 4 volvemos al origen, tenemo las siguiente suma de ángulos:

ϕ(1−) − ϕ(0+) + β + ϕ(2−) − ϕ(1+) + γ + ϕ(3−) − ϕ(2+) + δ + ϕ(4−) − ϕ(3+) + α

Ahora bien, como el frame que tomamos tiene E_{1} apuntando en la misma direccin que ∂_{u}x, la curva es obviamente tangente a ∂_{u}x en los tramos \overline{01} y \overline{23}. Por lo tanto, ϕ(1−) = 0 = ϕ(0+), y ϕ(2+) = π = ϕ(3−), y las diferencias

ϕ(1−) − ϕ(0+) + ϕ(3−) − ϕ(2+) = 0

no aportan nada.

Por otra parte, ϕ(1+) es exactamente β, y para las otras:

ϕ(2+) = π, ϕ(2−) = π − γ

(conviene recordar que ahora E_{1} sigue apuntando hacia la derecha, mientras que la curva empieza a apuntar a la izquierda)

ϕ(3−) = π, ϕ(3+) = −π + δ

ϕ(4−) = −α

Por lo tanto la suma de anulos

ϕ(1−) − ϕ(0+) + β + ϕ(2−) − ϕ(1+) + γ + ϕ(3−) − ϕ(2+) + δ + ϕ(4−) − ϕ(3+) + α

es igual a

+β + π − γ − β + γ + δ − α − (−π + δ) + α = +π + π = 2π

El teorema de Gauss-Bonnet queda demostrado despues de los siguientes procedimientos

• Ver que toda superficie se ”cuadrangula” (si pensamos en una superficie como un objeto hecho de papel, o de una gran sábana cortada y cocida en diversos lugares, es claro que con una tijera podemos cortar la superficie y verla como unión de pequeños trozos cuadraditos..)

• ver que al integrar una union de polihedros, las integrales de los lados en comun se cancelan, los angulos que se dejan de contar en las esquinas se compensan con las integrales que dan 2π, y llegar a una fórmula tipo χ(A∪B) = χ(A)+χ(B)−χ(A∩B),

• finalmente ver que la característica de Euler tiene la misma propiedad (con respecto a la unión, ver sección Mayer - Vietoris), y que la característica de Euler de una superficie triangulada queda determinada por el valor de la característica de Euler de un triangulo (que es 1, en vez de 2π), por lo tanto, la integral en toda la superficie da 2π veces la característica de Euler.