ANÁLISIS I - ANÁLISIS MATEMÁTICO I - MATEMÁTICA 1
Curso de Verano 2005
Programa y bibliografía
REVISIÓN DE ALGUNOS TEMAS DE UNA VARIABLE REAL
- SUCESIONES. Supremo e ínfimo. Límite de sucesiones. Criterios de convergencia. Encaje de intervalos. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy.
- SERIES NUMÉRICAS. Convergencia. Una condición necesaria para la convergencia. Series geométricas. Series telescópicas. Series de términos no negativos. Criterios de: comparación, comparación por paso al límite, D´Alembert, Cauchy y de la integral. Series alternadas. Criterio de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional. Reordenamiento de términos.
- FUNCIONES. Límite de funciones. Estudio del límite usando sucesiones. Límites infinitos. Límites laterales. Funciones continuas. Discontinuidades.
- TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS SOBRE INTERVALOS CERRADOS Y ACOTADOS. Teorema de acotación. Teorema del máximo y del mínimo. Teorema de Bolzano. Teorema del valor intermedio. Propiedades de las funciones continuas que se conservan por la inversión. Continuidad uniforme. Teorema de Heine-Cantor.
- CÁLCULO DIFERENCIAL. Derivada. Recta tangente al gráfico de un función. Regla de la Cadena. Función inversa y su derivada. Derivada de una función implícita. Recta tangente. Derivada de una función en forma paramétrica. Recta tangente. Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicaciones. Aproximación lineal con error relativo que tiende a cero. Unicidad de una tal aproximación. Diferencial. Cálculo de valores aproximados. Aproximaciones de orden superior. Polinomio de Taylor. Forma de Lagrange del resto. Regla de L´Hopital.
- SERIES DE POTENCIAS. Sucesiones y series de funciones. Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Continuidad de la función límite. Criterio M de Weierstrass. Series de potencias. Lema de Abel. Intervalo de convergencia de una serie de potencias. Integral y derivada término a término. Serie de Taylor (series de la exponencial, el seno y el coseno). Fórmula general del binomio (1+x)a, con a número real arbitrario. Cálculo de series de funciones sin usar la fórmula de Taylor. Solución por series de potencias de algunas ecuaciones diferenciales. Integrales impropias.
VARIAS VARIABLES
- SUCESIONES DE PUNTOS EN Rn. Espacio euclídeo n-dimensional. Producto interno. Distancia. Esferas. Conjuntos abiertos. Puntos frontera. Puntos aislados. Conjuntos cerrados. Clausura de un conjunto. Conjuntos acotados. Conjuntos compactos. Sucesiones. Teorema de Bolzano - Weierstrass.
- FUNCIONES DE Rn EN Rm. Funciones. Gráfico de una función a valores reales. Curvas y superficies de nivel. Límites. Propiedades del límite. Continuidad. Propiedades. Composición de funciones continuas. Teoremas sobre funciones continuas sobre compactos.
- CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES. Derivadas parciales de una función de R2 en R. Diferenciabilidad. Transformción lineal diferencial. Plano tangente al gráfico de una función. Aproximación lineal con error relativo que tiende a cero. Unicidad de una tal aproximación. Derivadas parciales de una función de Rn en Rm. Diferenciabilidad. Transformación lineal diferencial. Matriz jacobiana. Gradiente. Continuidad de las funciones diferenciables. Una condición suficiente para la diferenciabilidad. Funciones de clase C1. Propiedades de la diferencial. Regla de la cadena. Derivadas direccionales. Dirección de máximo crecimiento y de máximo decrecimiento. Hiperplano tangente a una superficie de nivel. Teorema del valor medio o de Lagrange. Teorema de la función inversa. Teorema de la función implícita.
- CÁLCULO DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR EN VARIAS VARIABLES. Derivadas parciales iteradas. Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas. Teorema de Taylor. Fórmula de Taylor de primer y segundo orden. Formas explícitas del residuo.
- EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES. Máximo y mínimo locales, puntos silla y puntos críticos. Criterio de la diferencial para determinar puntos críticos. Hessiano. Formas cuadráticas definidas, semidefinidas e indefinidas. Criterio del hessiano para determinar extremos locales. Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange.
BIBLIOGRAFIA
- T. M. Apostol, Calculus, Vol. I y II, Segunda edición, Ed. Reverté , 1998.
- R. Courant y F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Vol. I y II, Decimosexta reimpresión, Ed. Limusa, 1999.
- J. E. Mardsen y A. J. Tromba, Cálculo Vectorial, Cuarta edición, Addison Wesley Longman, 1998.
- R. Noriega, Cálculo Diferencial e Integral, Cuarta edición, Ed. Docencia, 1991.
- N. Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral, Vol. I y II, Ed. Mir, 1984.
- J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo, Análisis Matemático, Vol. I y II, Séptima edición, Ed. Kapelusz, 1963.
- M. R. Spiegel. Cálculo Superior, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1999.
- M. Spivak, Cálculo Infinitesimal, Vol. I y II, Ed. Reverté , 1978.
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