(Tópicos de) Álgebra homológica

Primer cuatrimestre 2020

Se recuerda que es obligatoria la lectura de las normas de seguridad.

Beamers y videos de las clases

  • Categorias: introduccion
  • Funtores, transf. naturales y ejemplos y su video
  • Una primer version del lema de la serpiente y su video
  • Supremos y Colimites y su video
  • (versión corregida al 10 de abril, había un par de typos con flechas para el otro lado..)Colimites, Limites y Hom

    • Una breve explicación con Hom(Y, LimI inverso Xi) = LimI inverso Hom(Y,Xi)

  • Propiedades Universales, Hom y producto tensorial
  • Producto tensorial de A-módulos
  • Clase grabada del lunes 13 (producto tensorial)
  • Beamer de la clase del lunes 20: objetos d.g.: complejos de (co)cadenas, y su video
  • Beamer de la clase del viernes 24: lema de la Serpiente, s.e.c. - s.e. larga, y su video
  • Beamer de la clase del lunes 27: s.e.larga del cono, q-isos y homotopias, intro a resoluciones, y su video
  • Beamer de la clase del lunes 4: lemas de levantamientos de morfismos y unicidd a menos de homotopía, video
  • Beamer de la clase del lunes 11: Tor, playitud, limites filtrantes, playitud y no torsión, video
  • Beamer de la clase del viernes 15, la fórmula de Kunneth, videos: Parte I , Parte II , Parte III .
  • Beamer de la clase del lunes 18: exactitud, imagen categórica - Definición de Ext y su video.
  • Beamer de la clase del viernes 22 de mayo: Ext, s.e. larga, extensiones, video
  • Beamer de la clase del viernes 29 de mayo: Dimensión homológica, versión youtube: parte I y parte II (arreglo final)
  • Beamer de la clase del lunes 1 de junio: k-álgebras y bimódulos k-simétricos, y su video
  • Beamer de la clase del viernes 5 de junio: Ext^1(A,A) de bimódulos, derivaciones, resolución standard; video Parte I y Parte II
  • Beamer de la clase del lunes 8 de junio: H^2 y deformaciones - extensiones con núcleo de cuadrado cero, video
  • Beamer de la clase del viernes de 12 de junio: resolución bar, cohomología de grupos y extensiones de núcleo abeliano. video
  • Beamer de la clase del viernes 19 de junio: (Co)homología de álgebras de Lie video
  • Beamer de la clase del lunes de junio: representaciones de álgebras de Lie, Lemas de Whitehead y Teorema de Weyl; video
  • Beamer de la clase del viernes de 26 de junio: Lenguaje super: super álgebras, super derivaciones, superconmutador, super-Jacobi y aplicaciones a complejos de cadenas. video
  • Beamer de la clase del lunes 29 de junio: Estructuras algebraicas y complejos: (co)álgebras, (co)derivaciones y estructura de Lie en cohomología, video
  • Beamer de la clase del viernes 3 de julio: Álgebras de Koszul I video
  • Beamer de la clase del lunes 6 de julio: Álgebras de Koszul II video
  • Beamer de la clase del viernes 10 de julio: construcción bar y Koszulidad video
  • Beamer de la clase del lunes 13 de julio: Categorías derivadas I video
  • Beamer de la clase del viernes 17 de julio: Axiomática de categorías trianguladas, primeras propiedades de triángulos y funtores homológicos; video
  • Beamer de la clase del lunes 20 de julio: La sub-ategoría de H(A) equivalente D(A), objetos cerrados, funtores derivados. video

    • Ejercicios

    (Tentativos, se irán modificando/agregando según la cursada)

  • Ejercicios de sucesiones exactas (1) y funtores.

    • Extensión del ej 1 sobre invariantes y coinvariantes por la acción de un grupo.

    Ejercicios sobre (co)egalizadores y (co)limites.

  • Ejercicios sobre producto tensorial.
  • Ejercicios sobre proyectivos e inyectivos.

    • Adicional sobre proyectivos, inyectivos y álgebras de Frobenius.

  • Ejercicios sobre Lema de la serpiente y complejos de cadenas I.

    Adicional sobre homotopías y Cono de un morfismo

  • Ejercicios sobre complejos dobles, resoluciones y Tor.
  • Ejercicios sobre Tor y Ext.
  • Ejercicios sobre resoluciones, dimensión global, y resolución standard.

    • Adicionales sobre derivaciones y posibles temas de final con (co)homologia de Hochschild.

    Adicionales sobre extensiones de cuadrado cero y suavidad.

    Adicionales sobre localización y CO-homología.

    Adicionales sobre dualidad (Van den Bergh) en HH y álgebras Calabi-Yau.

  • Ejercicios sobre cohomología de grupos.
  • Ejercicios sobre complejos filtrados y el ejemplo del Álgebra de Weyl.
  • Ejercicios sobre cohomología de álgebras de Lie, Lemas de Whitehead y Teorema de Weyl de competa reducibilidad para álgebras de Lie semisimples.
  • Ejercicios sobre superálgebras de Lie y estructura algebraica en cohomología.
  • Ejercicios sobre álgebras de Koszul
  • Ejercicios sobre resolución normalizada, construcción bar (y cobar) y Koszulidad.
  • Ejercicios sobre categorías derivadas: triángulos en H(A).
  • Ejercicios sobre categorías derivadas II: D(A), localización, triángulos en D(A), funtores derivados.

    • Programa: breve descripcion

  • Funtores Hom y producto tensorial.
  • Complejos de (co)cadena, homología, sucesiones exactas, Cono de un morfismo.
  • Resoluciones, funtores derivados Tor y Ext.
  • Primeras aplicaciones: Tor y torsión, Ext y extensiones, fórmula de Künneth.
  • Casos particulares importantes: (co)homologia de grupos, algebras de Lie, de algebras asociativas.
  • Algebras con resoluciones especiales: Koszulidad. Estructura algebraica de coálgebra.
  • Filtraciones y cálculo de homología.
  • Estructras algebraicas y (co)homología.
  • Categorias derivadas y trianguladas.

    Bibliografía