(Tópicos de) Grupos y Álgebras de Lie

1er cuatrimestre 2023

Docente: Marco Farinati

Correlativa: Álgebra 2

Aprobación:

Entrega regular de ejercicios y preparación (y exposición) de un trabajo/proyecto final sobre algún tema afín a la cursada, a convenir en cada caso.

Horario: Lunes y Miércoles de 13 a 16

De 13 a 14 consultas y ejercicios, teoría de 14 a 16.

Aulas

Lunes: 1114, Pab 0-\infty

Miércoles: 1303, Pab 0-\infty


Programa

El curso contempla la teoría de representaciones de grupos de Lie semisimples y la clasificación de los grupos complejos semisimples a partir de su contraparte infinitesimal: las álgebras de Lie. La noción de álgebra de Lie -objeto intermedio entre el álgebra y la geometría- permite clasificar los grupos de Lie semisimples complejos pasando por sistemas de raíces, su geometría euclídea y su combinatoria, con la información relevante empaquetada en términos de los diagramas de Dynkin. En la parte práctica se hará incapíe en los ejemplos de dimensiones bajas, los grupos clásicos y su teoría de representación.

El curso seguirá mayoritariamente los contenidos (aunque no el orden ) del libro Grupos y Álgebras de Lie (en colaboración con A. Patricia Jancsa.

Aparte de la bibliografía standard, se recomienda también muy fuertemente el libro de Alexander Kirillov (Jr.): Introduction to Lie Groups and Lie Algebras

Contenidos

1. Grupos de Lie. Definiciones y ejemplos. Grupos de Lie clásicos. Propiedades. Representaciones lineales de grupos. Representaciones de grupos finitos. Representaciones de grupos compactos.

2. Álgebras de Lie. Definiciones y ejemplos. El álgebra de Lie de un grupo de Lie. El álgebra de Lie de un grupo de Lie de matrices y subejemplos. La función exponencial.

3. Álgebras de Lie nilpotentes y solubles. Serie derivada y serie central descendente. Ideales. Teoremas de Lie y de Engel. Descomposición de Levi.

4. La forma de Killing. La representación adjunta y la forma de Killing. Criterio de semisimplicidad de Cartan.

5. Álgebras semisimples sobre C. Descomposición en espacios raíces. Subálgebras de Cartan. El ejemplo sl(n,C). Propiedades generales para g simple sobre C. Sistemas de raíces de las álgebras de Lie clásicas.

6. Axiomática de los sistemas de raíces, grupo de Weyl, matriz de Cartan, diagrama de Dynkin: teorema de clasificación. Álgebras excepcionales. Teoremas de isomorfismo. Relaciones de Serre. Generadores de Chevalley -Serre. Existencia de la forma real compacta.

7. Representaciones, módulos de Verma, vectores de peso máximo, clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples. Caracteres.

8. Álgebras de Clifford y representaciones del grupo ortogonal.

Bibliografía

Bourbaki, N., Elements de Mathématique, Groupes et Algebres de Lie. Hermann, Paris 1960.

Farinati, M. y Jancsa, A.P., Grupos y Álgebras de Lie, Publicaciones FaMAF - U. N. Córdoba - Serie B 56, 2010.

Hall, B.C., An Elementary Introduction to Groups and Representations. (2000). https://arxiv.org/abs/math-ph/0005032v1

Helgason, S., Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press, 1978.

Humphreys, J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978.

Jacobson, N., Lie Algebras, Dover, 1979.

Kirillov, A. (Jr.), Introduction to Lie groups and Lie algebras. Series, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (No. 113), 2010.

Knapp, A., Lie Groups Beyond an Introduction. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser, Boston, MA, 1996.

Runkel, I., Lie Groups and Lie Algebras (2008). https://nms.kcl.ac.uk/benjamin.doyon/Lie2010Spring/Runkel.pdf

Serre, J.P., Lie Algebras and Lie Groups. W A. Benjamin, New York (1965) .

Warner, F. W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott Foresman, Glenview, III, 1971. Second ed. Springer-Verlag. New York (1982).

Varadarajan, V.S., Lie Groups, Lie Algebras, and their representations. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer (1974).