Bourbaki, N., Elements de Mathématique, Groupes et Algebres de Lie. Hermann,
Paris 1960.
Entrega regular de ejercicios y preparación (y exposición) de un trabajo/proyecto final sobre algún tema afín a la cursada, a convenir en cada caso.
Las páginas de los ejercicios son del libro [Farinati-Jancsa]. Se irán agregando adicionales, en función de la dinámica de la cursada y los intereses de los alumnos.
Clase 1, lunes 22/03: panorama general. Beamer (presentación pdf) y video (link youtube).
Clase 2, jueves 25/03: información topológica en los grupos clásicos. Beamer (presentación pdf) y video (link youtube).
Ejercicios de Grupos: pp. 12 a 16.
Clase 3, lunes 29/03: a) Representaciones de grupos compactos. b) Derivaciones y motivación de la definición de álgebra de Lie. Beamer (presentación pdf) y video (link youtube).
Ejercicios sobre Álgebras de Lie: pp. 26 a 28, y 33.
Clase 4, jueves 1/04: Espacios tangentes, álgebras de Lie, construcciones básicas. Beamer (presentación pdf) y video (link youtube).
Clase 5, lunes 5/04: La función exponencial en grupos de Lie. Beamer (presentación pdf) y video (link youtube).
Ejercicios de la Exponencial: pp. 42 y 43.
Clase 6, jueves 8/04: Representaciones. La forma de Killing. Beamer (presentación pdf). Por los cortes de internet el video está en dos partes: video 1 (1eros 12 min) y video 2 (hora y media)
Ejercicios de Representaciones I: pp. 45 y 46.
Ejercicios de Forma de Killing: pp. 49 y 50.
Clase 7, lunes 12/04: Solubilidad y nilpotencia. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios adicionales sobre el lema de Schur.
Algunos ejercicios y ejemplos sobre el álgebras nilpotentes.
Ejercicios de Formas reales, ejemplo de sl(2,C) vs. so(1,3).
Ejercicios de Formas reales, sl(n,R) vs. su(n).
Clase 8, jueves 15/04: Solubilidad y nilpotencia II: teoremas de Lie y Engel. Beamer (presentación pdf). video.
Clase 9, lunes 19/04: Criterios de Cartan de solubilidad y semisimplicidad con la forma de Killing. Beamer (presentación pdf). video.
Clase 10, jueves 22/04: Caso sl(n,C): introducción a las subálgebras de Cartan y espacios raíces. Beamer (presentación pdf). video.
Tarea: mirar los otros casos clásicos: so(2n+1,C): 7.5, pag 68 y 69, sp(2n,C): 7.6, pag 69 y 70, caso so(2n,C) 7.7, pag 70 y 71.
Clase 11, lunes 26/04: Existencia de subálgebras de Cartan y
descomposición en pesos.
Beamer (presentación pdf).
video.
Ejercicios adicionales: uso de existencia de subálgebra
de Cartan para clasificar álgebras de Lie
de dimensión baja.
Ejercicios de Subálgebras de Cartan (dimensiones bajas): p. 78.
Clase 12, jueves 29/04: Subálgebras de Cartan en el caso semisimple complejo y primeras propiedades de las raíces en ese contexto. Beamer (presentación pdf). video.
Clase 13, lunes 3/05: Representaciones de dimensión finita de sl(2,C), 1er lema de Whitehead. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios de Representaciones de sl(2,C): p. 85.
Ejercicios adicionales sobre ejemplos de representaciones que no son de dim finita de sl(2,C).
Clase 14, jueves 6/05: Teorema de completa reducibilidad de Weyl. Vuelta a lo sistemas de raíces. Beamer (presentación pdf). video.
Clase 15, lunes 10/05: Sistemas de raíces abstractos, raíces simples y matrices de Cartan. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios de Matriz de Cartan y sistemas de raices: p. 109 y 110.
Clase 16, jueves 13/05: Matrices de Cartan y diagramas de Dynkin. Beamer (presentación pdf). video.
Clase 17, jueves 20/05: Relaciones de Serre y reconstrucción de g a partir de su Matriz de Cartan. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios de Bases de Chevalley, relaciones de Serre: p 116.
Clase 18, lunes 24/05: Acción del Casimir en simples y consecuencias. Beamer (presentación pdf). video.
Clase 19, jueves 27/05: Representaciones generadas por un vector de peso máximo. El álgebra envolvente universal, el teorema PBW y consecuencias. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios adicionales sobre módulos de peso y de módulos que no son de peso usando el álgebra envolvente.
Ejercicios adicionales sobre caracteres y aplicaciones.
Clase 20, lunes 31/05: Módulos de Verma. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios adicionales sobre la base del módulo de Verma
Clase 21, jueves 3/06: Condición de integralidad para la finita dimensionalidad de la representación simple. Beamer (presentación pdf). video.
Ejercicios de Representaciones II: pp. 132 a 134.
Clase 22, lunes 7/06: Caracteres. Beamer (presentación pdf). video.
Se recomienda mirar de nuevos los ejs. adicionales sobre caracteres y aplicaciones.
Ejercicios adicionales: Schur-Weyl duality
Clase 23, jueves 10/06: Caracteres II, sobre la f;oacute;rmula de Weyl. Beamer (presentación pdf). video.
El curso contempla la teoría de representaciones de grupos de Lie semisimples y la clasificación de los grupos complejos semisimples a partir de su contraparte infinitesimal: las álgebras de Lie. La noción de álgebra de Lie -objeto intermedio entre el álgebra y la geometría- permite clasificar los grupos de Lie semisimples complejos pasando por sistemas de raíces, su geometría euclídea y su combinatoria, con la información relevante empaquetada en términos de los diagramas de Dynkin. En la parte práctica se hará incapíe en los ejemplos de dimensiones bajas, los grupos clásicos y su teoría de representación.
El curso seguirá mayoritariamente los contenidos (aunque no necesariamente el orden estricto) del libro Grupos y Álgebras de Lie (en colaboración con A. Patricia Jancsa).
Aparte de la bibliografía standard, se recomienda también muy fuertemente el libro de Alexander Kirillov (Jr.): Introduction to Lie Groups and Lie Algebras
1. Grupos de Lie. Definiciones y ejemplos. Grupos de Lie clásicos. Propiedades. Representaciones lineales de grupos. Representaciones de grupos finitos. Representaciones de grupos compactos.
2. Álgebras de Lie. Definiciones y ejemplos. El álgebra de Lie de un grupo de Lie. El álgebra de Lie de un grupo de Lie de matrices y subejemplos. La función exponencial.
3. Álgebras de Lie nilpotentes y solubles. Serie derivada y serie central descendente. Ideales. Teoremas de Lie y de Engel. Descomposición de Levi.
4. La forma de Killing. La representación adjunta y la forma de Killing. Criterio de semisimplicidad de Cartan.
5. Álgebras semisimples sobre C. Descomposición en espacios raíces. Subálgebras de Cartan. El ejemplo sl(n,C). Propiedades generales para g simple sobre C. Sistemas de raíces de las álgebras de Lie clásicas.
6. Axiomática de los sistemas de raíces, grupo de Weyl, matriz de Cartan, diagrama de Dynkin: teorema de clasificación. Álgebras excepcionales. Teoremas de isomorfismo. Relaciones de Serre. Generadores de Chevalley -Serre. Existencia de la forma real compacta.
7. Representaciones, módulos de Verma, vectores de peso máximo, clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples.
8. Álgebras de Clifford y representaciones del grupo ortogonal.
Bourbaki, N., Elements de Mathématique, Groupes et Algebres de Lie. Hermann,
Paris 1960.
Farinati, M. y Jancsa, A.P.,
Grupos y Álgebras de Lie,
Publicaciones FaMAF - U. N. Córdoba - Serie B 56, 2010.
Hall, B.C., An Elementary Introduction to Groups and Representations. (2000).
https://arxiv.org/abs/math-ph/0005032v1
Helgason, S., Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces.
Academic Press, 1978.
Humphreys, J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory.
Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978.
Jacobson, N., Lie Algebras, Dover, 1979.
Kirillov, A. (Jr.),
Introduction to Lie groups and Lie algebras.
Series, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (No. 113), 2010.
Knapp, A., Lie Groups Beyond an Introduction. Progress in Mathematics, 140.
Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
Runkel, I., Lie Groups and Lie Algebras (2008).
https://nms.kcl.ac.uk/benjamin.doyon/Lie2010Spring/Runkel.pdf
Serre, J.P., Lie Algebras and Lie Groups. W A. Benjamin, New York (1965) .
Warner, F. W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott Foresman,
Glenview, III, 1971. Second ed. Springer-Verlag. New York (1982).
Varadarajan, V.S., Lie Groups, Lie Algebras, and their representations. Graduate Texts
in Mathematics 102. Springer (1974).