XII Encuentro Rioplatense de Algebra y Geometría Algebraica, 17 al 21 de mayo 2004

Este encuentro tendrá lugar en Buenos Aires, Dto de matemática, F.C.E.yN. - Universidad de Buenos Pabellón I

Este encuentro está subvencionado por el  CONICET (Argentina) y el  ICTP (Trieste - Italia).

Instrucciones para llegar desde Retiro a Ciudad Universitaria.

Actividades:

Recepción: Lunes 9:30 hs en la sala de reunión.

horario preliminar de los cursos y charlas:

	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes
10:00-10:50	Eli Aljadeff	Ibrahim Assem	Eli Aljadeff	Ibrahim Assem	Eli Aljadeff
Café
11:30-12:20	Mariana Haim	Gabriel Minian	María Ines Icaza	Ricardo Baeza	Juan C. Bustamante
12:30-13:20	Walter Ferrer	Walter Ferrer	Ibrahim Assem	Walter Ferrer	Walter Ferrer
Almuerzo
15:00-15:50	Ariel Pacetti	Esther Galina		Eli Aljadeff*	Juan José Guccione
16:00-16:50	Juan Sabia	Ignacio Lopez		Augusto Nobile	Eduardo Marcos
17:00-17:50	Iván Pan	Manuel O'Ryan

* Charla complementaria, independiente del curso.

Aulas:

Resúmenes de los cursos

Eli Aljadeff

Sobre la dimension cohomologica de un grupo

La dimensión cohomológica de un grupo G se define como la dimensión proyectiva del módulo Z como ZG-módulo trivial. Por ejemplo la dimensión de un grupo libre es 1 (por un teorema importante de Stallings y Swan cd(G)=1 caracteriza a los grupos libres). La dimensión de un grupo libre abeliano de rango n es n. Es fácil demostrar que si un grupo G tiene torsión (o sea elementos distintos de 1 de orden finito) cd(G)=\infty.
El teorema de Serre sobre la dimensión cohomológica de un grupo G dice lo siguiente (1969): Sea H un subgrupo de índice finito en G con cd(H)<\infty (en particular H no tiene torsión). Si G tampoco tiene torsión, cd(G)<\infty. En ese caso cd(G)=cd(H) (después que uno sabe que la dimensión de G es finita, es fácil demostrar que las dimensiones de G y de H son iguales).
En 1965 (cuatro años antes) Serre demostró el teorema analogo para grupos profinitos (la dimensión de estos grupos se define en forma similar). En 1976 Chouinard demostró el siguiente teorema (en representaciones modulares o representaciones integrales)

Teorema:  Sea M un ZG-módulo donde G es un grupo finito. Si M es proyectivo como ZE-módulo para todo subgrupo elemental abeliano E de G, M es proyectivo como ZG-modulo.

En esta serie quisiera mostrar como se puede usar el teorema de Chouinard (sobre grupos finitos) para probar la conjetura de Moore para determinadas familias de grupos.

Conjetura de Moore: Si G no tiene torsión y H es un subgrupo de indice finito en G, cada ZG-módulo M, que es proyectivo sobre ZH, es proyectivo sobre ZG.

La conjetura de Moore es una gran generalización del teorema de Serre. Se puede decir que lo que la conjetura de Moore dice es que "el teorema de Serre es válido para cualquier grupo G y no solamente para grupos G con dimensión cohomológica finita". Es fácil ver que el teorema de Serre es una inmediata consequencia de la conjetura de Moore.

Las demostraciones usan completaciones profinitas de grupos y productos cruzados. Con esta misma técnica demostramos la conjetura de Moore para grupos profinitos (lo que implica el teorema de Serre para grupos profinitos). La conjetura de Moore queda abierta para grupos abstractos.

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Ibrahim Assem

Bases multiplicativas y conexidad simple.

El concepto de base multiplicativa apareció en la escuela de Gabriel en los años 70, y estaba entonces asociado con la clasificación de las álgebras de representación finita. Uno de los primeros resultados conocidos era que cada álgebra de representación finita y simplemente conexa tiene una base multiplicativa. Para álgebras de representación infinita, los dos conceptos, de conexidad simple y de existencia de base multiplicativa son independientes. Los objetivos de este mini-curso son los siguientes:

1. Mostrar como el concepto de base multiplicativa ha sido útil, y puede todavia serlo en la teoría de representaciones de álgebras.

2. Estudiar una clase de álgebras simplemente conexas que tienen bases multiplicativas.

3. Dar una condicion combinatoria para la existencia de bases multiplicativas (esto es un resultado conjunto con D. Castonguay, E. Marcos y S. Trepode).

Para bajar notas de este curso en pdf, haga click aquí.

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Walter Ferrer Santos

La teoría clásica de invariantes: una revisión moderna.

Se hara una descripción en el lenguaje matemático corriente de nuestros dias, de los problemas y los métodos para atacarlos de la teoría clásica de invariantes, desarrollada en el siglo XIX y XX por (entre otros) Gordan, Cayley, Sylvester, Hilbert, etc.
Si diera el tiempo se mostrarán métodos de la teoría geométrica moderna introducida por Hilbert y desarrollada por Mumford, Nagata, Seshadri, Haboush, etc.

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Charlas

Eli Aljadeff (Technion-Israel Institute of Technology, Haifa 32000, Israel)

Charla complementaria: Conjetura de Moore

En esta charla introduciré la conjetura de Moore (y como implica el teorema de Serre). Nuestro mayor interés en la conjetura es para grupos sin torsión (como en el teorema de Serre) pero la conjetura tiene sentido también para grupos con torsión y en particular para grupos finitos. Para grupos finitos la conjetura es cierta por un teorema de Chouinard (76) sobre representaciones modulares. En la charla mostraremos como usar el teorema de Chouinard para obtener resultados para ciertas familias de grupos infinitos. Esta charla es la tercera (de 4 charlas) pero se podrá entender independientemente de las 2 charlas anteriores.

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Ricardo Baeza (Universidad de Talca - Chile)

Comportamiento de formas cuadráticas bajo extensiones de cuádricas de Pfister.

En esta charla se exprondrán resultados obtenidos recientemente en conjunto con R. Aravire sobre el comportamiento de formas cuadráticas bajo extensiones de cuádricas de Pfister sobre un cuerpo de característica 2. También se expondrá la correspondencia de Kato entre formas cuadráticas y formas diferenciables

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Juan Carlos Bustamante (Universidad de Sao Paulo)

Grupos fundamentales y presentaciones de álgebras

Este es un trabajo realizado con el apoyo financiero de la F.A.P.E.S.P., y en colaboración con D. Castonguay.

Dada un álgebra A, de dimensión finita sobre un cuerpo algebráicamente cerrado k, Morita-reducida y conexa existe un único carcaj Q y epimorfismos de k-álgebras v:kQ-->A, de tal modo que I=Ker v es un ideal admisible de kQ. Decimos entonces que (Q,I) es una presentación de A. Esto permite definir el grupo fundamental \pi_1(Q,I). Es bien sabido que este grupo no es un invariante del álgebra. En este trabajo nos proponemos determinar qué tan distintos pueden ser los grupos fundamentales de un álgebra. Más precisamente, mostramos que dada una familia finita {G_i / 1\leq i\leq n } de grupos que sean productos libres finitos de grupos abelianos de tipo finito, entonces existe un álgebra A teniendo distintas presentaciones (Q,I_j) tales que \pi_1(Q,I_j)\simeq G_j.

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Esther Galina (FaMAF - Córdoba)

D-módulos y caracteres e representaciones de grupos de Lie semisimples.

Un famoso teorema de Harish-Chandra afirma que no hay autodistribuciones invariantes singulares (i.e. con soporte en una hipersuperficie) y que las soluciones son analíticas alrededor de una hipersuperficie y se extienden a soluciones localmente integrables. Curiosamente, estos resultados, a pesar de tener una apariencia analítica, son consecuencia de una propiedad algebraica del D-módulo holoómico asociado definido por Hotta y Kashiwara. Este enfoque de la situación permite extender apropiadamente dichos resultados a pares simétricos.

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Juan José Guccione (UBA)

Cohomologia de Hochschild de algebras de Frobenius.

En esta charla recordaremos la definición de álgebra de Frobenius A sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y la definición del automorfismo de Nakayama de A (asociado a un morfismo de Frobenius). Luego mostraremos que si este automorfismo tiene orden finito n, entonces A tiene una graduación

A = A_0 + ... + A_{n-1},

y por lo tanto el complejo canónico que da la cohomología de Hochschild de A se descompone como suma directa de n subcomplejos C_i (i=0,...,n)). Nosotros probamos que valen los siguientes resultados:

1) Si i>0, entonces la cohomología de C_i es nula.

2) Si A es fuertemente graduada, entonces Z_n actúa naturalmente sobre la cohomología de Hochschild de A_0 y la cohomología de Hochschild de A es el conjunto de invariantes de esta acción.

Por último consideraremos algunos ejemplos.

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Mariana Haim (Universidad de la República - Uruguay)

Transformada de Fourier algebraica. Definiciones y ejemplos.

Después de definir Transformada de Fourier y producto de Fourier en coálgebras, se darán algunas generalidades, en particular la correspondencia entre ellos y la relación con cointegrales para coálgebras coaumentadas. Se vinculará este concepto con el de Transformada de Fourier clásica. Finalmente, se describirán las transformadas de Fourier para el caso particular de una coalgebra de matrices.

Prerrequisitos: teoría básica de coálgebras y de álgebras de Hopf.

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Maria Ines Icaza (Universidad de Talca - Chile)

Constante de Hermite para cuerpos de números

Dado un cuerpo de números K, se define la constante de Hermite- Humbert $\gamma_{n,K}$ . Esta nueva invariante generaliza la constante clásica de Hermite $\gamma_n$ . En esta charla presentaremos resultados acerca de $\gamma_{n,K}$ relacionados con los conceptos de formas extremas, vectores minimales y cálculos efectivos. Además veremos como el cálculo explícito de $\gamma_{n,K}$ nos permite obtener cotas para la constante clásica $ \gamma_n$ cuyo valor sólo se conoce para n\leq 8 y cuyo cálculo explícito es de gran importancia en la teoría de empaquetamientos de esferas.

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Ignacio López

Bicategorías monoidales, pseudomonoides y (co)quasi-biálgebras

Así como las bicategorías son el análogo bidimensional de las categorías, las bicategorías monoidales son el análogo bidimensional de las categorías monoidales. Desde su definición formal a mediados de los 90' varios autores han intentado generalizar al contexto de bicategorías mononidales construcciones ya conocidas. La generalización de los monoides son los pseudomonoides: objetos equipados con un producto asociativo a menos de isomorfismos canónicos y una unidad a menos de isomorfismos canónicos.

Por otro lado, las quasi-bialgebras y quai-álgebras de Hopf fueron definidas por Drinfel'd en 1990 generalizando las álgebras de Hopf. Una coquasi-biálgebra es una coálgebra equipada con un producto que no es estrictamente asociativo ni estrictamente unital. Sus axiomas garantizan que la categoría de comódulos sobre una coquasi-biálgebra es monoidal (sin embargo, el functor de olvido a la categoría de espacios vectoriales no es monoidal).

En esta charla intentaremos, luego de dar las nociones básicas de 2-categorías, mostrar cómo los pseudomonoides en la 2-categoría Cat son las categorías monoidales y en cierta 2-categoría Comon son las coquasi-biálgebras. Esto es un paso hacia la clarificación de la reación entre las coquasi-biálgebras y las categorías monoidales: son la misma cosa pero mirada en 2-categorías diferentes. Además sugiere que el ambiente adecuado para desarrollar la teoría de (co)quasi-biálgebras no es el de las categorías monoidales sino el de las bicategorías monoidales.

Si resta tiempo podremos comentar la noción de dualización (izquierda) para un pseudomonoide en una bicategoría monoidal autónoma (a derecha) definida por Day-McCrudden-Street y mostrar cómo éstos generalizan las coquasi-álgebras de Hopf.

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Eduardo do Nascimento Marcos. (Universidad de Sao Paulo)

Torcimiento, cubrimientos de Galois y producto "smash" de categorías

Esta charla es sobre un trabajo en conjunto con Claude Cibils.

En nuestro trabajo considermos categorías sobre un anillo conmutativo con una acción libre o con una graduación de un grupo arbitrario. Nosotros definimos el producto "smash" y el producto torcido de una categoría graduada. Mostramos que ess construcciones son coherentes con las existentes en teoría de anillos.

Conseguimos en el contexto de categorías los teoremas de M. Cohen y S. Montgomery, de esta manera conseguimos una unificación de los resultados de cubrimientos de carcajs y relaciones de E. Green.

Obtenemos un aconfirmación para carcajs que las dos construcciones son mutuamente inversas. Esto es, el cociente de la acción libre y el producto "smash" de categorías son operaciones inversas.

Finalmente describimos relaciones funtoriales entre las teorías de representaciones de una categoría y la de su recubrimiento.

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Gabriel Minian (UBA)

Aplicaciones topológicas en sistemas concurrentes

En los últimos años comenzaron a utilizarse diferentes resultados y técnicas provenientes de la topología para estudiar el comportamiento de sistemas concurrentes en ciencias de la computación. En esta charla explicaré como se puede usar una variante 'orientada' de la homotopía (llamada di-homotopia) para estudiar estos sistemas. Una ejecución concurrente se corresponde de esta forma a un camino dirigido en un espacio localmente parcialmente ordenado y caminos di-homotopicos corresponden a ejecuciones equivalentes.

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Augusto Nobile (Lousiana State University)

Singularidades de haces reflexivos.

Se repasarán las nociones básicas de la teoría de haces de módulos reflexivos sobre variedades lisas, y las singularidades de los mismos. Se planteará un problema de desingularización de tales haces. Se discutirá una solución en un caso particular (el de haces reflexivos de rango dos sobre una variedad lisa de dimensión 3).

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Manuel O'Ryan (Universidad de Talca - Chile)

Formas de grado superior.

Sea \Theta una forma d-lineal simétrica en un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo k. Su centro Cent(\Theta) es el análogo al espacio de matrices simétricas de un aforma bilineal. Si d>2, el centro es una subálgebra conmutativa de End(V). Parece difícil  determinar qué subálgebras pueden ser realizadas como Cent(\Theta) para alguna form d-lineal \Theta. Como un primer paso, conjeturamos que el centro tiene dimensión a lo sumo n. La conjetura es demostrada para n<6.

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Ariel Pacetti (UBA)

Álgebras de cuaterniones y sus aplicaciones a la teoría de números.

Es todo número natural suma de 4 cuadrados? Este problema fue demostrado por Lagrange en 1770 mediante la denominada "igualdad de cuatro cuadrados de Euler". En esta charla introduciremos funciones Theta asociadas a ordenes en álgebras de cuaterniones, y daremos otra demostración del teorema de Lagrange mirando un orden particular en el álgebra de cuaterniones de Hamilton.

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Iván Pan (Universidad Federal de Rio Grande do Sul - Porto Alegre)

Transformaciones de Cremona que estabilizan curvas irracionales.

Consideramos aplicaciones birracionales del plano proyectivo que estabilizan una curva irreducible C no racional. Sea Cr(C) el conjunto de estas aplicaciones: es el estabilizador del grupo de Cremona de C. Describimos Cr(C) y sus elementos en los casos donde la normalización de C es elíptica, hyperelíptica, cuártica plana y sextica de género 4 en un cono cuadrático del espacio proyectivo. En el caso general se dan resultados parciales.

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Juan Sabia (UBA)

Resolución algorítmica de ecuaciones polinomiales: algunas ideas básicas

En esta charla, se intentará dar una introducción básica a la teoría de complejidad algebraica y su aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. Se describirán algunos inconvenientes que surgen cuando se pretende resolver eficientemente estos sistemas usando la codificación densa de polinomios (es decir, codificando a un polinomio como un vector de coeficientes) y también, algunas ideas y métodos que surgieron como posibles respuestas a estos inconvenientes.

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Instrucciones para llegar desde Retiro a Ciudad Universitaria

En Bus:

Tomar el 33 o 45 direccion Ciudad Universitaria (comunicar el destino al chofer). La parada se encuentra frente a la estación de tren F.C.G.M. Belgrano, y frente a la plaza Retiro.

El precio del boleto es 80 centavos, se paga en el bus, hay que llevar monedas, las máquinas dan vuelto. Duración del trayecto: aproximadamente 25 minutos.

En tren:

Ir a la estación del tren F.C.G.M. Belgrano, tomar el tren (la única posibilidad) y bajarse en la estación S. Ortiz (la segunda desde Retiro).

En la estación del tren, subir al puente peatonal y caminar en la direccion que atraviesa las vías. Desde la altura del puente se tiene contacto visual con el Pabellón I; siga a los peatones.

Precio aproximado del boleto: 50 centavos. Duración del trayecto: 15 minutos. Frecuencia: 20 minutos.

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