F.C.E.yN. - Universidad de Buenos
Pabellón I
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| Este encuentro tendrá lugar en Buenos Aires,
F.C.E.yN. - Universidad de Buenos Pabellón I |
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Este encuentro está subvencionado por el CONICET (Argentina) y el ICTP (Trieste - Italia).
Instrucciones para llegar desde Retiro a Ciudad Universitaria.
Recepción: Lunes 9:30 hs en la sala de reunión.
horario preliminar de los cursos y charlas:
| Lunes |
Martes |
Miércoles |
Jueves |
Viernes |
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| 10:00-10:50 | Eli Aljadeff |
Ibrahim Assem |
Eli Aljadeff | Ibrahim Assem | Eli Aljadeff |
| Café |
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||||
| 11:30-12:20 |
Mariana Haim |
Gabriel Minian |
María
Ines Icaza |
Ricardo Baeza |
Juan C. Bustamante |
| 12:30-13:20 |
Walter Ferrer |
Walter
Ferrer |
Ibrahim Assem |
Walter
Ferrer |
Walter
Ferrer |
| Almuerzo |
|||||
| 15:00-15:50 |
Ariel Pacetti |
Esther Galina |
Eli Aljadeff* |
Juan José Guccione |
|
| 16:00-16:50 |
Juan Sabia |
Ignacio Lopez |
Augusto Nobile |
Eduardo Marcos |
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| 17:00-17:50 |
Iván Pan |
Manuel O'Ryan |
| Lunes | Martes | Miércoles | Jueves | Viernes | |
| 10:00-10:50 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 2 | Aula 9 |
| Café | |||||
| 11:30-12:20 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 2 | Aula 9 |
| 12:30-13:20 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 2 | Aula 9 |
| Almuerzo | |||||
| 15:00-15:50 | Aula 9 | Aula 9 | Aula 2 | Aula 9 | |
| 16:00-16:50 | Aula 9 | Aula 9 | Sem. Física | ||
| 17:00-17:50 | Sem. Mate. | Sem. Física |
Sobre la dimension cohomologica de un grupo
La dimensión cohomológica de un grupo G se define como la
dimensión proyectiva del módulo Z
como ZG-módulo
trivial. Por ejemplo la dimensión de un grupo libre es 1 (por un
teorema importante de Stallings y Swan cd(G)=1 caracteriza
a los grupos libres). La dimensión de un
grupo libre abeliano de rango n
es n. Es fácil
demostrar que
si un grupo G tiene
torsión
(o sea elementos distintos de 1 de orden finito) cd(G)=\infty.
El teorema de Serre sobre la dimensión cohomológica de un
grupo G dice lo siguiente
(1969): Sea H un subgrupo de
índice
finito en G con cd(H)<\infty (en particular H no
tiene torsión). Si G
tampoco
tiene torsión, cd(G)<\infty.
En ese caso cd(G)=cd(H) (después que uno sabe
que la dimensión de G
es
finita, es fácil demostrar que
las dimensiones de G y de H son iguales).
En 1965 (cuatro años antes) Serre demostró el teorema
analogo para
grupos profinitos (la dimensión de estos grupos se define en
forma
similar).
En 1976 Chouinard demostró el siguiente teorema (en
representaciones modulares o representaciones integrales)
Teorema: Sea M un ZG-módulo
donde G es un
grupo finito. Si M es
proyectivo como ZE-módulo para todo
subgrupo elemental abeliano E
de G, M es proyectivo
como ZG-modulo.
En esta serie quisiera mostrar como se puede usar el teorema de
Chouinard (sobre grupos finitos) para probar la conjetura de Moore
para determinadas familias de grupos.
Conjetura de Moore: Si G no tiene torsión y H es un
subgrupo de indice finito en G,
cada ZG-módulo M, que es proyectivo sobre ZH,
es proyectivo sobre ZG.
La conjetura de Moore es una gran generalización del teorema
de
Serre. Se puede decir que lo que la conjetura de Moore dice es que
"el teorema de Serre es válido para cualquier grupo G y no
solamente para grupos G con
dimensión cohomológica
finita". Es fácil ver que el teorema de Serre es una inmediata
consequencia de la conjetura de Moore.
Las demostraciones usan completaciones profinitas de grupos y
productos
cruzados. Con esta misma técnica demostramos la conjetura de
Moore
para grupos profinitos (lo que implica el teorema de Serre para
grupos profinitos). La conjetura de Moore queda abierta para
grupos abstractos.
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Bases multiplicativas y conexidad simple.
El concepto de base multiplicativa apareció en la escuela de Gabriel en los años 70, y estaba entonces asociado con la clasificación de las álgebras de representación finita. Uno de los primeros resultados conocidos era que cada álgebra de representación finita y simplemente conexa tiene una base multiplicativa. Para álgebras de representación infinita, los dos conceptos, de conexidad simple y de existencia de base multiplicativa son independientes. Los objetivos de este mini-curso son los siguientes:
1. Mostrar como el concepto de base multiplicativa ha sido útil, y puede todavia serlo en la teoría de representaciones de álgebras.
2. Estudiar una clase de álgebras simplemente conexas que tienen bases multiplicativas.
3. Dar una condicion combinatoria para la existencia de bases multiplicativas (esto es un resultado conjunto con D. Castonguay, E. Marcos y S. Trepode).
Para bajar notas de este curso en pdf, haga click aquí.
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La teoría clásica de invariantes: una
revisión moderna.
Se hara una descripción en el lenguaje matemático
corriente de nuestros dias, de los problemas y los métodos para
atacarlos de la teoría clásica de invariantes,
desarrollada en el siglo XIX y XX por (entre otros) Gordan, Cayley,
Sylvester, Hilbert, etc.
Si diera el tiempo se mostrarán métodos de la
teoría geométrica moderna introducida por Hilbert y
desarrollada por Mumford, Nagata, Seshadri, Haboush, etc.
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Eli Aljadeff (Technion-Israel Institute of Technology, Haifa 32000, Israel)
Charla complementaria: Conjetura de Moore
En esta charla introduciré la conjetura de Moore (y como implica el teorema de Serre). Nuestro mayor interés en la conjetura es para grupos sin torsión (como en el teorema de Serre) pero la conjetura tiene sentido también para grupos con torsión y en particular para grupos finitos. Para grupos finitos la conjetura es cierta por un teorema de Chouinard (76) sobre representaciones modulares. En la charla mostraremos como usar el teorema de Chouinard para obtener resultados para ciertas familias de grupos infinitos. Esta charla es la tercera (de 4 charlas) pero se podrá entender independientemente de las 2 charlas anteriores.
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Ricardo Baeza (Universidad de Talca - Chile)
Comportamiento de formas cuadráticas bajo extensiones de cuádricas de Pfister.
En esta charla se exprondrán resultados obtenidos recientemente en conjunto con R. Aravire sobre el comportamiento de formas cuadráticas bajo extensiones de cuádricas de Pfister sobre un cuerpo de característica 2. También se expondrá la correspondencia de Kato entre formas cuadráticas y formas diferenciables
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Juan Carlos Bustamante (Universidad de Sao
Paulo)
Grupos fundamentales y presentaciones de álgebras
Este es un trabajo realizado con el apoyo financiero de la F.A.P.E.S.P., y en colaboración con D. Castonguay.
Dada un álgebra A, de dimensión finita sobre un cuerpo algebráicamente cerrado k, Morita-reducida y conexa existe un único carcaj Q y epimorfismos de k-álgebras v:kQ-->A, de tal modo que I=Ker v es un ideal admisible de kQ. Decimos entonces que (Q,I) es una presentación de A. Esto permite definir el grupo fundamental \pi_1(Q,I). Es bien sabido que este grupo no es un invariante del álgebra. En este trabajo nos proponemos determinar qué tan distintos pueden ser los grupos fundamentales de un álgebra. Más precisamente, mostramos que dada una familia finita {G_i / 1\leq i\leq n } de grupos que sean productos libres finitos de grupos abelianos de tipo finito, entonces existe un álgebra A teniendo distintas presentaciones (Q,I_j) tales que \pi_1(Q,I_j)\simeq G_j.
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Esther Galina (FaMAF - Córdoba)
D-módulos y caracteres e representaciones de grupos de Lie semisimples.
Un famoso teorema de Harish-Chandra afirma que no
hay autodistribuciones invariantes singulares (i.e. con soporte en una
hipersuperficie) y que las soluciones son analíticas alrededor
de una hipersuperficie y se extienden a soluciones localmente
integrables. Curiosamente, estos resultados, a pesar de tener una
apariencia analítica, son consecuencia de una propiedad
algebraica del D-módulo
holoómico asociado definido por Hotta y Kashiwara. Este enfoque
de la situación permite extender apropiadamente dichos
resultados a pares simétricos.
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Cohomologia de Hochschild de algebras de Frobenius.
En esta charla recordaremos la definición de álgebra de Frobenius A sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y la definición del automorfismo de Nakayama de A (asociado a un morfismo de Frobenius). Luego mostraremos que si este automorfismo tiene orden finito n, entonces A tiene una graduación
A = A_0 + ... + A_{n-1},
y por lo tanto el complejo canónico que da la cohomología de Hochschild de A se descompone como suma directa de n subcomplejos C_i (i=0,...,n)). Nosotros probamos que valen los siguientes resultados:
1) Si i>0, entonces la cohomología de C_i es nula.
2) Si A es fuertemente graduada, entonces Z_n actúa naturalmente sobre la cohomología de Hochschild de A_0 y la cohomología de Hochschild de A es el conjunto de invariantes de esta acción.
Por último consideraremos algunos ejemplos.
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Mariana Haim (Universidad de la
República
- Uruguay)
Transformada de Fourier algebraica. Definiciones y ejemplos.
Después de definir Transformada de Fourier y producto de Fourier en coálgebras, se darán algunas generalidades, en particular la correspondencia entre ellos y la relación con cointegrales para coálgebras coaumentadas. Se vinculará este concepto con el de Transformada de Fourier clásica. Finalmente, se describirán las transformadas de Fourier para el caso particular de una coalgebra de matrices.
Prerrequisitos: teoría básica de coálgebras y de álgebras de Hopf.
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Maria Ines Icaza (Universidad de Talca - Chile)
Constante de Hermite para cuerpos de números
Dado un cuerpo de números K, se define la constante de Hermite- Humbert $\gamma_{n,K}$ . Esta nueva invariante generaliza la constante clásica de Hermite $\gamma_n$ . En esta charla presentaremos resultados acerca de $\gamma_{n,K}$ relacionados con los conceptos de formas extremas, vectores minimales y cálculos efectivos. Además veremos como el cálculo explícito de $\gamma_{n,K}$ nos permite obtener cotas para la constante clásica $ \gamma_n$ cuyo valor sólo se conoce para n\leq 8 y cuyo cálculo explícito es de gran importancia en la teoría de empaquetamientos de esferas.
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Bicategorías monoidales, pseudomonoides y (co)quasi-biálgebras
Eduardo do Nascimento Marcos. (Universidad de
Sao Paulo)
Torcimiento,
cubrimientos de Galois y producto "smash" de categorías
Esta charla es sobre un trabajo en conjunto con
Claude Cibils.
En nuestro trabajo considermos categorías
sobre un anillo conmutativo con una acción libre o con una
graduación de un grupo arbitrario. Nosotros definimos el
producto "smash" y el producto torcido de una categoría
graduada. Mostramos que ess construcciones son coherentes con las
existentes en teoría de anillos.
Conseguimos en el contexto de categorías los
teoremas de M. Cohen y S. Montgomery, de esta manera conseguimos una
unificación de los resultados de cubrimientos de carcajs y
relaciones de E. Green.
Obtenemos un aconfirmación para carcajs que
las dos construcciones son mutuamente inversas. Esto es, el cociente de
la acción libre y el producto "smash" de categorías son
operaciones inversas.
Finalmente describimos relaciones funtoriales entre
las teorías de representaciones de una categoría y la de
su recubrimiento.
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Aplicaciones topológicas
en sistemas concurrentes
En los últimos años comenzaron a utilizarse diferentes resultados y técnicas provenientes de la topología para estudiar el comportamiento de sistemas concurrentes en ciencias de la computación. En esta charla explicaré como se puede usar una variante 'orientada' de la homotopía (llamada di-homotopia) para estudiar estos sistemas. Una ejecución concurrente se corresponde de esta forma a un camino dirigido en un espacio localmente parcialmente ordenado y caminos di-homotopicos corresponden a ejecuciones equivalentes.
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Augusto Nobile (Lousiana State University)
Singularidades de haces reflexivos.
Se repasarán las nociones básicas de la teoría de haces de módulos reflexivos sobre variedades lisas, y las singularidades de los mismos. Se planteará un problema de desingularización de tales haces. Se discutirá una solución en un caso particular (el de haces reflexivos de rango dos sobre una variedad lisa de dimensión 3).
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Manuel O'Ryan (Universidad de Talca - Chile)
Formas de grado superior.
Sea \Theta una forma d-lineal simétrica en un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo k. Su centro Cent(\Theta) es el análogo al espacio de matrices simétricas de un aforma bilineal. Si d>2, el centro es una subálgebra conmutativa de End(V). Parece difícil determinar qué subálgebras pueden ser realizadas como Cent(\Theta) para alguna form d-lineal \Theta. Como un primer paso, conjeturamos que el centro tiene dimensión a lo sumo n. La conjetura es demostrada para n<6.
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Álgebras de cuaterniones y sus aplicaciones a la teoría de números.
Es todo número natural suma de 4 cuadrados? Este problema fue demostrado por Lagrange en 1770 mediante la denominada "igualdad de cuatro cuadrados de Euler". En esta charla introduciremos funciones Theta asociadas a ordenes en álgebras de cuaterniones, y daremos otra demostración del teorema de Lagrange mirando un orden particular en el álgebra de cuaterniones de Hamilton.
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Iván Pan (Universidad Federal de Rio
Grande do Sul - Porto Alegre)
Transformaciones de Cremona que estabilizan curvas irracionales.
Consideramos aplicaciones birracionales del plano
proyectivo que estabilizan una curva irreducible C no racional. Sea Cr(C) el conjunto de estas
aplicaciones: es el estabilizador del grupo de Cremona de C. Describimos Cr(C) y sus elementos en los casos
donde la normalización de C
es elíptica, hyperelíptica, cuártica plana y sextica de
género 4 en un cono cuadrático del espacio proyectivo. En
el caso general se dan resultados parciales.
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Resolución algorítmica de ecuaciones polinomiales: algunas ideas básicas
En esta charla, se intentará dar una introducción básica a la teoría de complejidad algebraica y su aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. Se describirán algunos inconvenientes que surgen cuando se pretende resolver eficientemente estos sistemas usando la codificación densa de polinomios (es decir, codificando a un polinomio como un vector de coeficientes) y también, algunas ideas y métodos que surgieron como posibles respuestas a estos inconvenientes.
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Tomar el 33 o 45 direccion Ciudad Universitaria (comunicar el destino al chofer). La parada se encuentra frente a la estación de tren F.C.G.M. Belgrano, y frente a la plaza Retiro.
El precio del boleto es 80 centavos, se paga en el bus, hay que llevar monedas, las máquinas dan vuelto. Duración del trayecto: aproximadamente 25 minutos.
Ir a la estación del tren F.C.G.M. Belgrano, tomar el tren (la única posibilidad) y bajarse en la estación S. Ortiz (la segunda desde Retiro).
En la estación del tren, subir al puente peatonal y caminar en la direccion que atraviesa las vías. Desde la altura del puente se tiene contacto visual con el Pabellón I; siga a los peatones.
Precio aproximado del boleto: 50 centavos. Duración del trayecto: 15 minutos. Frecuencia: 20 minutos.
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