VIII Encuentro Rioplatense, 29 y 30 de noviembre de 2001

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Resúmenes de los cursos

Beatriz Abadie

C* álgebras aproximadamente finitas

Las C*-álgebras aproximadamente finitas son aquellas que se obtienen al tomar el límite inductivo de C*-álgebras de dimensión finita. Se estudiarán algunos ejemplos y propiedades, y se expondrán algunos resultados de clasificación.

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Marco Farinati

Extensiones de Galois de anillos

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Dado un anillo A y un grupo finito de automorfismos G, hay dos anillos asociados: por un lado el subanillo de invariantes A^G y por otro el anillo "producto cruzado" A#G. En este curso estudiaremos la teoría de extensiones Galois de anillos desde el punto de vista de la teoría de representaciones de los anillos antes mencionados. Ilustraremos con aplicaciones a extensiones Galois y no Galois, principalmente relacionadas con el módulo de derivaciones.

El programa propuesto es el siguiente:

1. Definición general de extensión Galois para anillos arbitrarios y propiedades básicas.
2. Extensiones conmutativas e íntegras.
3. Extensiones de anillos simples.
4. Separabilidad, derivaciones, operadores diferenciales.
5. Homología de Hochschild y de De Rham para extensiones conmutativas.
6. Aplicaciones a álgebras simplécticas y de Poisson.

Bibliografía básica utilizada:

[T. Levasseur]: Anneaux d'opérateurs différentiels. L.N.Math. Springer 867 (1981), 157-173.

[M. Auslander, I. Reiten, S. Smalo]: Galois actions on rings and finite Galois coverings. Math. Scand. 65, No.1, 5-32 (1989).

[M.Cohen]: A Morita context related to finite automorphism groups of rings. Pac. J. Math. 98, 37-54 (1982).

[H. Kreimer, M. Takeuchi]: Hopf algebras and Galois extensions of an algebra. Indiana Univ. Math. J. 30, 675-692 (1981).

[S. Montgomery]: Fixed rings of finite automorphism groups of associative rings. Lecture Notes in Mathematics, 818. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag.

[C. Chase, D.Harrison, A. Rosenberg]: Galois theory and Galois cohomology of commutative rings. Mem. Am. Math. Soc. 52, 15-33 (1965).

[F. Demeyer, E. Ingraham]: Separable algebras over commutative rings. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 157 p. (1971).

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Cristian Gonzalez Aviles

Motivos de variedades algebraicas

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En este mini-curso de se trataron los aspectos fundamentales de la teoría de motivos de A. Grothendieck. El programa es el siguiente:

1. Ciclos algebraicos módulo equivalencia numérica y equivalencia racional. Correspondencias.
2. Las categorías de motivos M_k^num y M_k^rat.
3. Ejemplos.
   1. El motivo de un fibrado projectivo P(E).
   2. El motivo de un blowup
   3. Motivos de curvas y variedades abelianas.
   4. Variedades uniracionales de dimensión 2 ó 3
4. Teorías cohomológicas y motivos.
   1. Ciclos algebraicos módulo equivalencia homológica. La categoría M_k^hom.
   2. Las conjeturas estándar. Realizaciones de un motivo."

[Demazure, M.] "Motifs des variétés algébriques", Sem. Bourbaki no. 365, 1969

[Manin, Yu.] "Correspondences, motifs and monoidal transformations" Math. USSR-Sb., vol. 6, 1970.

[Scholl, A.J]. "Classical motives", Proc. Symp. Pure Math. (AMS), vol. 55, part I, 1991

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Resúmenes de las charlas

Andrés Abella

Biálgebras y categorías monoidales

Las categorías monoidales o tensoriales son categorías equipadas de un "producto tensorial" y aparecen naturalmente cuando se estudia la categoría de A-módulos (o de comódulos) sobre una biálgebra A. En el caso particular en el que A es un álgebra de Hopf, la categoría de A-módulos de dimensión finita resulta rígida, es decir el dual de un A-módulo tiene también una estructura natural de A-módulo. Por otro lado si A es casi-triangular, la categoría de A-modulos resulta trenzada, es decir hay un isomorfismo entre el producto tensorial de M y N y el producto tensorial de N y M.

En esta charla repasaremos estas construcciones mostrando las relaciones entre rigidez y la existencia de trenzas, y veremos como esto vincula estructuras en una biálgebra con estructuras en su categoría de módulos.

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Ivan Marin

Infinitesimal Hecke algebras

This talk will present an approach to the representation theory of the Artin braid groups from the point of view of monodromy representations (also called KZ-systems). In particular, we will introduce a new algebraic structure hidden behind the classical Iwahori-Hecke algebra of type A.

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Bernard Mourrain

Algebraic methods for solving polynomial equations

We will give an introductive presentation of algebraic methods for solving a polynomial system f₁ = ... = f_m = 0. Such methods are based on the study of the quotient algebra Ac of the polynomial ring modulo the ideal J=( f₁,..., f_m). We show how to deduce the geometry of the solutions, from the structure of Ac and in particular, how solving polynomial equations reduces to eigencomputations of these multiplication operators. We mention briefly two general methods for computing the normal of elements in Ac, used to obtain a representation of the multiplication operators. A major operation in effective algebraic geometry is the projection, which is closely related to the theory of resultants. We present different notions and constructions of resultants and different methods for solving systems of polynomial equations, based on these formulations. Finally, we describe iterative methods, which can be applied to select a root (amoung the other roots), which maximise or minimise some criterion, or to count or isolate the roots in a given domain. These methods exploits the algebraic properties of the quotient algebra Ac. These developments are illustrated by explicit computations in maple.

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Jorge Vitorio Pereira

Birational theory of holomorphic foliations and the Poincaré problem for differential equations

The following problem was studied by Poincaré:

"Is it possible to decide if an algebraic differential equation in two variables is algebraically integrable?". In the modern terminology the question above can be rephrased as: "Is it possible to decide if a holomorphic foliation F on the complex projective plane CP admits a rational first integral ?". Poincaré observed that in order to solve this problem it is sufficient to find a bound for the degree of the generic leaf of F. The main objective of this talk is to discuss an approach to the problem ofbounding the degree of the first integral based on the recent birational theory of holomorphic foliations. We will not assume that the audience is familiar with the theory of holomorphic foliations. A substantial part of the talk will be dedicated to discuss the basic concepts of this theory and the recent birational classification of holomorphic foliations on projective surfaces.

[M. Brunella] "Birational Geometry of Foliations", First Latin American Congress of Mathematicians, IMPA, 2000.

[L. G. Mendes], "Kodaira dimension of holomorphic singular foliations", Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática, 31, 127--143, 2000

[M. McQuillan], "Non-Commutative Mori Theory", Preprint, IHES, 2000.

[J. V. Pereira], "On the Poincaré problem for foliations of general type", to appear in Mathematische Annalen.

[H. Poincaré], "Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré I and II", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 5 (1891), 161--191; 11 (1897), 193--239.

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Andrea Solotar

Algebras de Weyl, subálgebras de invariantes y generalizaciones

Las álgebras de Weyl A_n(C) son álgebras no conmutativas que, por sus características, deberían ser consideradas suaves para cualquier definición de suave en el caso no conmutativo. Fueron estudiadas, así como sus subálgebras de invariantes A_n(C)^G, donde G es un subgrupo finito de los automorfismos de álgebras de A_n(C), desde numerosos puntos de vista. Estas últimas dan información sobre la desingularización de superficies de Klein. En [AFLS] y [FSSa] calculamos las homologías de Hochschild de estas álgebras. La charla tratará, más que de los cálculos en sí. de como éstos explican resultados obtenidos en [AL], [F] y [Sa]. Para ésto se considera a las álgebras de Weyl y sus subálgebras de invariantes como caso particular de las "álgebras de Weyl generalizadas" definidas por Bavula. Tanto U(sl₂) como sus cocientes primitivos son también álgebras de este tipo.

Referencias:

[AFLS] J.Alev - M.Farinati - T.Lambre - A.Solotar: Homologie de Hochschild des invariants d'une algèbre de Weyl sous l'action d'un groupe fini. J. of Alg. 232(2), 2000, p.564-577.

[AL] J.Alev - T.Lambre: Homologie des invariants d'une algèbre de Weyl. K-theory 18, 1999, p. 401-411.

[FSSa] M.Farinati - A.Solotar - M.Suárez Álvarez: Hochschild Homology and cohomology of generalized Weyl algebras, ArXiv:math.KT/0109025.

[F] Odile Fleury: Sur les invariants de B_{\lambda} sous l'action de sous-groupes finis d'automorphismes: conjecture de Gelfand-Kirillov et homologie de Hochschild. Comm. in Alg. 29(8), 2001. p. 3535-3557.

[Sa] Mariano Suárez-Álvarez: Hochschild homology of primitive quotients of U(sl₂) and their rings of invariants. Preprint.

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