Este encuentro tuvo lugar en Buenos Aires, Dto. de matemática
FCEyN UBA. El calendario de actividades fue:
| Lunes 6 | Martes 7 | |||
| 10:30 a 11:30 | Walter Ferrer | Álgebras de Frobenius y álgebras de Hopf | Eduardo Marcos | Esquemas de grupos de automorfismos lisos |
| 12:00 a 13:30 | Mariano Suárez Álvarez | Estructura de álgebra de la cohomología de los invariantes del álgebra de Weyl | Alvaro Rittatore | Introducción a las variedades esféricas |
| 15:30 a 16:30 | Nicolás Andruskiewitsch | Elementos de análisis armónico en álgebras de Hopf semisimples | ||
| 17:00 a 18:00 | Claude Cibils | El cuadrado tensorial del dual de un álgebra hereditaria |
Algebras de Frobenius y álgebras de Hopf:
Sweedler provó en la década del 60 que toda álgebra de Hopf de dimension finita es de Frobenius -las álgebras de Frobenius sobre un cuerpo son aquellas en que la representación regular es isomorfa a su dual como módulo- y tambien de co-Frobenius -o sea la representación regular es isomorfa a su dual como comódulo-. Es natural preguntarse cuando un espacio vectorial que sea un álgebra y una coálgebra y de Frobenius como álgebra y de co-Frobenius como coálgebra es de Hopf -o sea la multiplicación y la comultiplicación son compatibles-. En la exposición consideramos el problema anterior y le damos una respuesta parcial.
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Estructura de álgebra de la cohomología de Hochschild de los invariantes del álgebra de Weyl:
En este trabajo completamos la determinacion iniciada en [1] de la cohomología de Hochschild del subálgebra de invariantes de un álgebra de Weyl con respecto a un grupo finito de automorfismos lineales haciendo explícita la estructura de álgebra correspondiente. La conclusión final de nuestro cálculo es que el álgebra de Hochschild en este caso es naturalmente isomorfa al objeto graduado asociado al álgebra de funciones centrales sobre el grupo con respecto a una filtración adecuada.
[1] J. Alev, M. Farinati, A. Solotar y T. Lambre, Homologie des invariants d'une algèbre de Weyl sous l'action d'un groupe fini. Journal of Alg. 2000, 232 (2) pp. 564 - 577. También hay un anuncio electrónico en Algebra Montpellier Anouncements AMA01-2000.
Una versión electrónica se puede encontrar en arXiv:math.KT/0109068
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Elementos de análisis armónico en álgebras de Hopf semisimples:
Este es un trabajo en colaboración con S. Natale. Se desarrollan algunas herramientas clásicas de análisis armónico en grupos, en el contexto de álgebras de Hopf semisimples: álgebras de Hecke, funciones esféricas, espacios simétricos, criterios de Gelfand y Selberg, etc. Se discuten algunos ejemplos. La idea es entender la relación entre la estructura de álgebra y la de coálgebra, teniendo como motivación problemas de clasificación.
Para una versión electrónica de este trabajo se puede visitar la página web de Nicolás Andruskiewitsch.
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El cuadrado tensorial del dual de un álgebra hereditaria:
El producto tensorial de bimódulos sobre un álgebra puede reservar sorpresas, en reiteradas ocasiones M. Auslander insistió en que ese producto debe encerrar información clave sobre el álgebra. El valor del cuadrado tensorial del dual de un álgebra hereditaria es en efecto sorprendente. Se trata de un aspecto de un trabajo conjunto con E. Marcos, M.-J. Redondo y A. Solotar sobre cohomología de Hochschild de extensiones triviales. Empezaremos por estudiar y enmarcar el producto tensorial de bimodulos sobre un álgebra, luego consideraremos álgebras hereditarias via un carcaj y finalmente daremos dos pruebas del resultado.
Una versión electrónica de este trabajo se encuentra en arXiv:math.KT/0102194.
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Esquemas de automorfismos lisos:
Esta será una exposición en `Portuñol' de un trabajo junto con Daniel R. Farkas y Christof Geiss. Uno de los puntos de vista interesantes en el estudio de una estructura algebraica es el estudio de su grupo de automorfismos. El grupo esquema de un álgebra de dimension finita esta representado por un álgebra de Hopf conmutativa. Existen algunos teoremas inportantes en la literatura que asumen que el grupo es una variedad lisa. En característica cero, todos los grupos esquemas son lisos, pero en característica positiva ese fenómeno no se da y la situación es mas complicada. Usando un resultado clásico de Sweedler, nosotros describiremos un criterio bastante amigable para decidir si el grupo de automorfismos de un álgebra es liso. Usando ese criterio mostramos, por ejemplo, que la propiedad de tener grupo de automorfismos liso es preservada por equivalencia Morita. En el proceso descubrimos un nuevo subgrupo del primer grupo de cohomología de Hochschild, el cual es un invariante Morita. Desearíamos saber si esta propiedad es también invariante por inclinaciones.
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Introduccion a las variedades esféricas:
A partir de los años 1980, Luna, Vust, Brion, Knop y otros desarrollaron la teoría de las variedades esféricas. Estas son variedades algebraicas normales irreducibles X (sobre C), en las que actúa un grupo algebraico reductivo G, de forma que un subgrupo de Borel B de G tiene una órbita abierta en X. En particular, G posee una órbita abierta en X isomorfa a un espacio homogeneo G/H, donde H es un subgrupo de G tal que BH es abierto en G. Esta propiedad geométrica puede leerse en términos de propiedades de las representaciones de G. El objetivo de esta charla sera el presentar las definiciones, ejemplos y propiedades básicas de las variedades esféricas. En particular, mostraremos como se pueden clasificar las variedades esféricas mediante objetos combinatorios (los conos coloreados). Finalmente, presentaremos algunos de los problemas abiertos en relación al tema.
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