Para promocionar la materia, se debe aprobar un prefinal, programar un trabajo en código Maple y dar una exposición final.

• Prefinal: Coming soon.
• Trabajos de Maple: El trabajo de Maple consistirá en la programación e implementación de un código que permita resolver efectivamente (y en lo posible también eficientemente) alguno de los problemas relacionados con los tópicos vistos en clase.
• Final: La exposición final puede versar alrededor de todos los temas que se vieron en la materia, o bien sobre algún tópico en particular que pudiera haber interesado al alumno.

* Cotas para el grado de los generadores de ciertos ideales homogéneos. Resumen y referencias en: "Bounding the degrees of generators of a homogeneous dimension 2 toric ideal", por Hugh Thomas. Disponible en http://xxx.lanl.gov/abs/math.RA/0204254

* Relaciones entre las raíces de polinomios con coeficientes reales y sus derivadas. Resumen y referencias en: "On arrangements of real roots of a real polynomial and its derivatives", por Vladimir Kostov. Disponible en http://xxx.lanl.gov/abs/math.AG/0204272

* Bezoutianos. Los bezoutianos son una clase especial de formas cuadráticas que fueron introducidas para facilitar la localización de raíces de polinomios en una variable. También sirven para calcular máximo común divisor entre dos polinomios y resultantes.
Referencias: "A Polynomial Approach to Linear Algebra", Paul. A. Fuhrmann, Springer-Verlag 1996.

* Bases de Gröbner sobre anillos. Generalización de la teoría a R[X_1,...,X_n], donde R es un dominio noetheriano
o principal.
Referencias: "An introduction to Gröbner Bases", W. Adams, P. Loustaunau, 2nd edition, American Mathematical Society 1996. Ch. 4.

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Este proyecto requiere Factorización en Cuerpos Finitos que requiere conocer la estructura de los cuerpos finitos,
Puede ser medio largo....:

El algoritmo L^3. El primer algoritmo polinomial para factorizar polinomios primitivos en Z[X].
Referencias: "Factoring polynomials with rational coefficients", A.K. Lenstra, H.W. Lenstra, L. Lovasz. Math. Ann. 261 (1982) 515-534.
"Mathematics for Computer Algebra", M. Mignotte. Springer-Verlag 1992.
"Computational Number Theory", H. Cohen. Springer-Verlag 1996.
 
 

* Implementar el Teorema de Budan-Fourier (la versión general).

* Implementar un algoritmo que calcule el número de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales (si este es finito).
 
 

* Subresultantes y máximo común divisor de polinomios en una variable: Dados dos polinomios en una variable, las subresultantes son generalizaciones de la resultante que permiten calcular el máximo común divisor entre estos dos polinomios, aún cuando la resultante se anule idénticamente. La propuesta de este trabajo es estudiar la teoría de subresultantes e implementarla en Maple.

Referencias: "A subresultant theory for multivariate polynomials", por Laureano González Vega, Proceedings of the 1991 international symposium on Symbolic and algebraic computation.
 
 

* Versiones determinantales del Teorema de Sturm: Dado un polinomio en una variable con coeficientes reales y un intervalo cerrado, es posible determinar el número de raíces reales que posee el polinomio en ese intervalo mediante el algoritmo de Sturm. Existen versiones modificadas del algoritmo de Sturm donde, en lugar de derivar el polinomio, se consideran determinantes de matrices cuadradas. La propuesta de este trabajo es estudiar esta versión determinantal es implementarla en Maple.

Referencias: "On the Bézout construction of the resultant", por Bikker, P. y Uteshev, A.Yu, J. Symb. Comput. 28, No.1-2, 45-88, Art. No.jsco.1998.0267 (1999).
 
 

* Fórmulas compactas para calcular resultantes: Dados dos polinomios en una variable de grados n y m respectivamente, existen matrices cuadradas de tamaño más pequeño que n+m, cuyo determinante da la resultante entre estos polinomios. El trabajo consiste en estudiar estas matrices e implementarlas en Maple.

Referencias: "Discriminants, resultants, and multidimensional determinants", por Gelfand, I.M.; Kapranov, M.M.; y Zelevinsky, A.V.