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\begin{document}


\begin{center}
\textbf{\huge{Teor\'ia Geom\'etrica de la Medida}}
\end{center}

\begin{center}
 \bf{\LARGE{Ejercicios}}
\end{center}

\begin{description}
\item[Ejercicio 18:] (Clase 9, 15/05)

Sea $$D(A,B)=\sup\big\{d(x,B): x\in A\big\}$$ y
$$\widetilde{d}_H=\max\big\{D(A,B), D(B,A)\big\},$$ probar que
$$\widetilde{d}_H=d_H,$$ donde $d_H$ es la m\'etrica Hausdorff,
definida por $$d_H(A,B)=\inf\big\{\varepsilon>0:A\subseteq
B^{\varepsilon}\text{ y }B\subseteq A^{\varepsilon}\big\}.$$





\item[Ejercicio 19:] (Clase 9, 15/05)

Sea $A\subseteq\R^n$ y  $\psi:A\rightarrow\R^n$ una funci\'on
Lipschitz, es decir, existe $C>0$ tal que $\|\psi(x)-\psi(y)\|\leq
C\| x-y\|$ $\forall\,\, x,y\in A$.

Probar que para cada $s>0$ se tiene que
$$h^s(\psi(A))\leq C^s h^s(A),$$
y en particular $$\dim_H(\psi(A))\leq\dim_H(A).$$



\item[Ejercicio 20:] (Clase 9, 15/05)

Sea $A\subseteq\R^n$ y  $\psi:A\rightarrow\R^n$ una funci\'on que
satisface lo siguiente:\\ existe $\alpha\in (0,1]$ tal que
$\|\psi(x)-\psi(y)\|\leq C\| x-y\|^{\alpha}$ $\forall\,\, x,y\in A$.

Probar que bajo estas condiciones,
$$\dim_H(\psi(A))\leq\frac1{\alpha}\dim_H(A).$$



\item[Ejercicio 21:] (Clase 10, 17/05)

Sea $\phi=\{\varphi_1,\ldots,\p_m\}$, con
$\varphi_i:\R^d\longrightarrow\R^d$ contractivas. Probar:

\begin{description}
\item [({\it a})]Si existe $B\subseteq\R^d$ tal que $\phi(B)\subseteq
B$, entonces $A_{\phi}\subseteq B.$
\item [({\it b})]Si existe $B\subseteq\R^d$ tal que $\phi(B)\supseteq B$, entonces $A_{\phi}\supseteq B$.
\end{description}

\item[Ejercicio 22:] (Clase 10, 17/05)

(Teorema de Selecci\'on de Blaschcke)

Sea $\mathcal{C}$ una clase infinita de compactos no vac\'ios de
$\R^d$, uniformemente cotada. Es decir, existe un conjunto acotado
$B\subseteq\R^d$, tal que $C\subseteq B$ para todo $C\in
\mathcal{C}$.

Demostrar que existe una sucesi\'on $\{C_n\}_n\in \mathcal{C}$, con
$C_n\neq C_m$ si $n\neq m$, y un compacto no vac\'io $C$ (que no
necesariamente pertenece a $\mathcal{C}$), tal que  la sucesi\'on
%$$C_n\longrightarrow_{n\to\infty}^{d_H} C$$
 converge a $C$ en la distancia Hausdorff.





\end{description}

\end{document}
