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\newtheorem{thm*}{Teorema}[section]

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\begin{document}

\begin{center}
\textbf{\huge{Teor\'ia Geom\'etrica de la Medida}}
\end{center}

\begin{center}
 \bf{\LARGE{Ejercicios}}
\end{center}

\begin{description}
\item[Ejercicio 1:] (Clase 2, 27/03)

Sea $\mu$ una medida definida sobre $\Omega$ y $\{E_k\}_k$  una
sucesi\'on de conjuntos medibles disjuntos. Entonces, para todo
conjunto arbitrario  $A\subseteq\Omega$, se tiene:
$$\mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A\cap E_k)+\mu\Big(A\setminus\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\Big).$$

\item[Ejercicio 2:](Clase 2, 27/03)

Sea $\{\mu_{\f}\}_{\f\in I}$ una familia de medidas en $\Omega$. Para cada $A\subseteq\Omega$, definimos $\nu(A)$ como $$\nu(A)=\sup_{\f\in I}\mu_{\f}(A).$$ Probar que $\nu$ es una medida definida en $\Omega$.

\item[Ejercicio 3:](Clase 2, 27/03)

Sea $\mu$ una medida en $\Omega$ y $A\subseteq\Omega$ un conjunto
arbitario. Probar:

\begin{description}
\item [({\it a})] Si $E_1\subseteq E_2\subseteq\ldots\subseteq E_n\subseteq\ldots$, son todos
conjuntos medibles, entonces
$$\mu\Big(A\cap\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\Big)=\lim_{n\to\infty} \mu(A\cap
E_n).$$
\item [({\it b})] Si $E_1\supseteq E_2\supseteq\ldots\supseteq E_n\supseteq\ldots$, son todos
conjuntos medibles y adem\'as $\mu(A\cap E_k)<\infty$ para alg\'un
$k\in\n$, entonces
$$\mu\Big(A\cap\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\Big)=\lim_{n\to\infty} \mu(A\cap
E_n).$$
\end{description}

\item[Ejercicio 4:](Clase 2, 27/03)

Sea $\mu$ una medida regular en $\Omega$. Probar:
\begin{description}
\item [({\it a})] Si $A_1\subseteq A_2\subseteq\ldots\subseteq A_n\subseteq\ldots$ son subconjuntos
arbitarios de $\Omega$, entonces
$$\mu\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Big)=\lim_{n\to\infty} \mu(A_n).$$
\item [({\it b})] El resultado anterior es falso para intersecciones, a\'un
si se tiene que $\mu(A_n)<\infty\quad\forall n\in\n$.
\end{description}

\item[Ejercicio 5:](Clase 2, 27/03)

Sea $\mu$ una medida en $\Omega$. Probar que si se construye la
medida $\lambda$ por el m\'etodo I, a partir de la premedida
$(\Gamma,\mathcal{C})$, donde $\Gamma=\mu$ y
$\mathcal{C}=\mathbb{P}(\Omega)$, entonces $\lambda=\mu$.

\item[Ejercicio 6:](Clase 3, 29/03)

Sea $\mu$ una medida en $\Omega$, $B\subseteq\Omega$ un conjunto
arbitario y $\{A_n\}_{n\in\n}$ una sucesi\'on de subconjuntos
medibles de $\Omega$. Entonces:
\begin{description}
\item [({\it a})] $\mu(B\cap A_{\ast})\leq\liminf_{n\to\infty}\mu(B\cap A_n).$
\item [({\it b})] Si $\mu\big(B\cap\bigcup_{k\geq n} A_k\big)<\infty$ para alg\'un $n\in\n$, entonces
$$\limsup_{n\to\infty}\mu(B\cap A_n)\leq\mu(B\cap A^{\ast}).$$
\end{description}

Recordar que $$A^{\ast}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}A_k\qquad\textrm{y}\qquad A_{\ast}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k\geq n}A_k.$$

\item[Ejercicio 7:](Clase 4, 03/04)

Dada una medida $\mu$ en $\Omega$ y un conjunto $A\subseteq\Omega$, se define $\mu_A$ como
$$\mu_A(B)=\mu(A\cap B)\qquad\forall B\subseteq \Omega.$$ Probar que $\mu_A$ es una medida en $\Omega$.

\item[Ejercicio 8:](Clase 4, 03/04)

Sean $\mu$ una medida en $\Omega$ y $A\subseteq\Omega$.
Probar que si $E$ es un subconjunto  $\mu$-medible de $\Omega$, entonces $E$ es  $\mu_A$-medible. Es decir, $M_{\mu}\subseteq
M_{\mu_A}$.

\item[Ejercicio 9:](Clase 4, 03/04)

Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y $\mu$ una medida boreliana en
$X$. Dados $B\in\beta(X)$ y $\e>0$, se tiene:
\begin{description}
\item [({\it a})]Si $\mu(B)<\infty$, entonces existe un conjunto $F$ cerrado contenido en $B$,
tal que  $\mu(B\setminus F)<\e$.
\item [({\it b})]Si $B\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n$, con $G_n$ abierto y de medida finita
para todo $n\in\n$, entonces existe $G$ abierto, tal que $G\supseteq B$ y $\mu(G\setminus B)<\e$.
\item [({\it c})]Si $\mu$ es borel regular, entonces los items ({\it a}) y ({\it b})
valen para $B$ conjunto $\mu$-medible.
\end{description}


\item[Ejercicio 10] (Clase 6, 12/04)

Dados $a,b\in\R^n$, $\mathcal{R}(a,b)$ denota el rect\'angulo
definido  como
$$\mathcal{R}(a,b)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \R^n : a_i< x_i< b_i, \textrm{para}\,\, i=1\ldots n\}$$
Sea $\mathfrak{R}$, la clase de todos los rect\'angulos definidos
anteriormente y $\Gamma$ la premedida sobre la clase $\mathfrak{R}$
que verifica $\Gamma(\mathcal{R}(a,b))=\prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i)$.

Probar que si $\lambda=MI(\Gamma, \mathfrak{R})$ y $\nu=MII(\Gamma,
\mathfrak{R})$, entonces $\lambda=\nu$.

\textbf{Sugerencia}: Para probar que $\lambda\geq\nu$, suponer
primero que $\lambda(E)<\infty$ y, dado $\e>0$, tomar un cubrimiento
de modo tal que se verifique
$\sum_k\Gamma(\mathcal{R}_k)\leq\lambda(E)+\e$. Para armar un
$\delta$-cubrimiento, partir cada $\mathcal{R}_k$ en rectangulitos
de tama\~{n}o adecuado y agrandarlos en $\eta/2^k$ para que el nuevo
cubrimiento contenga el borde.

\item[Ejercicio 11] (Clase 6, 12/04)

Para $A\subseteq\R^n$, probar que $$\dim_H(A)=\sup\{s\in [0,
+\infty): h^s(A)=+\infty\}.$$

\item[Ejercicio 12:](Clase 7, 17/04)

Dada una sucesi\'on $\{\lambda_n\}_{n\in\N}\subseteq
(0,\frac{1}{2})$, se construye un conjunto estilo Cantor (notado
como $C_{\{\lambda_n\}}$) de forma que  en el paso n-\'esimo se
toman $2^n$ intervalos de longitud $\lambda_1\ldots\lambda_n$. Se
tiene entonces que
$$\frac{|I_{i_1\ldots i_n}|}{|I_{i_1\ldots i_{n+1}}|}=\lambda_n,$$
donde $I_{i_1\ldots i_n}$ es un intervalo del paso n-\'esimo e
$I_{i_1\ldots i_{n+1}}$ es uno de los dos intervalos del paso
$n+1$-\'esimo que se obtienen  de
$I_{i_1\ldots i_n}$.\\
Probar que si $h\in\mathcal{H}$, siendo
\begin{align*}
\mathcal{H}=\{&f:\R_{\geq0}\longrightarrow\R\cup\{\infty\}:   \text{
continuas a derecha,  no decrecientes y }\\&  f(t)>0 \text{ si }t>0 \}
\end{align*} y
$h(s_k)=\frac{1}{2^k}$, donde
$s_k=\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_k$, entonces
$\mu^h(C_{\{\lambda_n\}})\in[\frac{1}{4},1]$.


\newpage

\item[Ejercicio 13:](Clase 7, 17/04)

Demostrar que:
\begin{align*}
\overline{\text{dim}}_M(A)=&\inf\Big\{0<s\,\big/\,\limsup
_{\varepsilon\to0^+}N(A,\varepsilon)\,\varepsilon^s<+\infty\Big\}\\
=&\sup\Big\{0<s\,\big/\,\limsup
_{\varepsilon\to0^+}N(A,\varepsilon)\,\varepsilon^s=+\infty\Big\}\\
=&\sup\Big\{0<s\,\big/\,\limsup
_{\varepsilon\to0^+}N(A,\varepsilon)\,\varepsilon^s>0\Big\}.
\end{align*}
Y que para $\underline{\text{dim}}_{\,M}(A)$ vale lo mismo usando
$\liminf$ en lugar de $\limsup$.

\item[Ejercicio 14:](Clase 7, 17/04)

Probar que:
$$\text{dim}_H(A)\leq\underline{\text{dim}}_{\,M}(A)\leq\overline{\text{dim}}_M(A)\leq
n.$$

\item[Ejercicio 15:](Clase 7, 17/04)

Probar que:
$$\overline{\text{dim}}_M(A)=\limsup
_{\varepsilon\to0^+}\frac{\log(N(A,\varepsilon))}{\log(\frac{1}{\varepsilon})}$$
$$\underline{\text{dim}}_M(A)=\liminf
_{\varepsilon\to0^+}\frac{\log(N(A,\varepsilon))}{\log(\frac{1}{\varepsilon})}.$$

\item[Ejercicio 16:](Clase 7, 17/04)

Sea $A=\{0\}\cup\{\frac{1}{n}\,/\,n\in\N\}$, probar que
$$\overline{\text{dim}}_M(A)=\frac{1}{2}.$$ Demostrar adem\'as que
$$\overline{\text{dim}}_M(\{x\})=0\quad\forall\, x\in\R^n.$$ Observar que de esta forma se
probar\'ia que $\overline{\text{dim}}_M$ no cumple que para toda
sucesi\'on $\{A_n\}_n$ de subconjuntos de $\R^n$,
$$\overline{\text{dim}}_M\Big(\bigcup_nA_n\Big)=\sup_n\,\,\overline{\text{dim}}_M(A_n).$$

\item[Ejercicio 17:](Clase 8, 19/04)

Probar que  $p^s$, la medida packing s, es m\'etrica. \\Recordar que
$p^s$ se define por:
$$p^s(A)=\inf\Big\{\sum_kP^s(A_k)\,\big/\,A\subseteq\bigcup_kA_k\Big\},$$con
$$P^s(A)=\inf_{\delta>0}P^s_{\delta}(A)=\lim_{\delta\to
0^+}P^s_{\delta}(A)$$y
\begin{align*}
P^s_{\delta}(A)=\sup\Big\{&\sum_i|B_i|^s\,\big/\,\{B_i\}_{i\in\N}
\text{ son bolas de radio menor o igual a $\delta$,} \\ &\text{
cerradas, disjuntas y 
 centradas en alg\'un elemento de $A$}\Big \}.
 \end{align*}
%\textbf{Sugerencia}: Pensar en la demostraci\'on realizada para
%probar que toda medida construida a partir del m\'etodo II es
%m\'etrica.










\end{description}






























\end{document}
