Expositor: Carlos Pérez (University of the Basque Country and BCAM- Basque Center for Applied Mathematics).
Abstract:
La primera parte de esta charla, que va a ser muy expositoria, girará alrededor de las desigualdades de Poincaré y de algunas de sus variantes como las de Poincaré-Sobolev. Estas desigualdades son herramientas claves en muchos contextos de las matemáticas pero haremos especial énfasis en su conexión con las EDP y en especial con la teoría de la regularidad de las ecuaciones ecuaciones elípticas degeneradas. La teoría moderna empezó con un trabajo muy influyente de Fabes-Kenig-Serapioni de 1982. Nuestro enfoque es muy distinto, es más preciso y está muy relacionado con aspectos esenciales del Análisis Armónico tales como los espacios BMO de John-Nirenberg, la teoría \(A_p\) de pesos entre otros. Motivados por estos resultados presentaré en la segunda parte de la charla algunos resultados recientes para ciertos espacios que generalizan al BMO clásico de John-Nirenberg. Veremos que hay una relación muy estrecha con la clase \(A_{\infty}\) de pesos.
La primera parte de la charla forma parte de un trabajo en colaboración con E. Rela y la segunda con E. Rela, S. Ombrosi e I. Rivera-Rios.
Expositor: Carlos Pérez (University of the Basque Country and BCAM- Basque Center for Applied Mathematics).
Abstract:
The extrapolation theorem of Rubio de Francia is one of the most beautiful and useful theorems in modern Harmonic Analysis. In 1988, Harboure-Macias-Segovia gave another version of this theorem using as part of the initial extrapolation hypothesis the weighted space of B.M.O. introduced independently by Garcia-Cuerva and Muckenhoupt-Wheeden in the 70's. We plan to revisit this theorem by discussing a different proof based on modern technology which provides a good control on the relevant constants. This is a joint work with A. Criado and I. Rivera-Rios.
Expositor: Mateus Sousa (UBA).
Abstract:
En este tercer seminario sobre el método polinomial, vamos a empezar con la demostración del teorema de Guth-Katz sobre conjuntos de distancias.
Expositor: Mateus Sousa (UBA).
Abstract:
En este segundo seminario acerca del método polinomial, hablaremos sobre los problemas de distancias de Erdős y Falconer.
Expositor: Mateus Sousa (UBA).
Abstract:
Este es el primero de una serie de seminarios acerca del método polinomial, una herramienta que ha producido increíbles resultados en los últimos años en áreas como análisis, geometría, teoría de números y combinatoria, hablaremos de algunos ejemplos básicos de problemas que motivarán el método. Todos son muy bienvenidos a participar!
Expositor: Mateus Sousa (IMPA).
Abstract:
In this talk we will get to know some extremal problems involving Fourier restriction estimates. The goal is to give a panoramic view of the landscape of sharp Fourier restriction theory, explain some of the main ideas and techniques involved and present some of the newest developments.
Expositor: José María Martell (ICMAT, España).
Abstract:
Sea \(\Omega\subset\mathbb{R}^{n+1}\), \(n\ge 2\), un dominio ''1-sided chord-arc'', esto es, un dominio que satisface las condiciones interiores ''Corkscrew'' y ''Harnack Chain'' (es decir, \(\Omega\) es cuantitativamente abierto y conexo por caminos) y cuya frontera \(\partial\Omega\) es de tipo Ahlfors regular \(n\)-dimensional. Mostraremos como el hecho de que la medida elíptica asociada a un operador real elíptico de tipo divergencia en cierta clase sea un peso \(A_\infty\) implica que necesariamente el dominio exterior \(\mathbb{R}^{n+1}\setminus\overline{\Omega}\) es cuantitativamente abierto. Combinando esto, con un resultado de Kenig-Pipher, podemos caracterizar la condición geométrica/topológica ''Corkcrew'' del exterior en términos de la condición analítica \(A_\infty\). El resultado principal es un trabajo conjunto con S. Hofmann y T. Toro, donde usamos distintas técnicas del análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría geométrica de la medida.
Expositor: Jorge Antezana (Universidad de La Plata).
Abstract:
Sea \(f\) una wavelet de clase \(C^r\) y soporte compacto que proviene de un análisis de multiresolución. Dado \(p>1\) y distinto de infinito, la base asociada a \(f\) resulta ser una base incondicional en \(L^p(u)\) si y sólo sí el peso \(u\) está en la clase \(A_p\). Por otra parte, en los espacios invariantes por reordenamiento con respecto a la medida de Lebesgue (r.i.), dicha base es incondicional si los índices de Boyd son "buenos". Tanto en el caso \(L^p(u)\) con en el de los espacios r.i., la incondicionalidad de la base de wavelets está relacionada con condiciones equivalentes a la acotación de la transformada de Hilbert. En esta charla discutiremos algunos resultados tendientes a entender un poco mejor esta relación.
Expositor: Andrea Olivo (Universidad de Buenos Aires).
Abstract:
Un problema estudiado recientemente es la relación entre
los tamaños de dos conjuntos \(B, S \subset \mathbb{R}^{2}\) cuando \(B\)
contiene el borde de un cuadrado con centro en cada punto de \(S\).
Más generalmente: \(B, S \subset \mathbb{R}^{n}\) y \(B\) contiene el
\(k\)-esqueleto de un cubo \(n\)-dimensional con centro en cada
punto de \(S\).
En esta charla presentaremos un operador maximal asociado a este problema geométrico y mostraremos las acotaciones encontradas en \(L^p\).
Los resultados que se presentarán en esta charla están basados en un trabajo junto con Pablo Shmerkin.
Expositor: Carolina Mosquera (Universidad de Buenos Aires).
Abstract:
R. Kaufman y M. Tsujii probaron que la transformada de Fourier de medidas autosimilares tiene decaimiento polinomial fuera de un conjunto excepcional de frecuencias pequeño. En esta charla presentaremos una versión de este resultado para medidas autosimilares homegéneas, dando estimaciones cuantitativas. Presentaremos además varias aplicaciones de este resultado: (1) imágenes suaves no lineales de medidas homogéneas autosimilares tienen transformada de Fourier con decaimiento polinomial, (2) convolucionar con una medida homogénea autosimilar aumenta la dimensión de correlación, (3) la dimensión y el exponente de Frostman de convoluciones de Bernoulli tienden a uno cuando el radio de contracción tiende a uno.
Los resultados que se presentarán en esta charla están basados en un trabajo junto con Pablo Shmerkin.
Expositor: Leandro Vendramin (Universidad de Buenos Aires).
Abstract:
Daremos una introducción al análisis de Fourier en grupos finitos
abelianos y no abelianos. Repasaremos una de las herramientas básicas:
la teoría de representaciones. Si el tiempo alcanza, discutiremos
algunas aplicaciones a la teoría de grafos y paseos aleatorios en
grupos.
Expositor: Emily King (Universidad de Bremen).
Abstract:
It is often of interest to find subspaces which are optimally spread apart. For
example, if one wants a set of vectors (representing one dimensional subspaces)
which have similar properties to orthonormal bases, the vectors should as nonparallel
as possible. Such collections yield optimally robust representations of
certain classes of data and are referred to as Grassmannian (fusion) frames.
There are a number of constructions possible using tools from combinatorial
design theory including difference sets and their generalizations. In this talk, the connection
between algebraic combinatorics and geometric packings will be presented,
including brand new constructions of packings.
Expositor: Natalia Accomazzo Scotti (Universidad del País Vasco)
Abstract:
Dada una función \(b \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)\) y \(T\) una integral singular, se define el conmutador \([b,T]f=bT(f)-T(bf)\). Coifman, Rochberg y Weiss probaron que este operador resulta acotado en \(L^p(\mathbb{R}^n)\) (\(1 < p < \infty\)) si y sólo si la función \(b\) pertenece al espacio \(BMO\). Para el caso \(p=1\), Carlos Pérez probó que si \(b \in BMO\) entonces el conmutador satisface una desigualdad de tipo \(L \log L\). Veremos que también se cumple la vuelta de esta afirmación y algunos problemas relacionados.
Expositor: Alexia Yavicoli (Universidad de Buenos Aires)
Abstract:
Dado \(E \subseteq \mathbb{R}^d\) y una función lineal \(f: \mathbb{R}^{dm} \to \mathbb{R}\), decimos que el conjunto \(E\) evita el patrón \(f\) si \(f (x_1, \cdots ,x_m)\neq 0\) para todos \(x_1, \cdots x_m\) distintos en \(E\) y toda \(k\).
En esta charla les voy a hablar sobre mi último trabajo, en el que construyo conjuntos compactos "grandes" que evitan contables patrones lineales. Voy a dar un resultado general, del que se deduce entre otras cosas:
Dada una función de dimensión \(h\) y un conjunto contable de proporciones \(A\), existe un conjunto compacto \(E \subseteq \mathbb{R}\) con medida \(h\)-Hausdorff positiva, que no tiene tres elementos distintos cuya proporción esté en \(A\).
Expositor: Eino Rossi (Universidad Torcuato di Tella)
Abstract:
In a recent collaboration with Shmerkin, we studied when a subset of an euclidean space can be covered by a graph of a function from a linear subspace to its orthogonal complement. Consider for example a set in the plane. If the orthogonal projection of the set to the x-axis is injective, then the inverse of the projection is well defined and can be extended to a function from x-axis to reals. Thus we have obtained the desired covering. More specifically, we study the regularity of the inverse of the projection. We obtain that when the box dimension of the set is small, then for almost every direction there exists a cover by a Hölder continuous function. Moreover we obtain estimates for the dimension of the set of the exceptional directions where a cover by a Hölder graph was not possible. For a specific class of sets, called homogenous sets, we find coverings by Lipschitz graphs, which is much much better, in the sense of regularity, than having a covering by a Hölder graphs.
Expositor: Diana Carbajal (Universidad de Buenos Aires)
Abstract:
Continuaremos tratando el problema de la existencia de bases de Riesz de exponenciales de la forma
\(E(\Lambda) = \{e^{2\pi i \langle \lambda,x\rangle}:\lambda \in \Lambda \}\)
en el espacio \(L^2(\Omega)\), para \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\) un conjunto no vacío, de medida de Lebesgue finita y \(\Lambda\) un conjunto discreto de \(\mathbb{R}^d\).
En esta oportunidad se describirá un reciente resultado, obtenido en conjunto con Carlos Cabrelli, en donde se encuentran condiciones suficientes para la existencia de bases de Riesz de exponenciales sobre conjuntos \(\Omega\) que multi-teselan el espacio, no necesariamente acotados.
Expositor: Carlos Cabrelli (Universidad de Buenos Aires)
Abstract:
Sea \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\) un conjunto no vacío, de medida de Lebesgue finita y \(\Lambda\) un conjunto discreto de \(\mathbb{R}^d\).
En esta charla se tratará el problema de la existencia de bases de Riesz
de exponenciales de la forma
\(E(\Lambda) = \{e^{2\pi i (\lambda,x)}:\lambda \in \Lambda \}\)
en el espacio \(L^2(\Omega).\) Se comentará sobre el estado actual del problema y su relación con los conjuntos de interpolación en los espacios de Paley-Wiener generalizados.
Expositor: Tuomas Sahlsten (University of Bristol)
Abstract:
We will give an introduction to the topic of “quantum ergodicity” and review the history and current challenges of the problem. The quantum ergodicity theorem states that on Riemannian surfaces with an ergodic geodesic flow, most eigenfunctions of the Laplacian equidistribute spatially in the large eigenvalue limit. In this talk, we will present an alternative equidistribution theorem for eigenfunctions where the eigenvalues stay bounded and we take instead sequences of compact hyperbolic surfaces that become large in, say, volume. Thus the result combines quantum ergodicity with the theory of limit multiplicities in spectral theory (after DeGeorge and Wallach).
The approach is motivated by the recent works of Anantharaman, Brooks, Le Masson, and Lindenstrauss on eigenvectors of the discrete Laplacian on regular graphs, and the holomorphic form analogues by Nelson, Pitale and Saha. In the dynamics side of the proof we require the exponential mixing structure of the geodesic flow on hyperbolic surfaces, in particular a quantitative mean ergodic theorem by Nevo.
This is a joint work with Etienne Le Masson (Bristol).
Expositor: Ignacio García (Universidad de Mar del Plata)
Abstract:
La dimensión quasi-Assouad es una variante de la (más familiar) dimensión de Assouad, que fue introducida recientemente por Lu y Xi como un invariante bajo aplicaciones quasi-Lipschitz. Esta dimensión se encuentra acotada entre la dimensión de Assouad y el espectro de Assouad, recientemente introducido por Fraser y Yu para estudiar propiedades de homogeneidad de espacios métricos. En la charla voy a comentar resultados sobre la dimensión quasi-Assouad de conjuntos autosimilares, sobre la relación de las tangentes de un conjunto con su dimensión quasi-Assouad y sobre el comportamiento bajo proyecciones ortogonales. Estos resultados son parte de un trabajo con Kathryn Hare.
Expositor: Ole Christensen (Technical University of Denmark)
Abstract:
Frame theory is a flexible tool to obtain series expansions in Hilbert spaces that are similar
to the ones that are known from orthonormal bases. In contrast to the case of orthonormal bases,
the series expansion via a frame in general requires computation of a so-called dual frame.
The possible choices of a dual frames have been characterized in several concrete cases, but
still they are often complicated to determine. In the talk we demonstrate how additional flexibility
and easier constructions
can be obtained using so-called approximately dual frames. Approximately dual frames do
not lead to perfect reconstruction, but since round-off errors will occur in all concrete
applications this does not cause a problem as long as the error can be controlled.
Expositor: Carlos Pérez Moreno (Universidad del País Vasco - BCAM)
Abstract:
Las desigualdades de Poincaré y las de Poincaré-Sobolev son herramientas fundamentales en las EDP y en Análisis en general. En este seminario mostraremos algunas de estas propiedades desde un punto de vista más general que permite establecer también la conexión con las desigualdades de Trudinger y las de John-Nirenberg. Mostraremos que buena parte de esta teoría se puede desarrollar sin usar el concepto de derivada.
Expositor: Ursula Molter (Universidad de Buenos Aires)
Abstract:
En esta charla presentaré algunos resultados acerca de cuando las iteraciones de un operador diagonal (o normal) en \(L^2(\mathbb{R}^d)\) aplicadas a un conjunto finito de funciones, forman un sistema completo, minimal, o un frame del espacio.
Expositor: Demetrio Stojanoff (Universidad Nacional de La Plata)
Abstract:
TBA
Expositor: Fernanda Barrozo
Abstract:
Se estudian las dimensiones Hausdorff, Packing y
Box de conjuntos invariantes asociados a sistemas iterados de
funciones numerables en \(\mathbb{R}^m\).
Dada una familia \(\mathcal{F}=\{F_i:i\in\mathbb N\}\) de semejanzas contractivas en
\(\mathbb R^m\) se consideran las subfamilias finitas \(\mathcal F_n=\{F_i:1\leq i\leq
n\}\) y los atractores \(K_n\) asociados a las mismas. Bajo ciertas
condiciones, se calculan las dimensiones Hausdorff y Packing del
conjunto \(I=\bigcup_{i\in \mathbb N} K_n\), las cuales coinciden, y se
investigan condiciones bajo las cuales coincida tambi\'en la
dimensi\'on box.
Se consideran tambi\'en sistemas en \(\mathbb R^2\) donde los mapas son de la
forma
\begin{equation}
F_i(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}
r_i & 0 \\
0 & q_i \\
\end{pmatrix}
\mathbf{x}+\mathbf{t}_i
\end{equation}
y se calcula la dimensi\'on Packing de \(I\)
bajo ciertas condiciones adicionales.
Expositor: José Luis Romero (Universidad de Viena)
Abstract:
Los métodos multi-taper tratan de estimar la densidad espectral de un proceso estocástico, pesando los datos con diferentes máscaras y luego haciendo un promedio que reduce la varianza. Voy a presentar estimaciones para el sesgo para el ejemplo principal de esos estimatores (método de Thomson). Esto nos permite cuantificar rigurosamente la contribución del sesgo y la varianza al error
cuadrático promedio. El elemento central es la descripción del comportamiento agregado de las máscaras con métodos de Fourier.
Expositor: Friedrich Philipp (UBA)
Abstract:
Given a bounded normal operator \(A\) in a Hilbert space and a fixed vector \(x\), we elaborate on the problem of finding necessary and sufficient conditions under which \((A^kx)_{k\in\mathbb N}\) constitutes a Bessel sequence. We provide a characterization in terms of the measure \(\|E(\cdot)x\|^2\), where \(E\) is the spectral measure of the operator \(A\). In the separately treated special cases where \(A\) is unitary or selfadjoint we obtain more explicit characterizations. If time admits, we apply our results to a sequence \((A^kx)_{k\in\mathbb N}\), where \(A\) arises from the heat equation. The problem is motivated by and related to the new field of Dynamical Sampling which was recently initiated by Aldroubi, Cabrelli, Molter, and Tang.
Expositor: Frank Morgan (Williams College)
Abstract:
In \(\mathbb{R}^n\) a round sphere solves the "isoperimetrc problem"— provides the least-perimeter way to enclose given volume. Even with radial densities such as \(e^{-r^2}\), \(e^{r^2}\), and \(r^p\), the problem has some surprising solutions. The talk will include open questions and recent results, some by undergraduates. No prerequisites, students welcome.
Expositor: Pedro Tradacete Perez (Universidad Carlos III de Madrid)
Abstract:
El objetivo de la charla es presentar varios resultados recientes sobre la acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood en un grafo. En particular, estudiaremos diversas propiedades geométricas de grafos infinitos y su relación con estimaciones débil \((1,1)\). Trabajo conjunto con J. Soria (Barcelona).
Expositor: Leandro Zuberman (Universidad de Mar del Plata)
Abstract:
Un problema relacionado con la conjetura de Fuglede, es el de la existencia de bases ortonormales de exponenciales para el espacio de funciones de cuadrado integrable respecto de una medida dada; o, más en general, la existencia de bases de Riesz o marcos. En caso de que exista una tal base, la medida se llama espectral.
Por resultados de Laba y Wang [LW06] y de He, Lai y Lau [HLL13] las medidas espectrales son de tipo puro: o bien son puramente atómicas, o bien son singulares sin átomos, o bien son absolutamente continuas. Junto con la aparición de estos resultados, surgió la conjetura de que debía existir un tipo puro más refinado. Específicamente, la conjetura decía que las medidas espectrales no podrían tener componentes de diferente dimensión. Recientemente, Lev [Lev16] probó que dicha conjetura es falsa. Sin embargo, dio sentido a la conjetura estableciendo que las dimensiones de las componentes de las medidas espectrales deben cumplir ciertas restricciones que las acotan. La idea de la charla es desarrollar estos resultados.
[HLL13] X.-G. He, C.-K. Lai, K.-S. Lau, Exponential spectra in \(L^2(\mu)\). Appl. Comput. Harmon.
Anal. 34 (2013), no. 3, 327–338.
[LW06] I. Laba, Y. Wang, Some properties of spectral measures. Appl. Comput. Harmon. Anal.
20 (2006), no. 1, 149–157.
[Lev16] arXiv:1607.06267 21-Jul-2016
Expositor: Alejandro Quintero (Universidad de Mar del Plata)
Abstract:
En esta charla, presentaré las nociones clásicas de la Teoría de Wavelets, como así también los resultados más relevantes de la misma.
Luego, explicaré cómo se pueden extender estas nociones a un contexto más general, cambiando la acción del grupo de traslaciones por la acción de grupos
cristalográficos. A continuación, describiré una serie de resultados, que permiten garantizar la existencia de wavelets asociadas a los grupos cristalográficos,
utilizando como principal herramienta los Análisis de Multiresolución Cristalográficos, que generalizan a los Análisis de Multiresolución clásicos.
Por último, introduciré la noción de orden de presición, o accuracy, de una función \(\ f\ \) y su importancia con el estudio de las wavelets cristalográficas.
Expositor: Pedro Massey.
Abstract:
El potencial de marco fue introducido por Benedetto y Fickus como una medida de la dispersión del espectro del operador de marco de una sucesión finita de vectores unitarios; concretamente, Benedetto y Fickus mostraron que las sucesiones finitas de vectores unitarios que minimizan este potencial son los llamados marcos ajustados. En esta charla indicamos como extender la noción de potencial de marco al contexto de sucesiones de Bessel generadas por traslaciones enteras de familias finitas de vectores en \(L^2(\mathbb{R}^k)\). Mostramos que los mínimos de este potencial en el conjunto de sucesiones generadas por vectores unitarios, dentro de un espacio invariante por traslaciones finitamente generado \(W\), corresponden a marcos ajustados para \(W\). Describiremos algunos posibles problemas de diseño de familias óptimas (en particular, sobre el diseño de marcos duales óptimos con ciertas restricciones) y posibles extensiones de esta línea de investigación. Esta charla está basada en trabajos en conjunto con María José Benac y Demetrio Stojanoff.
Expositor: Daniel Carando.
Abstract:
Veremos cómo la continuidad de la transformada de Fourier con valores en un espacio de Banach se relaciona con el estudio de la región de convergencia absoluta de ciertas series de potencias asociadas a funciones de espacios de Hardy vectoriales.
Expositor: Daniel Galicer.
Abstract:
Sea \(K \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto compacto provisto de la distancia \(d_{\alpha}(x,y)=|x - y|^{\alpha}\), con \(0 < \alpha < 1\).
Un resultado clásico de Schoenberg y von Neumann asegura que existe un mínimo \(r>0\) para el cual el espacio métrico \((K, d_{\alpha})\) se mete isométricamente en la superficie de una esfera de Hilbert de radio \(r\).
En esta charla mencionaremos algunas estimaciones dadas en \([1]\) de este mínimo radio para ciertos cuerpos simétricos \(K\). Para este fin, estudiaremos la energía máxima $$\sup \int_{K} \int_{K} |x - y|^{2 \alpha} d\mu(x) d\mu(y),$$ donde el supremo es tomado sobre todas las medidas borelianas signadas y finitas \(\mu\) soportadas en \(K\) de masa total uno.
[1] D. Carando, D. Galicer, D. Pinasco, Energy integrals and metric embedding theory , Int Math Res Notices 2015 (16) 7417--7435.
Expositor: Carlos Cabrelli.
Abstract:
En esta charla se describirán recientes resultados sobre propiedades de cuasicristales como conjuntos de muestreo e interpolación en espacios de Paley-Wiener.
Expositor: Julio Rossi.
Abstract:
Vamos a hablar sobre una forma no-local de definir perímetro y curvatura de un conjunto que no requiere ninguna regularidad de su frontera (sólo medible).
Trabajo conjunto con J Mazon y J Toledo (Valencia)
Expositor: Juan Pablo Pinasco.
Abstract:
Dado un conjunto compacto de \(\mathbb R ^N\) y una medida soportada en él, se define la dimensión espectral de ambos a partir del orden de crecimiento de los autovalores de cierto Laplaciano generalizado. Esta dimensión no coincide en general con las dimensiones usuales (Hausdorff, Minkowski, walk...), y sólo se puede calcular cuando la medida es autosimilar. Veremos cómo se define y se calcula en esos casos, y una caracterización geométrica que permite dar una cota superior de esta dimensión en cualquier compacto de la recta.
Expositor: Daniel Carando.
Abstract:
Veremos cómo un problema sobre convergencia de series de Dirichlet se conecta con distintos problemas del análisis complejo y el análisis armónico. Particularmente, mostraremos que el estudio de la convergencia absoluta de las series de Dirichlet pertenecientes a ciertos espacios de Hardy se relaciona con la continuidad de la transformada de Fourier vectorial.
Expositor: Ursula Molter.
Abstract:
El teorema de Balian-Low es un resultado clave en análisis armónico y refleja el hecho de que la concentración en tiempo frecuencia y la no-redundancia, son esencialmente incompatibles.
En esta charla miraremos sistemas de Gabor, que son espacios generados por una función \(f\) de \(L^2(\mathbb R)\), junto con sus traslaciones y modulaciones en un reticulado.
Mostraremos, que si existe un elemento \((a,b)\) fuera del reticulado tal que \(e^{2\pi i ax}f(x-b)\) están en el espacio generado por \(f\), entonces \(f\) no puede ser una función "buena".
Expositor: Diana Carbajal.
Abstract:
En la charla anterior discutimos sobre la importancia de tener bases ortonormales de exponenciales \(\{e^{2\pi i \lambda t}\}_{\lambda \in
\Lambda}\) en \(L^2(\Omega)\), \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), para resolver el problema del muestreo. También vimos que no todo conjunto \(\Omega\subset \mathbb{R}^d\) admite una de estas bases.
Cuando uno no puede hallar una base ortonormal de exponenciales, la segunda mejor opción son las bases de Riesz de exponenciales. Si bien la existencia de bases de Riesz de exponenciales se pudo demostrar para algunos casos, este es un problema que en la actualidad se mantiene abierto para muchos conjuntos. Kozma y Nitzan en el 2015 demostraron que sobre conjuntos formados por uniones finitas de intervalos de la recta es posible encontrar bases de Riesz de exponenciales. La intención de esta charla es comentar los pasos necesarios para llegar a este resultado.
Expositor: Diana Carbajal.
Abstract:
El teorema clásico del muestreo nos dice que si tenemos una función \(f\) en \(L^2(\mathbb{R})\) cuya transformada de Fourier tiene soporte dentro del intervalo \([-1/2,1/2]\), entonces es posible reconstruir dicha función con sólo conocer sus muestras sobre los enteros. (i.e. a partir de \(\{ f(k) : k \in \mathbb{Z} \})\). Esta propiedad es una consecuencia del hecho de que el sistema de exponenciales con frecuencias enteras \(\{ e^{2\pi ikt} \}\) es una base ortonormal de \(L^2[-1/2,1/2]\).
Este teorema se puede generalizar reemplazando el intervalo \([-1/2,1/2]\) por un conjunto \(\Omega\) en \(\mathbb{R}^d\) siempre que \(L^2(\Omega)\) admita una base ortonormal de exponenciales
\(\{ e^{2\pi i\lambda t}\}\) con frecuencias en un conjunto discreto \(\Lambda\).
Desafortunadamente, no todos los conjuntos admiten una base ortonormal de estas características y probar la existencia de estas bases ortonormales de exponenciales no es sencillo.
Fuglede en 1974 conjeturó que si Ω es un subconjunto de \(\mathbb{R}^d\) entonces \(L^2(\Omega)\) admite una base ortonormal de exponenciales si y sólo si \(\Omega\) tesela por traslaciones a \(\mathbb{R}^d\) sin solapamientos. Esta conjetura es falsa en ambas direcciones cuando \(d\ge 3\) y se mantiene abierta para las dimensiones uno y dos. Sin embargo, si uno pide que el conjunto de traslaciones y las frecuencias de la base ortonormal de \(L^2(\Omega)\) sean un retículo, se puede probar que la conjetura es cierta. En esta charla daremos la demostración de este resultado.
Expositor: Elona Agora.
Abstract: En esta charla presentaremos dos problemas conocidos que tratan la acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood, \(M\), sobre espacios con pesos. Concretamente hablaremos de:
El objetivo de esta charla consiste en unificar estos problemas a través de la caracterización de la acotación de \(M\) sobre los espacios de Lorentz \(\Lambda_p(u,w)\), los cuales contienen como casos particulares a los espacios \(L_p(u)\) (cuando \(w=1\)) y los espacios \(\Lambda_p(w)\) (cuando \(u=1\)). Esta charla está basada en trabajos conjuntos con J. Antezana, M.J. Carro y J. Soria.
Expositor: José Luis Romero (Universidad de Viena).
Abstract: Un sistema de Gabor es una colección de funciones producida trasladando y modulando una función dada. Estas familias de funciones se usan como diccionarios para representar una función arbitraria como superposición de funciones con una forma sencilla. Estudiamos qué clases de deformaciones de los ingredientes preservan las propiedades de diccionario de un sistema de Gabor. (Trabajo conjunto con Karlheinz Groechenig y Joaquim Ortega-Cerda).
Expositor: Pablo Shmerkin (Universidad Torcuato di Tella).
Expositor: Jorge Antezana (Universidad de La Plata).
Expositor: Jorge Antezana (Universidad de La Plata).
Expositor: Sigrid Heineken (Universidad de Buenos Aires).
Expositor: Carolina Mosquera (Universidad de Buenos Aires).
Expositor: Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires).
Expositor: Ursula Molter (Universidad de Buenos Aires).
Expositor: Carlos Cabrelli (Universidad de Buenos Aires).
Expositor: Ville Suomala (University of Oulu, Finland).
Abstract: We apply methods from Branching processes (Galton-Watson processes and Galton-Watson trees) to study geometric properties of a class of random fractals. In particular, we study the Hausdorff dimension of the exceptional sets for porosities for the fractal percolation limit sets. This is joint work with Changhao Chen, Eino Rossi, and Tuomo Ojala.
Expositor: Carlos Cabrelli (Universidad de Buenos Aires).
Abstract: Transformaciones que preservan medida: recurrencia y ergodicidad. Ejemplos.
Expositor: Pablo Shmerkin (Universidad Torcuato di Tella).
Abstract: Introduciremos algunos conceptos fundamentales (transformaciones que preservan medida, ergodicidad, isomorfismo) y daremos ejemplos y construcciones básicas.
Expositor: Ezequiel Rela (Universidad de Buenos Aires).
Abstract: Presentaremos un enfoque general para probar la optimalidad en desigualdades con pesos. Mostraremos que si un operador satisface una cota del tipo \(\|T\|_{L^{p}(w)}\le c\, [w]^{\beta}_{A_p}\) para pesos \(w \in A_{ p}\) entonces la cota inferior óptima para \(\beta\) está estrechamente relacionada con el comportamiento asintótico de la norma \(L^p\) sin pesos \(\|T\|_{L^p}\) cuando \(p\) tiende a 1 y a \(+\infty\). Combinando estos resultados con las desigualdades conocidas, derivamos la optimalidad de los exponentes, sin necesidad de construir ejemplos específicos. Esto lo hacemos para una amplia clase de operadores que incluye operadores de tipo maximal, operadores de de Calderón-Zygmund e integrales fraccionarias. En particular, obtenemos una cota inferior para el mejor exponente posible para una desigualdad con pesos para multiplicadores de Bochner-Riesz. Además podemos considerar de manera unificada operadores maximales definidos sobre clases generales de bases de Muckenhoupt. Este es un trabajo que fue realizado en conjunto con Teresa Luque y Carlos Pérez Moreno en la Universidad de Sevilla.
Expositor: Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires).
Abstract: Para \(X\) un espacio de medida sigma finito, vamos a estudiar subespacios cerrados de \(L^2(X)\) que son invariantes por una representación unitaria asociada a la acción de un grupo \(\Gamma\) en \(X\). Como caso particular de estos espacios, tenemos a los invariantes por traslaciones. Pero vamos a ver que nuestro contexto incluye otro tipo de representaciones que son habitualmente usadas en el área. Vamos a dar una descripción de estos nuevos espacios invariantes en termino de funciones rango utilizando como herramienta fundamental una Transformada de Zak Generalizada. A partir de esto, veremos como caracterizar bases de Riesz y frames en estos espacios.