Teoría Geométrica de Grupos -- 2do Cuatrimestre 2021



Profesor: Gabriel Minian


Carreras: Licenciatura en Matemática y Doctorado en Matemática.

Puntaje: 4 puntos (licenciatura y doctorado).

Correlatividades: Topología.


Horarios y organización

Las clases serán teórico-prácticas y se dictarán los

Lunes y Jueves de 11 a 13 hs.

Habrá además una hora extra para consultas de ejercicios.

Más información y material relacionado se puede encontrar en la página del campus

Descripción general de la materia

La teoría geométrica de grupos surgió esencialmente a partir de los trabajos de Gromov sobre grupos hiperbólicos a fines de los 80, que enriquecieron, aportando una mirada geométrica, a la teoría combinatoria de grupos estudiada desde principios del siglo XX. La TGG estudia la relación entre las propiedades algebraicas y geométricas de los grupos y es actualmente un área de investigación muy vigente, con aplicaciones en distintas áreas de la matemática.

En el curso veremos los resultados y ejemplos fundamentales de esta área y estudiaremos y discutiremos algunos de los problemas (varios de ellos aún abiertos) más conocidos.

Se planea un curso bien dinámico. Mezclaremos clases teóricas con resoluciones de ejercicios y discusiones de problemas (algunos relacionados con otras áreas de la matemática).

La aprobación de los trabajos prácticos es por medio de entrega de ejercicios. El final consistirá de una exposición de un tema a elección.

Prácticas

Práctica Uno

Programa tentativo


1-Espacios métricos geodésicos. Ángulos y longitudes de curvas. Espacios de longitud. Teorema de Hopf-Rinow. Grafos métricos. Grafos de Cayley y complejos de Cayley. Acciones de grupos por isometrías. Acciones geométricas. Quasi-isometrías. Lema de Milnor-Svarc. Presentaciones de grupos a partir de acciones. Crecimiento y rigidez. Grupos de crecimiento polinomial.

2- Espacios de curvatura acotada. Espacios CAT(k) y Grupos CAT(k). Relación con la curvatura en variedades riemannianas. Teorema de Cartan-Hadamard para espacios de curvatura no-positiva. Poliedros métricos con celdas de curvatura constante. Poliedros de curvatura acotada. Condición del link de Gromov. Poliedros métricos de dimensión 2. Grupos CAT(0) a partir de complejos cubulados.

3- Areas y desigualdades isoperimétricas. Funciones de Dehn y funciones de filling. Diagramas de van Kampen. La geometría del problema de la palabra y del problema de conjugación.

4- Espacios métricos hiperbólicos y grupos hiperbólicos. Triángulos delgados y triángulos flacos. Producto de Gromov y la condición de los 4 puntos. Hiperbolicidad en términos de funciones de Dehn lineales. Divergencias de geodésicas. La frontera de Gromov. Problemas de la palabra y conjugación en grupos hiperbólicos. Complejo de Rips y propiedades cohomológicas. Subgrupos de grupos hiperbólicos.

5- Estudio de las clases de grupos más relevantes en el área y problemas abiertos: grupos de Baumslag-Solitar, grupos de Artin y de Coxeter, grupos de small-cancellation, grupos con una relación, grupos de Bestvina-Brady.

Bibliografía:


i) N. Brady, T. Riley, H. Short (Eds) The geometry of the word problem for finitely generated groups. Birkhauser Verlag. 2007.

ii) M. Bridson. The geometry of the word problem. Invitations to geometry and topology (Bridson and Salamon, eds.) Oxford University Press, 2002.

iii) M. Bridson and A. Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Springer Verlag, 1999.

iv) D. Burago, Y. Burago and S. Ivanov. A course in metric geometry. Graduate studies in Math, 33 AMS, 2001.

v) E. Ghys, A. Haefliger, A, Verhisvsjy (Eds.) Group theory from a geometrical viewpoint. Word Scientific, 1991.

vi) M. Gromov. Hyperbolic groups. Essays in Group Theory. Springer Verlag 1987.

vii) C. Löh. Geometric group theory- An introduction. Universitext, Springer 2017.


Consultas, dudas y sugerencias: escribir a gminian@dm.uba.ar