Departamento de Matemática- FCEyN Universidad de Buenos Aires

Reuniones Año 2020

Fecha: Jueves 12/3.
Expositor: Ximena Fernández.
Título: Homología Persistente para el Análisis de Datos

Abstract: El Análisis Topológico de Datos (TDA) consiste de técnicas topológicas para analizar la 'forma' de un conjunto de datos, con aplicaciones a distintos problemas en biología, medicina, física y otras áreas. A partir de una muestra de puntos de un espacio topológico cuya estructura es desconocida, el objetivo es inferir propiedades geométricas del espacio al cual pertenecen los puntos (o datos). Uno de los métodos más desarrollados en TDA es la Homología Persistente, que reconstruye la homología del espacio subyacente mediante una filtración de complejos simpliciales construidos a partir de la nube de puntos. En particular, recupera propiedades geométricas como componentes conexas (o clusters) y ciclos.

La idea de persistencia homológica tiene sus orígenes en los 90's en trabajos de Frosini y Rossi, pero es recién a partir del 2001, con los trabajos de Zomorodian y Edelsbrunner, que es formalizada y luego convertida en una herramienta algorítmica para hacer cálculos computacionales.

En estas dos charlas presentaremos las bases teóricas de Homología Persistente, así como también aplicaciones a distintos problemas. La primera charla estará dedicada a describir la intuición del problema, el algoritmo de Homología Persistente y la teoría subyacente. Asímismo mostraré las implementaciones existentes y un ejemplo de uso en Python. La segunda charla estará enfocada en mostrar ejemplos más complejos de aplicaciones en distintas áreas, como topología de sistemas dinámicos caóticos, clasificación de proteínas y otros. La idea será reproducir el trabajo de distintos artículos en Notebooks de Python con datasets reales.

Las charlas serán bastante autocontenidas.

Fecha: Jueves 20/8 .
Expositor: Ximena Fernández.
Título: Homología Persistente para el Análisis de Datos II

Abstract: El Análisis Topológico de Datos (TDA) consiste de técnicas topológicas para analizar la geometría de un conjunto de datos, con aplicaciones a problemas de distintas áreas, como biología, medicina y física. A partir de una muestra de puntos de un espacio topológico cuya estructura es desconocida, el objetivo es inferir propiedades geométricas del espacio al cual pertenecen los puntos (o datos). Uno de los métodos más desarrollados en TDA es la Homología Persistente, que reconstruye la homología del espacio subyacente mediante una filtración de complejos simpliciales construidos a partir de la nube de puntos. En particular, recupera propiedades geométricas como componentes conexas (o clusters) y ciclos.

En esta charla voy a repasar las bases teóricas de la teoría de Homología Persistente, así como también voy a mostrar una aplicación a distintos problemas de clasificación de estructuras de proteínas. La idea será reproducir el trabajo de los artículos [1, 2] en Notebooks de Python con datasets concretos extraídos de PDB (Protein Data Bank).

La charla será autocontenida.

[1] Cang, Z., Mu, L., Wu, K., et al. A topological approach for protein classification. Computational and Mathematical Biophysics, 3(1). (2015)
[2] Kovacev-Nikolic V, Bubenik P, Nikolic D, Heo G. Using persistent homology and dynamical distances to analyze protein binding. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology, 15(1). (2016)

Fecha: Jueves 27/8 .
Expositor: Kevin Piterman.
Título: Un método lineal para la simulación de estructuras alternativas en proteínas

Abstract: Conocer la estructura tridimensional de una proteína es muy importante para conocer tanto su función como su filogenia. Las proteínas son una de las cuatro macromoléculas presentes en casi cualquier organismo viviente, y son las responsables del mantenimiento y funcionalidad de las células. Un problema de gran interés en bioinformática es poder decidir qué estructuras tridimensionales diferentes puede llegar a tener una misma proteína. En una instancia más avanzada, esto nos permitiría conocer cuán posible es realizar una determinada mutación en la proteína (es decir, intercambiar un aminoácido por otro). Recordemos que los aminoácidos son las unidades que conforman a una proteína, y existen 20 distintos. Ciertas mutaciones nos permiten "modificar" la funcionalidad de la proteína, sin realizar cambios estructurales muy significativos.

En esta charla, comentaré sobre un algoritmo lineal que desarrollamos. Dada una proteína y cierto aminoácido de interés en la misma, el algoritmo busca posiciones alternativas para los 3 aminoácidos consecutivos con centro el aminoácido dado. La forma de buscar estas posiciones es mediante un sorteo aleatorio de algunos ángulos de Ramachandran (que son ángulos que codifican cómo se pega un aminoácido con el siguiente) y movimientos rígidos de álgebra lineal. A su vez, realizamos restricciones geométricas y físico-químicas básicas para obtener configuraciones que sean posibles (a grandes rasgos, que no se solapen los átomos). Contaré también cómo planeamos seguir con el desarrollo de este algoritmo para que en un futuro pueda arrojar resultados más precisos y en última instancia, decidir sobre posibles mutaciones. Este es un trabajo en colaboración con Lara Falcucci.

Fecha: Jueves 3/9 .
Expositor: Martin Blufstein.
Título: Teoría de Small cancellation generalizada y grupos de Artin

Abstract: Los problemas de la palabra y de la conjugación fueron introducidos por M. Dehn en 1911. Estos consisten en poder decidir, dada una presentación P de un grupo G, cuándo dos elementos, expresados como productos de los generadores de P o sus inversos, son iguales o conjugados en G. Dehn propuso un algoritmo que resuelve estos problemas para los grupos fundamentales de superficies orientables de género mayor o igual a 2. Dicho algoritmo se basa en que en las presentaciones clásicas de estos grupos las cancelaciones que pueden hacerse entre sus relaciones son pequeñas con respecto a la longitud de las mismas. Posteriormente esta idea fue abstraída a lo que se conoce como grupos small cancellation.

Estos problemas se estudian geométricamente mediante diagramas combinatorios sobre las presentaciones. Por ejemplo se tiene la función de Dehn, que acota de manera óptima el área de los diagramas en términos de su perímetro. Los grupos small cancellation tienen en su mayoría funciones de Dehn cuadráticas o lineales (es decir que el área de los diagramas está acotada cuadrática o linealmente por su perímetro). Tener función de Dehn lineal equivale a ser hiperbólico y eso implica tener el problema de conjugación (y por lo tanto también el de la palabra) resuelto. Tener una Dehn cuadrática implica tener resuelto el problema de la palabra y, bajo ciertas condiciones extras puede implicar conjugación.

En esta charla comenzaré repasando los conceptos, resultados y ejemplos básicos de la teoría de small cancellation clásica y luego contaré algunos resultados que hemos obtenido recientemente en colaboración con Gabriel Minian e Iván Sadofschi Costa, sobre una nueva condición métrica que generaliza las condiciones clásicas. Esta nueva condición tiene la ventaja de ser la primera en aplicarse a grupos de Artin, y caracteriza a aquellos de dimensión cohomológica dos.

Fecha: Jueves 10/9 .
Expositor: Iván Sadofschi Costa
Título: Acciones de A5 en 2-complejos contráctiles

Abstract: Casacuberta y Dicks [2] formularon la siguiente conjetura que en forma de pregunta aparece también en el trabajo de Aschbacher-Segev [1].

Conjetura: Toda acción de un grupo finito G en un 2-complejo finito y contráctil tiene un punto fijo.

Esta conjetura es el análogo natural en dimensión 2 del célebre resultado de Serre: toda acción de un grupo finito en un árbol tiene un punto fijo. En [3] Oliver y Segev dan una clasificación completa de los grupos que pueden actuar sin puntos fijos en un 2-complejo acíclico finito. Antes de dicho artículo solamente se conocían acciones de A5 en 2-complejos acíclicos sin puntos fijos. La conjetura de Casacuberta-Dicks permanecía abierta incluso para A5.

En esta charla contaré un resultado muy reciente: toda acción de A5 en un 2-complejo finito y contráctil tiene un punto fijo.

[1] Michael Aschbacher and Yoav Segev. A fixed point theorem for groups acting on finite 2-dimensional acyclic simplicial complexes. Proc. London Math. Soc., 1993.
[2] Carles Casacuberta and Warren Dicks. On finite groups acting on acyclic complexes of dimension two. Publicacions Matemàtiques, 1992.
[3] Bob Oliver and Yoav Segev. Fixed point free actions on Z-acyclic 2-complexes. Acta Math., 2002.

Fecha: Jueves 17/9 .
Expositor: Kevin Piterman
Título: El anillo de Burnside para el estudio de puntos fijos en G-espacios

Abstract: El anillo de Burnside de un grupo (finito) G está generado por las clases de equivalencia de los G-conjuntos. El producto está dado por el producto cartesiano y la suma por la unión disjunta. Equivalentemente, se lo puede pensar como las clases de equivalencia de los G-complejos, módulo la relación que identifica dos G-complejos que poseen la "misma" estructura de puntos fijos. En esta charla, comentaré algunas propiedades y resultados sobre el anillo de Burnside y cómo puede ser utilizado para el estudio de puntos fijos. Por ejemplo, la conjetura de Casacuberta-Dicks afirma que un G-complejo contráctil de dimensión 2 posee un punto fijo. Una demostración para el caso G resoluble de esta conjetura se puede dar en términos del teorema de Dress que afirma que en tal caso, 0 y 1 son los únicos idempotentes de este anillo. También veremos cómo a partir del anillo de Burnside podemos estudiar ciertos módulos de permutación en el anillo de representaciones de G (también conocido como anillo de Green), donde es posible establecer una variante más general del teorema de Lefschetz clásico. Finalmente, veremos la relación entre la conjetura de Quillen, que afirma que si el complejo de p-subgrupos de G es contráctil entonces tiene un punto fijo, y los invariantes asociados al complejo de p-subgrupos en estos anillos. Comentaré también algunos resultados parciales obtenidos en esta dirección.

Fecha: Jueves 8/10.
Expositor: Jonathan Barmak
Título: Conjuntos parcialmente ordenados finitos con grupo de automorfismos dado

Abstract: En un artículo de 1946 en la revista de la UMA, Garrett Birkhoff probó que todo grupo finito G es el grupo de automorfismos de un poset P. Más aún, si G tiene orden n, P se puede tomar con n(n+1) puntos. Frucht mejoró la construcción de Birkhoff y probó que P se puede tomar con n^2 puntos. Más tarde pudo probar que n(d+2) puntos eran suficientes si G admite un conjunto de d generadores. Paralelamente se probaron resultados similares para grafos, y después de varios refinamientos Babai logró eliminar el parámetro d de la cota y demostró que salvo tres excepciones, todo grupo G de orden n es el grupo de automorfismos de un grafo con 2n puntos. Usando otros resultados sobre grafos se puede ver que hay un poset con 587n puntos y grupo de automorfismos G. En esta charla voy a contar cómo, tomando ideas de Babai, se puede probar que todo grupo G de orden n es grupo de automorfismos de un poset con 4n puntos.

Fecha: Jueves 19/11 .
Expositor: Kevin Piterman
Título: Eliminación de componentes para la conjetura de Quillen.

Abstract: En esta charla contaré unos resultados obtenidos recientemente en colaboración con Stephen D. Smith sobre la conjetura de Quillen. Si G es un grupo finito y p es un primo que divide a su orden, consideramos el poset de p-subgrupos elementales abelianos no triviales Ap(G). Podemos estudiar las propiedades topológicas de este poset a partir de su order complex. En este sentido, Quillen conjeturó que si Ap(G) es contráctil, entonces G posee un p-subgrupo normal no trivial. Esta conjetura permanece abierta y el avance más importante hasta el momento se debe a Aschbacher-Smith.

A partir de métodos homológicos con sucesiones de Mayer-Vietoris, veremos cómo podemos propagar homología desde los subposets Ap(L), con L una componente de G, a todo el poset Ap(G). Recordemos que una componente de G es un subgrupo L subnormal y quasisimple (o sea L es perfecto y L/Z(L) es simple). Esto nos permitirá obtener restricciones en la estructura interna de todas las componentes del grupo. En particular, veremos que si G es un contraejemplo minimal a la conjetura entonces induce automorfismos externos de orden p en todas sus componentes. Por ejemplo, si p es impar, G no puede tener componentes esporádicas ni alternas, dado que sus automorfismos externos son de orden 2. Mostraré también cómo en algunos casos particulares donde sí tenemos automorfismos externos de orden p también podemos eliminar la componente con estos métodos.

Fecha: Lunes 21/12 .
Expositor: Ximena Fernandez
Título: Aprendizaje de variedades para el análisis topológico de datos.

Abstract: En esta charla, abordamos el problema de inferir información sobre un objeto geométrico partir de una muestra finita con distribución desconocida. Concretamente, dada una variedad cerrada suave y una función de densidad que genera la muestra, consideramos una distancia intrínseca (llamada distancia de Fermat) que combina al mismo tiempo información de su geometría y de la densidad. Construimos un estimador de esa distancia que es computable a partir de la muestra y probamos que ese espacio métrico muestral es un buen estimador de la variedad (en el sentido de Gromov-Hausdorff). Finalmente, presentamos algunas consecuencias de este resultado en el Análisis Topológico de Datos, y mostramos aplicaciones de esta técnica en ejemplos de datos sintéticos y reales. La charla será autocontenida.