Departamento de Matemática- FCEyN Universidad de Buenos Aires

Reuniones Año 2018

Reuniones 2018

Fecha: Martes 20/3.
Expositor: Dante Grevino.
Título: Variedades riemannianas: curvatura y topología
Abstract: Repasaremos primero las nociones básicas necesarias para hacer geometría sobre una variedad riemanniana; entre ellas, métricas, conexiones, conexión riemanniana y geodésicas. Luego repasaremos las nociones necesarias asociadas con el concepto de curvatura y sus interpretaciones geométricas; entre ellas, el tensor de curvatura, curvatura gaussiana de una superficie y curvatura seccional. Finalmente, hablaremos de los teoremas fundamentales que relacionan la curvatura con la topología; entre ellos, el teorema de Cartan-Hadamard (de naturaleza local-global) acerca de variedades de curvatura no positiva, y el teorema de caracterización de variedades riemannianas completas simplemente conexas de curvatura constante. Este último teorema nos dice que, para cada número real k y para cada número natural n, hay una única n-variedad riemanniana completa simplemente conexa de curvatura seccional constante k: una esfera si la curvatura es positiva, el espacio euclídeo si es nula o el espacio hiperbólico (salvo rescalar la métrica) si es negativa. De estas tres geometrías (esférica, euclídea e hiperbólica) la más importante, y quizás la menos familiar, es la última. Dedicaremos la segunda charla del seminario a la geometría hiperbólica.

Fecha: Martes 27/3.
Expositor: Dante Grevino.
Título: Variedades riemannianas: curvatura y topología - Segunda parte
Abstract: En esta charla veremos los teoremas fundamentales que relacionan la curvatura con la topología, entre ellos el teorema de Cartan-Hadamard. Presentaremos algunos modelos del espacio hiperbólico y discutiremos bajo qué condiciones una variedad admite una estructura hiperbólica.

Fecha: Martes 3/4.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Espacios métricos geodésicos y grupos de isometrías
Abstract: El estudio de los espacios métricos con curvatura acotada y de los grupos que actuan en ellos por isometrías comenzó con los trabajos de Alexandrov en la década del 50, pero cobró impulso en los años 80 especialmente a partir de los trabajos de M. Gromov. En las últimas tres décadas la teoría de espacios métricos con curvatura no-positiva, espacios hiperbólicos y grupos hiperbólicos ha jugado un rol fundamental tanto en el estudio de variedades como en el de grupos (desde un punto de vista geométrico). En esta charla veremos las definiciones, herramientas y resultados básicos que se necesitan para comenzar a abordar la teoría de espacios con curvatura acotada. Comenzaremos estudiando a los espacios métricos geodésicos y las acciones de grupos en dichos espacios por isometrías. Probaremos una generalización del teorema de Hopf-Rinow para variedades y estudiaremos el lema de Milnor-Svarc, que afirma que si un grupo G actua geométricamente sobre un espacio geodésico X, entonces es quasi-isométrico a X.

Fecha: Martes 10/4.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Espacios métricos geodésicos y grupos de isometrías - Parte II
Abstract: En esta segunda charla veremos el teorema de Hopf-Rinow que afirma que un espacio con métrica de longitud, completo y localmente compacto es geodésico. Luego estudiaremos los grupos de isometrías de los espacios geodésicos y las acciones geométricas de grupos. Finalmente veremos el lema de Milnor-Svarc que afirma que si un grupo G actua geométricamente sobre un espacio geodésico X, entonces es quasi-isométrico a X. Este resultado fundamental es utilizado para investigar propiedades algebraicas de los grupos a partir de sus propiedades geométricas.

Fecha: Martes 17/4.
Expositor: Eugenio Borghini.
Título: Espacios métricos de curvatura acotada
Abstract: En los años '50, Alexandroff definió qué significa que un espacio métrico geodésico tenga curvatura acotada por un número real k en términos de cierta desigualdad sobre sus triángulos geodésicos (para una variedad riemanniana completa, esta noción es equivalente a tener curvatura seccional acotada por k). Esta formulación hizo posible aplicar variantes de resultados clásicos sobre variedades riemannianas con curvatura no positiva a espacios más generales (el ejemplo más prominente es el estudio de grupos finitamente presentados a través de su grafo de Cayley). En este charla veremos propiedades básicas de la teoría de curvatura y mostraremos una versión del teorema de Cartan-Hadamard en este contexto, que implica que el revestimiento universal de un espacio métrico geodésico con curvatura no positiva es contráctil. Finalmente, daremos algunas consecuencias de este teorema sobre el grupo fundamental de un espacio métrico de curvatura no positiva.

Fecha: Martes 24/4.
Expositor: Eugenio Borghini.
Título: Grupos de isometría de espacios CAT(0)
Abstract: Como consecuencia del teorema de Cartan-Hadamard, el tipo homotópico de un espacio métrico de curvatura no positiva está completamente determinado por su grupo fundamental. A su vez, este grupo actúa por isometrías (como transformaciones deck) sobre un espacio CAT(0). Esto motiva el estudio de grupos de isometría de espacios CAT(0) con el objetivo de entender cómo la estructura de estos grupos afecta la geometría de los espacios. En esta charla empezaremos con algunas propiedades básicas de la estructura de las isometrías de espacios CAT(0), veremos un resultado que relaciona la descomposición como producto directo de un grupo que actúa por isometrías en un espacio CAT(0) con la descomposición como producto del espacio y finalmente, si alcanza el tiempo, discutiremos el Flat Torus Theorem, que muestra cómo incide en la estructura de un espacio CAT(0) admitir una acción por isometrías de un grupo abeliano libre de rango finito.

Fecha: Martes 8/5.
Expositor: Dante Grevino.
Título: Grupos hiperbólicos 1
Abstract: La teoría geométrica de grupos esencialmente estudia familias de grupos definidas a partir de propiedades geométricas. En el caso de los grupos hiperbólicos, introducidos por Gromov a fines de los años 80, la propiedad que los define es que los triángulos geodésicos de sus grafos de Cayley son, en algún sentido, delgados. Daremos algunas de las maneras equivalentes de formalizar esta idea. La hiperbolicidad tiene consecuencias algebraicas fuertes sobre el grupo dado. Por ejemplo, a partir de sus propiedades geométricas se puede probar que estos grupos admiten una presentación de Dehn (una presentación finita que conlleva un algoritmo que resuelve el problema de la palabra). De hecho, la propiedad de admitir tal presentación es equivalente a la hiperbolicidad. Veremos las ideas básicas utilizadas en este resultado. A diferencia de la propiedad de que un grupo sea CAT(k), cuya definición involucra una acción geométrica del grupo en un espacio métrico con curvatura acotada, la propiedad de ser hiperbólico es invariante por quasi-isometrías. Discutiremos la relación entre los grupos hiperbólicos y los grupos CAT(0) y CAT(k) con k negativo. Finalmente veremos que un grupo hiperbólico no puede tener al grupo abeliano libre de rango 2 entre sus subgrupos. Daremos las ideas principales de la demostración, la cual está basada en la prueba del teorema de Preissman, un resultado similar al caso del grupo fundamental de una variedad compacta de curvatura negativa, y cuya adaptación requiere trabajar con quasi-geodésicas en lugar de geodésicas.

Fecha: Martes 22/5.
Expositor: Dante Grevino.
Título: Grupos hiperbólicos 2
Abstract: Comenzaremos la charla estudiando desigualdades isoperimétricas. En contraste con el plano euclídeo, que satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática, el plano hiperbólico satisface una desigualdad isoperimétrica lineal. Más precisamente, existe una constante positiva C tal que todo lazo de longitud L rodea una región de área a lo sumo CL. Veremos que un grupo es hiperbólico si y solo si sus grafos de Cayley satisfacen una desigualdad isoperimétrica lineal. Esto requiere de una definición apropiada de área para espacios métricos geodésicos. Luego nos ocuparemos de la construcción del complejo de Rips, que es un complejo simplicial finito-dimensional, contráctil y localmente finito sobre el cual el grupo hiperbólico dado actúa de forma apropiada. En el caso en el que el grupo no tenga torsión, el cociente del complejo por la acción resulta ser un espacio de Eilenberg-MacLane finito y esto tiene consecuencias sobre la cohomología del grupo. Por ejemplo, debe tener dimensión cohomológica finita. Para finalizar, si queda tiempo daremos la definición y algunas aplicaciones del borde de Gromov de un grupo hiperbólico.

Fecha: Martes 5/6.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: Tests de curvatura para grupos y presentaciones
Abstract: En esta charla vamos a estudiar la noción de curvatura para 2-complejos y presentaciones de grupos. Veremos un análogo combinatorio del teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la curvatura de un complejo con su característica de Euler y estudiaremos diversos tests de curvatura (introducidos por Gersten, Wise y Huck y Rosebrock), que nos permitirán investigar propiedades algebraicas de grupos y propiedades topológicas de 2-complejos a partir de la curvatura de las presentaciones. A partir de estos tests podremos concluir cuándo ciertos grupos son localmente indicables, coherentes, e hipebólicos y cuándo los 2-complejos asociados a las presentaciones son asféricos.

Fecha: Martes 26/6 12.30hs.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Poliedros métricos de curvatura acotada, la condición del link de Gromov y aplicaciones
Abstract: Veremos algunos de los resultados fundamentales de la teoría de poliedros métricos, que esencialmente son espacios que se obtienen pegando, por medio de isometrías, celdas moldeadas en una geometría con curvatura k fija (euclideana, esférica o hiperbólica) a través de sus caras. Las métricas de las celdas inducen una pseudométrica en el poliedro, que bajo ciertas hipótesis resulta un espacio métrico completo y geodésico. Un teorema fundamental de Gromov afirma que esos poliedros tienen curvatura acotada (por k) si y sólo si los links geométricos de los vértices, que resultan poliedros métricos esféricos, son espacios CAT(1) (actualmente a esto se lo conoce como "condición del link de Gromov"). En el caso de que las celdas sean cúbicas, otro teorema de Gromov traduce la condición del link en términos puramente combinatorios. Estos resultados fueron utilizado en los útlimos 30 años para estudiar problemas de grupos con métodos geométricos (por ejemplo los resultados de Bestvina y Brady sobre cohomología de grupos y condiciones de finitud) y también problemas de variedades (por ejemplo en el estudio de la conjetura de Hopf sobre el signo de la característica de Euler de variedades de dimensión par con curvatura no positiva o en la demostración de una conjetura de Thuston sobre el grupo fundamental de variedades de dimensión 3 que admiten una triangulación especial). Veremos en la charla algunas aplicaciones al estudio de presentaciones de grupos y 2-complejos y la relación con los tests de curvatura.

Fecha: Martes 3/7.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Sobre la conjetura de Andrews-Curtis
Abstract: La conjetura de Andrews-Curtis afirma que dos presentaciones del grupo trivial con n generadores y n relaciones deben estar conectadas por medio de ciertos movimientos: transformaciones de Nielsen y conjugaciones de las relaciones. En esta charla voy a contar un resultado reciente relacionado con este problema abierto.

Fecha: Martes 17/7.
Expositor: Ryan Blair.
Título: Distortion and the bridge distance of knots
Abstract: In the 1980s, M. Gromov introduced the notion of distortion to study embeddings of spheres into Euclidean space. Roughly speaking, the distortion of an embedding measures the difference between the extrinsic and intrinsic geometries of that embedding. In 1983, Gromov famously asked if all ambient isotopy classes of knots in 3-space have a representative with distortion less than 100. In 2011, J. Pardon answered this question in the negative by giving a lower bound on distortion in terms of the representativity of a knot. In this talk, we will give an overview of these results and the necessary background. Additionally, we will present a new negative answer to Gromov's question by constructing a lower bound on distortion in terms of the bridge distance of a knot.

Fecha: Lunes 13/8.
Expositor: Djordje Baralic.
Título: Universal simplicial complexes and discrete Morse theory in toric topology
Abstract: We will give a brief review of discrete Morse theory before we proceed to its application that the universal simplicial complexes from toric topology and the links of their simplicies are homotopy equivalent to a wedge of spheres. Simplices of the universal simplicial complexes are certain unimodular subsets of k^n where k is the field F_p or the ring Z. In the second part we study applications of these complexes in toric topology, combinatorics and number theory.

Fecha: Lunes 3/9.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Un teorema de punto fijo para funciones multivaluadas entre espacios finitos
Abstract: Una función multivaluada de X en Y es simplemente una función F de X en el conjunto PY de partes de Y. Si F:X->PX, un punto x en X se dice punto fijo de F si x está en F(x). Hay resultados conocidos sobre existencia de puntos fijos para funciones multivaluadas en Teoría de Juegos/Economía, Sistemas Dinámicos, Ecuaciones Diferenciales y Física. Las funciones multivaluadas entre espacios finitos surgen naturalmente al intentar discretizar (espacialmente) un sistema dinámico discreto (discreto en el tiempo). En esta charla hablaré sobre un trabajo reciente en colaboración con M. Mrozek y T. Wanner en el que probamos una versión del Teorema de Lefschetz para funciones multivaluadas en espacios finitos.

Fecha: Lunes 10/9
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Proporción sistólica de variedades riemannianas y poliedros métricos y área sistólica de grupos
Abstract: La sístole de una variedad riemanniana cerrada (M,g) (o más generalmente, de un poliedro compacto con una métrica riemanniana a trozos) con grupo fundamental no trivial, es el ínfimo de las longitudes de las curvas no contráctiles en M (este ínfimo en realidad es un mínimo que se alcanza en una geodésica). En los años 80 Gromov estudió una desigualdad isosistólica que relaciona la sístole de la variedad (o del poliedro métrico) con su volumen. Previamente a los trabajos de Gromov, Loewner y Pu habían estudiado la proporción sistólica para métricas en el toro y en el plano proyectivo. Para el caso de dimensión 2, se tiene la noción de área sistólica, que es el inverso de la proporción sistólica. En el año 96 Gromov extiende el estudio de área sistólica a los grupos finitamente generados. El área sistólica de un grupo G es el ínfimo de las áreas sistólicas de los 2-complejos compactos con métricas planas con grupo fundamental G. Más recientemente, a lo largo de una serie de trabajos, Katz, Rudyak y Sabourau mejoraron notablemente las cotas conocidas para proporciones y áreas sistólicas de poliedros métricos y grupos, combinando herramientas más o menos básicas de topología algebraica con la fórmula de coárea y el estudio de grafos de Reeb de funciones distancia. En esta charla contaré algunos de estos resultados y veremos algunas de las herramientas que se utilizan para probarlos.

Fecha: Lunes 17/9
Expositor: Eugenio Borghini.
Título: Área sistólica de grupos y complejidad simplicial.
Abstract: El área sistólica de un poliedro compacto X de dimensión 2 con métrica riemanniana a trozos es el cociente del área de X por (el cuadrado de) su sístole. A partir de este concepto, Gromov definió un nuevo invariante para un grupo finitamente presentado G como el ínfimo de las áreas sistólicas de poliedros compactos de dimensión 2 con grupo fundamental isomorfo a G. En un artículo reciente, Babenko et al. dieron una aproximación combinatoria (llamada complejidad simplicial) para el área sistólica de un grupo G en términos de la cantidad de 2-símplices necesarios para armar un complejo simplicial de dimensión 2 con grupo fundamental G. En la primera parte de la charla probaremos el resultado principal de ese artículo, que afirma que el comportamiento asintótico del área sistólica y el de la complejidad simplicial de grupos es casi el mismo. En la segunda parte veremos un resultado que hemos obtenido recientemente, del cual se desprende el cálculo exacto de la complejidad simplicial para los grupos fundamentales de superficies y una estimación para una clase más general de grupos.

Fecha: Lunes 3/12
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Subgrupos de grupos hiperbólicos.
Abstract: La teoría geométrica de grupos surge en los años 80 especialmente a partir del trabajo fundacional de M. Gromov sobre grupos hiperbólicos. Esencialmente la teoría geométrica de grupos estudia propiedades algebraicas a partir de propiedades (y técnicas) geométricas. Existen varias definiciones equivalentes de grupos hiperbólicos: en término de sus presentaciones (son los grupos que admiten una presentación finita con una desigualdad isoperimétrica lineal), en término de las propiedades geométricas de las variedades riemannianas que los tienen como grupo fundamental, en término de las propiedades métricas de sus grafos de Cayley, etc. Es sabido que los subgrupos de grupos hiperbólicos no son en general hiperbólicos: basta considerar cualquier subgrupo que no sea finitamente generado del grupo libre en 2 generadores. El primer ejemplo de un subgrupo finitamente generado y no hiperbólico de un grupo hiperbólico lo dio Rips. Varios años más tarde, Brady construyó un ejemplo de un subgrupo finitamente presentado y no hiperbólico de un grupo hiperbólico. En la primera mitad de la charla voy a recordar las nociones básicas de grupos hiperbólicos y contar las construcciones de Rips y Brady sobre subgrupos no hiperbólicos de grupos hiperbólicos. En la segunda mitad vamos a ver algunas nociones geométricas y cohomológicas que garantizan hiperbolicidad de los subgrupos.