Departamento de Matemática- FCEyN Universidad de Buenos Aires

Reuniones Año 2017

Reuniones 2017

Fecha: Lunes 6/2.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Teoría de Morse lineal a trozos de Bestvina-Brady y aplicaciones
Abstract: A fines de los años 90 Bestvina y Brady introdujeron una teoría de Morse para poliedros, análoga a la teoría de Morse clásica para variedades diferenciables. Bestvina y Brady utlizaron los resultados de su teoría junto con resultados de Gromov de geometría hiperbólica para estudiar propiedades cohomológicas de ciertos grupos (que actualmente son denominados grupos de Bestvina-Brady). En esta charla veremos los fundamentos, resultados básicos y ejemplos de la teoría de Morse poliedral de Betsvina-Brady. Compararemos las construcciones con las construcciones clásicas para variedades y veremos dos aplicaciones de esta teoría: estudiaremos la topología del complejo de geodésicas entre dos vértices de una grilla rectangular y veremos una demostración, debida a Bux, de la conjetura de Webb sobre el espacio de órbitas de los complejos de p-subgrupos de un grupo finito.

Fecha: Lunes 13/2.
Expositor: Eugenio Borghini.
Título: Propiedades de finitud de los grupos de Bestvina-Brady
Abstract: En esta charla discutiremos el teorema principal de un artículo muy reconocido de Bestvina y Brady del año 97, que relaciona propiedades topológicas de un complejo simplicial con propiedades de finitud de cierto grupo que se construye a partir de él. Las herramientas principales utilizadas para probar este teorema son la teoría de Morse poliedral y algunos resultados de geometría hiperbólica.

Fecha: Miércoles 8/3.
Expositor: Iván Sadofschi Costa.
Título: El complejo de factores libres de un grupo libre
Abstract: El complejo de factores libres FC_n es el complejo simplicial asociado al poset de factores libres propios del grupo libre de rango n (el orden viene dado por la inclusión). Hatcher y Vogtmann probaron un resultado análogo al teorema de Solomon-Tits: el tipo homotópico de FC_n es el de un wedge de esferas de dimensión n-2. En esta charla veremos las ideas de la demostración de este resultado.

Fecha: Jueves 23/3.
Expositor: Iván Sadofschi Costa.
Título: El complejo de factores libres de un grupo libre- Parte 2
Abstract: El complejo de factores libres FCn es el complejo simplicial asociado al poset de factores libres propios del grupo libre de rango n (el orden viene dado por la inclusión). En esta charla veremos algunos resultados sobre sistemas de esferas que completan la exposición de la demostración del resultado de Hatcher y Vogtmann que dice que FCn tiene el tipo homotópico de un wedge de (n-2)-esferas. A pesar de ser una segunda parte, esta charla será autocontenida.

Fecha: Jueves 30/3.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: La sucesión espectral de Serre y los grupos de homotopía de las esferas
Abstract: Esta es la primera de una serie de tres charlas en donde estudiaremos los resultados de Serre sobre sucesiones espectrales asociadas a una fibración y las aplicaciones al cálculo de los grupos de homotopía de las esferas. Comenzaré esta primera charla presentando las nociones y resultados básicos necesarios para entender el teorema de Serre sobre sucesiones espectrales de una fibración. Como primer ejemplo de aplicación de la sucesión de Serre, calcularemos la homología de ciertos espacios de Eilenberg MacLane. En las charlas siguientes estudiaremos las clases de Serre, el teorema de Hurewicz generalizado y las aplicaciones al cálculo de los grupos de homotopía de esferas.

Fecha: Miércoles 5/4.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: La sucesión espectral de Serre y los grupos de homotopía de las esferas- Parte 2
Abstract: Esta es la segunda de una serie de tres charlas en donde estudiaremos los resultados de Serre sobre sucesiones espectrales asociadas a una fibración y las aplicaciones al cálculo de los grupos de homotopía de las esferas. En esta charla veremos varias aplicaciones de la sucesión espectral de Serre, estudiaremos las Clases de Serre de grupos abelianos y una generalización del teorema de Hurewicz.

Fecha: Miércoles 12/4.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: La sucesión espectral de Serre y los grupos de homotopía de las esferas- Parte 3
Abstract: Esta es la tercera (y última) de una serie de tres charlas en donde estudiaremos los resultados de Serre sobre sucesiones espectrales asociadas a una fibración y las aplicaciones al cálculo de los grupos de homotopía de las esferas. En esta charla veremos propiedades de los grupos de homotopía de las esferas y calcularemos explícitamente algunos de ellos, utilizando la sucesión espectral cohomológica de Serre y el teorema de Hurewicz-Serre.

Fecha: Jueves 27/4.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: El problema del hombre y el león
Abstract: Un hombre y un león se mueven en un espacio X. El objetivo del león es capturar al hombre, el objetivo del hombre es escapar. Quién tiene estrategia ganadora? La versión más conocida de este problema es cuando X es un círculo y ambos jugadores se mueven con igual velocidad máxima. Hace unos pocos años, Bollobás y otros consideraron el caso de espacios métricos en general. En esta charla veremos qué ocurre al remover la restricción en la velocidad. Esto permite abandonar por completo la métrica y estudiar persecuciones en espacios topológicos arbitrarios. Esta charla será completamente elemental, no usaremos más que nociones de topología general.

Fecha: Miércoles 10/5.
Expositor: Kevin Piterman.
Título: Fusión de grupos finitos y p-completación de espacios topológicos
Abstract: Para entender la estructura global de un grupo finito, muchas veces es conveniente estudiar sus propiedades locales. Entre ellas, esta el estudio de la estructura p-local del grupo que viene determinada por la fusión ("conjugación") entre sus p-subgrupos. Del lado de la topología, podemos estudiar al grupo via su espacio clasificante, y acá también tenemos una noción de estructura p-local que viene dada por la p-completación del espacio. La idea de la p-completación de un espacio es retener en otro espacio (el p-completado) las propiedades "módulo p" esenciales, entre ellas la homología con coeficientes en Fp. En esta charla daremos una introducción a estos temas y veremos que ambas nociones, algebraica y topológica, describen lo mismo para el caso de un grupo finito y su espacio clasificante.

Fecha: Jueves 1/6.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: El Teorema A de Quillen, el cilindro de una función y el cilindro de una relación.
Abstract: El Teorema A, probado por Quillen a principios de la década del 70, da condiciones suficientes para que un functor entre categorías induzca una equivalencia homotópica entre sus espacios clasificantes. Este teorema resultó muy relevante para el desarrollo de varias aplicaciones en topología, álgebra , K-teoría y geometría combinatoria. En el contexto particular de los posets, el Teorema A coincide con un resultado previo de McCord sobre espacios finitos. Hace unos pocos años Barmak exhibió una demostración alternativa y sencilla del Teorema A (y algunas variaciones de ese resultado) para el caso particular de los posets, utilizando la construcción del cilindro no-Hausdorff de una función. En la primera parte de esta charla contaré las ideas necesarias para entender el Teorema A (en sus distintas versiones) y la construcción del cilindro no-Hausdorff de una función. Luego discutiremos unos resultados que hemos obtenido recientemente, en colaboración con Ximena Fernández, sobre el cilindro de una relación. El cilindro de una relación generaliza la construcción del cilindro de una función y sirve, entre otras cosas, para atacar problemas de 3-deformaciones de poliedros. Finalmente mostraré cómo se pueden aplicar estos nuevos resultados para estudiar la conjetura de Andrews-Curtis desde un enfoque novedoso.

Fecha: Jueves 8/6.
Expositor: Iván Sadofschi Costa.
Título: El método de Alexander.
Abstract: En esta charla veremos algunos resultados básicos sobre el Mapping class group de una superficie S. Estudiaremos el método de Alexander que permite en ciertos casos decidir si dos homeomorfismos inducen el mismo elemento en el mapping class group de S.

Fecha: Miércoles 23/8 .
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Complejidad topológica para planes de movimiento.
Abstract: Dados dos puntos cualesquiera x,y en un espacio X, queremos construir un camino de x a y de modo tal que pequeñas perturbaciones en los puntos inicial y final produzcan pequeñas perturbaciones en el camino asociado. Esto sólo puede conseguirse si X es contráctil. La cantidad mínima de abiertos necesaria para cubrir XxX de modo tal que en cada uno se pueda definir la asignación de caminos de forma continua, se llama la complejidad de X. Este es un invariante homotópico definido por Farber en 2001, relacionado con la categoría de Lusternik-Schnirelmann y con potenciales aplicaciones a búqueda de algoritmos para movimiento de robots. En esta charla estudiaremos cotas básicas de la complejidad y la calcularemos en ejemplos concretos.

Fecha: Viernes 15/9 .
Expositor: Eugenio Borghini .
Título: Un teorema de finitud para espacios métricos.
Abstract: Los teoremas de finitud aseguran que una clase de espacios que cumple ciertas condiciones geométricas contiene a lo sumo finitos tipos (de homeomorfismo, de difeomorfismo, etc.). En esta charla expondremos un resultado de P. Petersen V [1] que afirma que dos espacios en la clase de espacios métricos de dimensión topológica <= n que satisfacen cierta condición de n-conexión local son homotópicamente equivalentes si están suficientemente cerca en el sentido de la métrica de Hausdorff-Gromov. En particular, un conjunto precompacto para esta métrica sólo puede contener finitos tipos homotópicos distintos.
[1] P. Petersen V, A finiteness theorem for metric spaces, J. Differential Geom. 31 (1990), 387- 395.

Fecha: Miércoles 4/10 .
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Cuándo invierte equivalencias débiles [-,X]? .
Abstract: Es sabido que si X es un CW-complejo, entonces [X,-] invierte equivalencias débiles: es decir que para toda equivalencia débil f:A →B, la función [X,A]→[X,B] inducida en clases de homotopía es una biyección. En la otra dirección, para qué espacios X, el funtor [-,X] invierte equivalencias débiles? Esta pregunta fue originalmente formulada por J. Strom. T. Goodwillie probó que un tal espacio debe ser conexo y si es T1, entonces cada componente arcoconexa es contráctil. En esta charla contaré los resultados de un trabajo reciente en donde damos la caracterización completa.

Fecha: Miércoles 11/10 .
Expositor: Iván Sadofschi.
Título: El complejo de bases parciales de un grupo libre.
Abstract: Una base parcial de un grupo libre F es un subconjunto de una base de F. Notamos PB(Fn) al complejo simplicial que tiene como símplices las bases parciales no vacías de Fn. En esta charla veremos que PB(Fn) tiene el tipo homotópico de un wedge de esferas de dimensión n-1. Más aún, veremos que es Cohen-Macaulay.

Fecha: Miércoles 1/11 .
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Triangulaciones mínimas de superficies y nervios de buenos cubrimientos.
Abstract: Es sabido que toda superficie se puede triangular. Incluso ya en el siglo XIX se conocía una triangulación mínima del toro (es decir, con la mínima cantidad de vértices, o equivalentemente, mínima cantidad de triángulos) con 7 vértices y la triangulación mínima del plano proyectivo con 6 vértices. En la década del 50 G. Ringel exhibió las triangulaciones mínimas de las superficies cerradas no orientables y a principio de los 80 Jungerman y Ringel encontraron las triangulaciones mínimas de las superficies cerradas orientables. Recientemente Karoubi y Weibel introdujeron la noción de "covering type" de un espacio X, ct(X). El covering type de un espacio se define mediante nervios de cubrimientos "buenos" del espacio, pero no es difícil ver que esta noción coincide con la minima cantidad de vértices que admite un complejo simplicial homotópicamente equivalente a X. Por lo tanto, para cualquier superficie S se tiene que ct(S) es menor o igual que la cantidad de vértices de una triangulación mínima de S (que denotamos d(S)). Karoubi y Weibel encuentran una cota inferior para ct(S) usando la cohomología de la superficie. En el caso de la esfera, el toro y el plano proyectivo esta cota coincide con d(S), por lo que, en esos casos, vale ct(S)=d(S). No se sabe si esta igualdad vale para toda superficie. En esta charla contaré algunos de estos resultados y veremos cómo se pueden mejorar algunas de las cotas conocidas para ct(S) en el caso orientable.

Fecha: Miércoles 15/11 .
Expositor: Kevin Piterman.
Título: Fusión en grupos y una reformulación de una conjetura de Webb.
Abstract: En 1987, P. Webb conjeturó que el espacio de órbitas |K(Sp(G))|/G es contráctil, donde K(Sp(G)) es el complejo simplicial asociado al poset de los p-subgrupos no triviales de un grupo finito G y la acción de G es la conjugación. En 1996. P. Symonds probó la validez de esta conjetura utilizando cierto subcomplejo G-invariante y G-homotópicamente equivalente a |K(Sp(G))| cuyo espacio de órbitas es simplemente conexo y acíclico. Más adelante aparecieron otras demostraciones de este resultado que utilizan diferentes herramientas topológicas, geométricas y algebraicas, como la de KU. Bux mediante teoría de Morse, o la más reciente de A. Libman, que generaliza el resultado para espacios de órbitas que surgen de ciertas categorías de fusión de p-grupos. En términos de espacios finitos, la conjetura de Webb se puede reformular diciendo que Ap(G)'/G es homotópicamente trivial, donde Ap(G)'/G es el poset de órbitas del poset de cadenas de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de G. En todos los ejemplos testeados, este espacio resulta además contráctil, que en el contexto de espacios finitos es estrictamente más fuerte que ser homotópicamente trivial. Esto hace pensar que en realidad podría valer una versión más fuerte de la conjetura de Webb: Ap(G)'/G es contráctil. En esta charla utilizaremos herramientas básicas de fusión de grupos finitos junto con otras técnicas algebraicas y combinatorias para encarar este problema desde un nuevo punto de vista. Mostraremos primero que el poset Ap(G)/G es contráctil y veremos algunos casos particulares donde Ap(G)'/G es contráctil.