Departamento de Matemática- FCEyN
Universidad de Buenos Aires
Seminario de Topología
Este Seminario es organizado por el Grupo de Topología Algebraica del Departamento de Matemática de la FCEyN-UBA y se desarrolla en forma regular desde hace varios años. Actualmente
está coordinado por Jonathan Barmak y Gabriel Minian.
Reuniones Año 2016
Reuniones 2016
Fecha: Miércoles 6/4. Expositor: Jonathan Barmak. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 1) Abstract:
En las próximas semanas las charlas del seminario estarán dedicadas a estudiar grupos ordenables a izquierda (LO). Seguiremos esencialmente la exposición del libro Ordered groups and topology de Adam Clay y Dale Rolfsen.
Un grupo LO es un grupo que admite un orden total que se preserva por multiplicación a izquierda. Los grupos LO juegan un papel importante en el estudio de asfericidad de complejos de dimensión dos y surgen naturalmente al investigar foliaciones de variedades de dimensión tres. Todo grupo LO es sin torsión. La recíproca es falsa. Los grupos LO numerables son exactamente los subgrupos del grupo de homeomorfismos de R que respetan el orden. Muchos grupos conocidos, como grupos de trenzas, grupos fundamentales de nudos y de superficies son LO. Las primeras charlas serán autocontenidas, pasando por ideas algebraicas elementales, combinatorias, geométricas y de topología general.
En esta primera charla veremos parte de los resultados del capítulo 1 del libro. El conjunto de órdenes a izquierda de un grupo G puede interpretarse como un subespacio del conjunto de partes de G. Usaremos esto para dar caracterizaciones elementales de los grupos LO y para establecer una conexión con los llamados grupos localmente indicables, tan importantes en el estudio de asfericidad. A modo de ejemplo, probaremos que la Zero-divisor conjecture de Kaplansky es verdadera para grupos LO.
Fecha: Miércoles 13/4. Expositor: Iván Sadofschi. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 2) Abstract:
En esta segunda charla estudiaremos grupos ordenados arquimedianos y grupos ordenados numerables. Probaremos un resultado de Hölder que afirma que los grupos ordenados a izquierda arquimedianos son los subgrupos del grupo (R,+) con el orden usual. En el camino probaremos que un tal grupo es biordenable y abeliano. Luego probaremos que un grupo biordenable es localmente indicable. Al hacer esto deberemos estudiar los subgrupos convexos de un grupo ordenado a izquierda. Finalmente probaremos que un grupo contable G es ordenable a izquierda si y solamente si es un subgrupo de Homeo+(R).
Fecha: Miércoles 20/4. Expositor: Eugenio Borghini. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 3) Abstract:
En esta charla probaremos que los grupos libres y los grupos fundamentales de casi todas las superficies (las excepciones son la botella de Klein y el plano proyectivo) son bi-ordenables. También daremos una caracterización de los poliedros cuyo grupo fundamental es ordenable a izquierda en términos de propiedades topológicas de su revestimiento universal.
Fecha: Miércoles 27/4. Expositor: Gabriel Minian. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 4) Grupos de nudos y 3-variedades Abstract:
En esta charla probaremos que los grupos de nudos (es decir el grupo fundamental del complemento del nudo en la esfera S^3 o en R^3) son localmente indicables. Veremos también una generalización de este resultado para el grupo fundamental de cierta clase de variedades de dimensión 3. Empezaremos repasando las nociones básicas sobre nudos y el cálculo de su grupo fundamental, luego veremos algunos resultados sobre variedades de dimensión 3 que necesitaremos para probar los resultados mencionados arriba.
Para entender la charla no es necesario haber participado de las charlas anteriores, se repasarán al comienzo brevemente las nociones básicas sobre grupos ordenables y grupos localmente indicables que se utilizarán en la charla.
Fecha: Miércoles 11/5. Expositor: Manuela Cerdeiro. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 5) Grupos localmente indicables y asfericidad. Abstract:
En esta charla veremos algunos resultados de J. Howie sobre la relación entre grupos localmente indicables y presentaciones asféricas. Una presentación finita de un grupo se dice asférica si su 2-complejo asociado es asférico (es decir que sus grupos de homotopía superior son triviales). Uno de los resultados que probaremos es que si el grupo presentado es localmente indicable y el segundo grupo de homología es trivial entonces la presentación es asférica. También veremos que los grupos sin torsión que admiten presentaciones con una sola relación son localmente indicables. Luego estudiaremos una generalización de los grupos de nudos que son los llamados complejos LOT (labeled oriented trees), que surgen del estudio de los complementos de ribbon discs. En 1957 se probó que los complementos de nudos son asféricos. El problema más general sobre asfericidad de complejos LOT todavía está abierto. Hablaremos de algunas construcciones relacionadas con este problema.
Fecha: Miércoles 18/5. Expositor: Leandro Vendramin. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 6) El grupo de trenzas. Abstract:
En esta charla estudiaremos la ordenabilidad del grupo de trenzas. Demostraremos que el grupo de trenzas B_n no es biordenable, y que B_n es localmente indicable si y sólo si n<5. Finalmente estudiaremos la ordenabilidad a izquierda (orden de Dehornoy).
Fecha: Miércoles 1/6. Expositor: Kevin Piterman. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 7) El espacio de órdenes de un grupo. Abstract:
El espacio de órdenes LO(G) de un grupo G consiste de todos los conjuntos que son conos positivos. Cuando LO(G) es no vacío (es decir, cuando G admite un orden a izquierda) tiene sentido estudiar las propiedades topológicas de este espacio, con la topología inducida por P(G), el conjunto de partes de G. Un teorema de Brouwer nos dice que un espacio compacto Hausdorff sin puntos aislados y con una base numerable de conjuntos clopen es homeomorfo al conjunto de Cantor. Por ejemplo, veremos que LO(Z^n) no posee puntos aislados y que por lo tanto es homeomorfo al conjunto de Cantor. Analizaremos también el espacio LO(G) para G un grupo de trenzas o el grupo de trenzas infinito. Una herramienta fundamental para estos análisis es la acción de Aut(G) sobre LO(G), la cual nos permitirá probar, por ejemplo, que los órdenes son no aislados. Finalmente, como aplicación de la compacidad de estos espacios, veremos que LO(G) no puede ser infinito-numerable.
Fecha: Miércoles 8/6. Expositor: Gabriel Minian. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 8) Órdenes conradian e indicabilidad local. Abstract:
Un orden conradian en un grupo G es un tipo especial de orden a izquierda (esta noción está relacionada con la Arquimedeanidad de ciertos cocientes de subgrupos de G). El objetivo principal de esta charla es probar que un grupo G es localmente indicable si y sólo si admite un orden conradian. Este resultado fue probado originalmente por Brodskii en los 80. Daremos acá una demostración alternativa perteneciente a Clay y Rolfsen.
Fecha: Miércoles 15/6. Expositor: Jonathan Barmak. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 9) Grupos de homeomorfismos de discos. Abstract:
El grupo de homeomorfismos de un disco de dimensión n no es ordenable a izquierda porque tiene elementos de torsión. Si nos restringimos a homeomorfismos que fijan todos los puntos del borde, el grupo resultante sí es libre de torsión, pero no se sabe si es ordenable a izquierda o no. En esta charla veremos que si consideramos sólo homeomorfismos lineales a trozos, el grupo sí es ordenable. Más aún, es localmente indicable. Este resultado fue probado por Calegari y Rolfsen en 2014. Veremos, sin embargo, que este grupo no es biordenable.
Fecha: Miércoles 22/6. Expositor: Leandro Vendramin. Título: Grupos ordenables a izquierda (charla 10) Grupos de Garside (no) ordenables. Abstract:
En esta charla estudiaremos la ordenabilidad de ciertos grupos de Garside que aparecen en el estudio combinatorio de la ecuación de Yang-Baxter.
Fecha: Viernes 19/8. Expositor: Gabriel Minian. Título: Ecuaciones sobre grupos y reducibilidad diagramatica - Parte 1 . Abstract:
La conjetura de Kervaire-Laudenbach afirma que toda ecuacion no singular (de una variable) sobre un grupo G tiene solucion en un grupo H que contiene a G como subgrupo. A lo largo de las ultimas decadas se probo la validez de la conjetura para extensas familias de grupos (aunque la conjetura sigue abierta en general). En los años 80 Howie generalizo esta conjetura a un sistema (no singular) de varias ecuaciones con varias variables y probo que la conjetura generalizada es verdadera para grupos localmente indicables. Unos años mas tarde, en una serie de 4 trabajos, Gersten probo, utilizando herramientas de topologia algebraica y teoria de homotopia de complejos de dimension 2, que si el sistema de ecuaciones es modelado por una presentacion que es DR (diagramaticamente reducible), entonces para todo grupo G existe una extension donde el sistema tiene solucion. Gersten introdujo tambien un test (weight test) que da condiciones suficientes para que una presentacion sea DR. El weight test se basa esencialmente en la version combinatoria del teorema de Gauss-Bonnet.
En una serie de dos charlas veremos los resultados de Gersten mencionados arriba y tambien mostraremos varios ejemplos y aplicaciones de esos resultados.
Fecha: Viernes 26/8. Expositor: Gabriel Minian. Título: Ecuaciones sobre grupos y reducibilidad diagramatica - Parte 2 . Abstract:
La conjetura de Kervaire-Laudenbach afirma que toda ecuacion no singular (de una variable) sobre un grupo G tiene solucion en un grupo H que contiene a G como subgrupo. A lo largo de las ultimas decadas se probo la validez de la conjetura para extensas familias de grupos (aunque la conjetura sigue abierta en general). En los años 80 Howie generalizo esta conjetura a un sistema (no singular) de varias ecuaciones con varias variables y probo que la conjetura generalizada es verdadera para grupos localmente indicables. Unos años mas tarde, en una serie de 4 trabajos, Gersten probo, utilizando herramientas de topologia algebraica y teoria de homotopia de complejos de dimension 2, que si el sistema de ecuaciones es modelado por una presentacion que es DR (diagramaticamente reducible), entonces para todo grupo G existe una extension donde el sistema tiene solucion. Gersten introdujo tambien un test (weight test) que da condiciones suficientes para que una presentacion sea DR. El weight test se basa esencialmente en la version combinatoria del teorema de Gauss-Bonnet.
En esta segunda charla contare primero las ideas que aparecen en la
demostracion del resultado principal de Gersten, luego analizaremos el
weight test y veremos algunos ejemplos y aplicaciones del mismo.
Fecha: Viernes 2/9. Expositor: Jonathan Barmak. Título: Un nuevo método para estudiar reducibilidad diagramática . Abstract:
Una presentación P de un grupo G es diagramáticamente reducible (DR) si todo teselado de la esfera por relaciones de P tiene dos celdas adyacentes reflejadas. Esta noción es importante en teoría de homotopía y en teoría de grupos: si P es DR, entonces es asférica, y, por otro lado, todo sistema de ecuaciones modelado por P sobre un grupo H, tiene solución en una extensión de H.
En esta charla voy a contar resultados de un trabajo en colaboración con Gabriel Minian en donde presentamos un nuevo test que garantiza reducibilidad diagramática para ciertas presentaciones de grupos indicables o que admiten morfismos no triviales a grupos ordenables a izquierda. Compararemos este test con el weight test de Gersten y lo utilizaremos para estudiar asfericidad de LOTs (grafos que modelan instancias clave de la conjetura de Whitehead). Veremos además relaciones con una conjetura de Ivanov y la conjetura de Kaplansky sobre divisores de cero de ZG.
Fecha: Viernes 16/9. Expositor: Jonathan Barmak. Título: Un nuevo método para estudiar reducibilidad diagramática (Segunda charla). Abstract:
En esta segunda charla veremos que el I-test garantiza reducibilidad diagramática de las presentaciones y lo compararemos con el weight test de Gersten y similares. Usaremos nuestro método para estudiar asfericidad de LOTs, generalizando resultados de Howie. Por otro lado veremos aplicaciones al estudio de una conjetura de Ivanov relacionada con la conjetura de divisores de cero de Kaplansky.
Fecha: Viernes 30/9. Expositor: Eugenio Borghini. Título: Cubrimientos colapsables de poliedros de dimensión 2 Abstract:
En esta charla esbozaremos una clasificación de los poliedros compactos de dimensión 2 de acuerdo a la menor cantidad de subpoliedros colapsables que los cubren. Veremos que este número sólo puede ser 1, 2 o 3. Mostraremos que los poliedros contráctiles que se cubren con dos subpoliedros se 3-deforman a un punto (es decir, cumplen la conjetura de Andrews-Curtis) y daremos condiciones topológicas y combinatorias bajo las cuales un poliedro no puede cubrirse con 2 subpoliedros colapsables. Por último estudiaremos la conexión entre estos cubrimientos y las presentaciones de grupos con una sola relación.
Fecha: Viernes 7/10. Expositor: Matias del Hoyo. Título: Dinámicas discretas y stacks Abstract:
Los stacks son espacios categorificados introducidos por A.
Grothendieck en geometría algebraica para estudiar cocientes
singulares. Los stacks en geometría diferencial están estrechamente
ligados con los grupoides de Lie, y estas teorías han recibido mucha
atención últimamente, con contribuciones destacadas de A. Weinstein y
otros. En esta charla discutiré un trabajo en colaboración con A.
Cabrera y E. Pujals, donde estudiamos acciones de grupos discretos
sobre variedades conexas a partir del stack cociente. Explicaré la
relación entre estas acciones y los revestimientos de stacks, y
comentaré la conexión con los trabajos de M. Rieffel y otros en
equivalencias Morita de C*-álgebras.
Fecha: Viernes 14/10. Expositor: Gabriel Minian. Título: Dimensión cohomológica y
dimensión geométrica de grupos- La conjetura de Eilenberg-Ganea Abstract:
La homología de un grupo G puede ser definida como la homología de
un espacio de Eilenberg MacLane K(G,1) (punto de vista topológico) o,
equivalentemente, utilizando resoluciones proyectivas de Z como ZG-módulo
(punto de vista algebraico). Siguiendo el punto de vista topológico, se
define la dimensión geométrica de G como la dimensión mínima que puede
tener un espacio K(G,1). La dimensión cohomológica de G (cd G) es el largo
mínimo de una resolución proyectiva de Z como ZG-módulo. No es difícil
comprobar que la dimensión cohomológica es menor o igual que la geométrica.
Por un resultado de Eilenberg y Ganea (para cd G mayor o igual que 3) y
resultados de Stallings y Swan (caso cd G= 1), se deduce que ambas
dimensiones coinciden salvo quizás en el caso cd G=2. Ese caso todavía no
se probó y se conoce como la Conjetura de Eilenberg-Ganea. Concretamente
esta conjetura afirma que si un grupo G tiene dimensión cohomológica 2,
entonces existe un CW-complejo asférico de dimensión 2 cuyo grupo
fundamental es G.
Comenzaré la charla haciendo una revisión de las definiciones y resultados
básicos de la teoría de cohomología de grupos desde el punto de vista
topológico y algebraico. Veremos el resultado de Eilenberg Ganea para cd G
mayor o igual a 3 y por último veremos una construcción, debida a
Bestvina-Brady, de un grupo que prueba que o la conjetura de
Eilenberg-Ganea es falsa o la conjetura de asfericidad de Whitehead lo es.
Fecha: Viernes 21/10. Expositor: Gabriel Minian. Título: Dimensión cohomológica y
dimensión geométrica de grupos- La conjetura de Eilenberg-Ganea (Segunda parte) Abstract:
La dimensión geométrica de un grupo G es la dimensión mínima que
puede tener un espacio de Eilenberg MacLane K(G,1). La dimensión
cohomológica de G (cd G) es el largo mínimo de una resolución proyectiva de
Z como ZG-módulo. No es difícil comprobar que la dimensión cohomológica es
menor o igual que la geométrica. Por un resultado de Eilenberg y Ganea
(para cd G mayor o igual que 3) y resultados de Stallings y Swan (caso cd
G= 1), se deduce que ambas dimensiones coinciden salvo quizás en el caso cd
G=2. Ese caso todavía no se probó y se conoce como la Conjetura de
Eilenberg-Ganea. Concretamente esta conjetura afirma que si un grupo G
tiene dimensión cohomológica 2, entonces existe un CW-complejo asférico de
dimensión 2 cuyo grupo fundamental es G.
En esta segunda charla veremos el resultado de Eilenberg-Ganea para cd G
mayor que 2 (construyendo un K(G,1) cuya dimension es igual a cd G) y
estudiaremos una construcción, debida a Bestvina-Brady, de un grupo que
prueba que o la conjetura de Eilenberg-Ganea es falsa o la conjetura de
asfericidad de Whitehead lo es.
Fecha: Viernes 28/10. Expositor: Kevin Piterman. Título: El tipo homotópico de los posets de p-subgrupos de un grupo finito Abstract:
Los posets Sp(G) y Ap(G), de p-subgrupos no triviales y p-subgrupos abelianos elementales de un grupo finito G, fueron introducidos por K. Brown y D. Quillen en la década del 70, para estudiar las conexiones entre sus propiedades topológicas y las propiedades algebraicas del grupo G. Una conjetura conocida de Quillen afirma que el complejo simplicial asociado a Sp(G) es contráctil si y sólo si G posee un p-subgrupo normal no trivial. En los últimos 40 años hubo un gran avance en el estudio de estos posets y en la conjetura de Quillen. Se destacan los trabajos de M. Aschbacher y S. D. Smith, basados esencialmente en la clasificación de los grupos finitos simples. En los años 80 R.E. Stong atacó el estudio de estos posets desde el punto de vista de los espacios finitos, este enfoque fue continuado por J. Barmak hace pocos años, quien reformuló la conjetura de Quillen utilizando homotopía simple de espacios finitos.
En esta charla voy a repasar algunos de los resultados y de las construcciones más relevantes relacionados con estos posets de p-subgrupos y contaré algunos resultados parciales que hemos obtenido recientemente utlilizando "contractibilidad en pasos" de espacios finitos, comparando la contractiblidad fuerte de Ap(G) con la de Sp(G).
Fecha: Viernes 25/11. Expositor: Eugenio Borghini. Título: Topología y geometría de espacios métricos con curvatura no positiva Abstract:
En esta charla veremos algunos de los resultados fundamentales de Gromov sobre espacios de curvatura no positiva. El teorema de Cartan-Hadamard (1928) afirma que las variedades riemannianas completas de curvatura no positiva tienen revestimiento universal contráctil. En los años 50 Alexandroff generalizó la noción de curvatura para espacios métricos geodésicos. A fines de los años 80 Gromov demostró el teorema de Cartan-Hadamard en este contexto y dio un criterio para detectar hiperbolicidad en poliedros cúbicos. Veremos en esta charla las nociones básicas de la teoría de curvatura, la desigualdad CAT(k), la generalización del teorema de Cartan-Hadamard y la construcción de Gromov de los complejos cúbicos con links flag.
Fecha: Lunes 5/12. Expositor: Eugenio Borghini. Título: Topología y geometría de espacios métricos con curvatura no positiva (Segunda Charla) Abstract:
En el encuentro anterior mostramos que los espacios métricos con curvatura no positiva admiten revestimiento universal contráctil (Cartan-Hadamard-Gromov). En esta charla describiremos ciertos complejos celulares (construidos a partir de celdas con geometría hiperbólica, euclídea o esférica) y daremos un criterio de Gromov para determinar de forma combinatoria si tienen curvatura no positiva. Finalmente, discutiremos algunas aplicaciones de la teoría; particularmente, la construcción de complejos asféricos de dimensión 2.
