Departamento de Matemática- FCEyN
Universidad de Buenos Aires


Seminario de Topología

Este Seminario es organizado por el Grupo de Topología Algebraica del Departamento de Matemática de la FCEyN-UBA y se desarrolla en forma regular desde hace varios años. Actualmente está coordinado por Jonathan Barmak y Gabriel Minian.

La próxima charla del Seminario será el jueves 10 de octubre a las 14hs (Aula de Seminarios del DM).



Reuniones Año 2019


Reuniones 2019

Fecha: Miércoles 13/3.
Expositor: Bob Oliver.
Título: The loop space homology of a small category
Abstract


Fecha: Jueves 28/3.
Expositor: Kevin Piterman.
Título: El grupo fundamental de los posets de p-subgrupos
Abstract: El poset Ap(G), de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de un grupo finito G (con p un primo que divide al orden de G), fue introducido por Quillen a fines de los 70. Quillen probó que el complejo simplicial asociado a este poset es homotópicamente equivalente al del poset Sp(G), de p-sugrupos no triviales de G. Una conjetura de Quillen (que aún está abierta) relaciona la contractibilidad de estos complejos con las propiedades algebraicas de G. En los años 90, Aschbacher comenzó con el estudio del grupo fundamental de los complejos de p-subgrupos. Aschbacher probó condiciones algebraicas necesarias y suficientes para que Ap(G) sea simplemente conexo, módulo una conjetura de la que actualmente hay muchas evidencias de ser cierta. Años más tarde, Ksontini, y luego Shareshian, probaron que si p es impar y n no es igual a 3p+1, el grupo fundamental de Ap(An) es libre (donde An el grupo alterno en n letras). No se sabe que sucede en el caso n=3p+1. En general, todas las evidencias apuntan a que el grupo fundamental de los complejos de p-subgrupos siempre es libre. Veremos en la charla, por ejemplo, que esto vale para grupos resolubles y, si asumimos la conjetura de Aschbacher, también para p-resolubles. Sin embargo recientemente hemos probado que para G=A10 (el grupo alterno en 10 letras) y p=3, el grupo fundamental no es libre. A10 es, de hecho, el grupo más chico que tiene un poset de p-subgrupos con grupo fundamental no libre. Este es el primer ejemplo que se conoce con esta propiedad. En la charla veremos además que, si asumimos la conjetura de Aschbacher, estas excepciones a ser libres surgen de los grupos simples. Concretamente, probaremos que pi1(Ap(G))=pi1(Ap(S_G))*F, con F un grupo libre y S_G = G/Op'(G). Más aún, pi1(Ap(S_G)) es libre salvo quizás si S_G es casi simple. Esto reduce esencialmente el estudio de los grupos fundamentales de los complejos de p-subgrupos a los grupos casi simples.


Fecha: Jueves 4/4.
Expositor: Hong Liu.
Título: Polynomial Schur's theorem
Abstract: I will discuss the Ramsey problem for {x,y,z:x+y=p(z)} for polynomials p over Z. This is joint work with Peter Pach and Csaba Sandor.


Fecha: Jueves 11/4.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: Grupos de Artin y una nueva noción de curvatura no positiva
Abstract: La teoría geométrica de grupos estudia propiedades algebraicas de los grupos finitamente presentados por medio de la geometría de los espacios en los que actúan. Entre los problemas que se estudian están el problema de la palabra y el problema de la conjugación. Una de las principales familias de grupos estudiada es la de los grupos de Artin, que generalizan a los grupos de trenzas. Hay en la actualidad muchas preguntas abiertas en relación a la geometría de estos grupos. Se sabe, desde hace unos 20 años, que una subfamilia de ellos, los RAAG (right-angled Artin groups) son grupos CAT(0) (es decir, actúan geométricamente en espacios CAT(0)), y de esto se deduce que admiten funciones de Dehn cuadráticas (y por lo tanto el problema de la palabra tiene solución) y tienen también problema de conjugación resoluble. Más aún, los RAAG tienen dimensión geométrica (y por lo tanto cohomológica) finita y, en particular, no tienen torsión. Recientemente J. Huang y D. Osajda introdujeron una nueva noción de curvatura no positiva (diferente a la noción de CAT(0)), que les permitió probar, entre otras cosas, que todos los grupos de Artin de dimensión 2 y todos sus subgrupos finitamente presentados admiten funciones de Dehn cuadráticas y por lo tanto, tienen el problema de la palabra resoluble, y además, tienen el problema de la conjugación resoluble. En esta charla expondremos las ideas principales detrás de los resultados mencionados (los previos y los más recientes). La charla será lo suficientemente autocontenida.


Fecha: Jueves 25/4.
Expositor: Iván Sadofschi Costa.
Título: La conjetura de Scott-Wiegold
Abstract: La conjetura de Scott-Wiegold, probada por James Howie, dice que el cociente (Zp*Zq*Zr)/ ≪ w ≫ de un producto libre de tres grupos cíclicos por una relación siempre es no trivial. En esta charla expondré la demostración de Howie, que consiste en construir representaciones no triviales usando un argumento de grado topológico.


Fecha: Jueves 16/5.
Expositor: David Mosquera Lois.
Título: Distancia homotópica entre espacios y aplicaciones
Abstract: Se definen dos nociones de distancia homotópica. La primera entre dos espacios topológicos X e Y , y la segunda entre dos aplicaciones f, g : X --> Y. Ambas nociones tratan de formalizar cuánto distan dos espacios, respectivamente dos aplicaciones, de ser homótopos, respectivamente homotópicas. A continuación se estudian algunas de sus propiedades y se las relaciona con invariantes topológicos clásicos tales como la categoría de Lusternik-Schnirelmann, la complejidad topológica y el género de Svarc.


Fecha: Jueves 23/5.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Winding numbers en teoría combinatoria de grupos
Abstract: Cuándo es un elemento del grupo libre F2=<x,y> un producto de k cuadrados, cuándo un producto de cubos. Todo conmutador es producto de 3 cuadrados, pero [x,y] no es producto de 2. Además de naturales, estas preguntas tienen relevancia por el problema de Burnside (abierto) para n=5: Es finito el grupo B(2,5)=<x,y | r^5=1 para todo r>?. Kostrikin probó que si [y[y[y[y[y[y,x]]]]]] no es producto de potencias 5tas, B(2,5) es infinito.

Este y otros problemas pueden atacarse por medio de un nuevo invariante. El winding invariant de un elemento w en F2' es un polinomio de Laurent en dos variables cuyos coeficientes son los winding numbers sobre ciertos puntos, de una curva en el plano construida a partir de w. En un trabajo reciente damos distintas aplicaciones de esta construcción a problemas de teoría de grupos, incluyendo ecuaciones sobre grupos libres y metabelian, propiedades residuales de one-relator groups y la conjetura de Andrews-Curtis.

En esta primera charla voy a presentar propiedades básicas del winding invariant, estudiaremos la estructura de conmutadores en F2 y caracterizaremos a los productos de cubos y otras potencias n-ésimas. Esta charla es elemental y autocontenida.


Fecha: Jueves 30/5.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Asfericidad y relation modules
Abstract: En esta segunda charla sobre el winding invariant, postergaremos nuevos resultados sobre productos de potencias para hablar de generalizaciones que involucran presentaciones asféricas. El winding invariant W asociado a una presentación P=<X | R> de un grupo G es simplemente la proyección del subgrupo normal N=N(R) en su abelianizado: el llamado relation module de P. Cuando P es asférica, N/N' es un ZG-módulo libre. Usaremos este invariante para estudiar propiedades residuales de 1-relator groups. Veremos que cuando el grafo de Cayley de P es planar, las ideas de winding numbers pueden usarse para dar una interpretación geométrica de W. Si el tiempo lo permite, recordaremos un ejemplo de Dunwoody donde falla el relation lifting de generadores del relation module, explicándolo desde la perspectiva del winding invariant.


Fecha: Jueves 6/6.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Verbal subgroups de grupos libres y free metabelian
Abstract: Una palabra u en las variables x1,...,xn determina para cada grupo G una función de G^n en G, conocida como el word map u. Los elementos en la imagen son los u-elements y el verbal subgroup u(G) es el generado por los u-elements. La u-length de un g en u(G) es la mínima cantidad de u-elements cuyo producto es g. Y la longitud de u(G) es el supremo de las u-lengths. Commutator y square length son ejemplos de este tipo. Un resultado muy general de Myasnikov y Nikolaev dice que en todo grupo hiperbólico (no virtualmente cíclico) si u(G) es propio, entonces tiene longitud infinita. Para el caso de los grupos finitos simples este Waring problem ha sido profundamente estudiado. Por ejemplo, la conjetura (probada) de Ore dice que en un grupo finito simple no abeliano, todo elemento es un conmutador. Es decir, para u=[x,y] la longitud de u(G)=G es 1. Una conjetura abierta de Shalev generaliza la de Ore tomando como u la segunda Engel word e2. En esta charla estudiaremos verbal subgroups cuando G es un grupo libre o un grupo free metabelian y cuando u es una potencia x^n o una Engel word. En particular veremos que e3 no es un producto de potencias cuartas en F2, intentando buscar una demostración de la infinitud del grupo de Burnside B(2,5). Esta es la tercera charla sobre el winding invariant.


Fecha: Martes 18/6.
Expositor: Marian Mrozek.
Título: On a discretization of Conley theory for flows in the setting of discrete Morse theory
Abstract: Conley theory studies qualitative features of dynamical systems by means of topological invariants of isolated invariant sets. Since the invariants are stable under perturbations and computable from a finite sample, they provide a tool for rigorous, qualitative numerical analysis of dynamical systems. In this talk, after a brief introduction to Conley theory, I will present its recent extension to combinatorial multivector fields, a generalization of the concept introduced by R. Forman in his discrete (combinatorial) Morse theory. I will also show some numerical examples indicating potential applications in the study of sampled dynamical systems.


Fecha: Jueves 11/7.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: Hiperbolicidad de grupos one-relator
Abstract: Los grupos one-relator son aquellos que admiten una presentación finita con una única relación. Como corolario inmediato de un resultado de los 60 de Newman, se deduce que todo one-relator con torsión (aquellos cuya relación es una potencia propia) es hiperbólico. Para los grupos one-relator sin torsión el problema está abierto. Se conjetura que un one-relator sin torsión es hiperbólico si y sólo si no posee un grupo de Baumslag-Solitar BS(m,n) como subgrupo. Existe una descripción completa de hiperbolicidad para algunas familias de one-relators, dada por Ivanov y Schupp. Otro resultado clásico (aplicable a cualquier presentación finita) es que si la presentación satisface la condición métrica de small cancellation C'(1/6), el grupo es hiperbólico. En esta charla repasaré algunos de estos resultados y contaré unos resultados que hemos obtenido recientemente que dan una condición métrica (más flexible que C'(1/6)) que, bajo ciertas hipótesis, garantiza hiperbolicidad.


Fecha: Jueves 8/8.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: El grupo de Grigorchuk
Abstract: El grupo de Grigorchuk fue introducido por R. Grigorchuk en la década del 80 y es el primer ejemplo en la literatura de un grupo con crecimiento intermedio (esto resolvió un problema formulado por Milnor en los 60 sobre la existencia de tales grupos). En la primera parte de la charla voy a contar la construcción y propiedades algebraicas básicas de este grupo. Veremos por ejemplo que es finitamente generado, infinito y todos sus elementos son de orden finito (de hecho es un 2-grupo). En la segunda mitad de la charla voy a recordar la noción (y algunas propiedades básicas) de tipo de crecimiento de grupos finitamente generados, y contar por qué este grupo tiene crecimiento intermedio.


Fecha: Jueves 29/8.
Expositor: Gabriel Minian.
Título: Ends de grupos finitamente generados
Abstract: El conjunto (espacio) de ends de un grupo finitamente generado se puede definir en términos geométricos, considerando las componentes conexas no acotadas que tiene su grafo de Cayley al sacarle una cantidad finita de aristas. Contaré en esta charla las definiciones y ejemplos básicos de ends, y algunos resultados de Hopf, Freudenthal y Stallings que caracterizan (algebraicamente) a los grupos finitamente generados según la cantidad de ends que tienen.


Fecha: Jueves 5/9.
Expositor: Kevin Piterman.
Título: La conjetura de Quillen
Abstract: Si G es un grupo finito y p es un primo que divide a su orden, denotamos por Ap(G) al poset de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de G y por K(Ap(G)) al complejo simplicial asociado. Muchas propiedades homotópicas de estos complejos se corresponden con propiedades algebraicas p-locales de los grupos. En esta dirección, Quillen observó que si G posee un p-subgrupo normal no trivial entonces K(Ap(G)) es contráctil, y conjeturó la recíproca. En esta charla voy a comentar algunos casos de la conjetura probados por Quillen y las ideas detrás del reconocido trabajo de Aschbacher y Smith de los años 90 que establece la conjetura para una clase muy amplia de grupos si p>5. También veremos algunos resultados obtenidos recientemente que prueban nuevos casos de la conjetura y extienden los resultados de Aschbacher y Smith para todo primo. Contaré un resultado obtenido en colaboración con I. Sadofschi Costa y A. Viruel que establece la conjetura si K(Ap(G)) tiene dimensión 2, y mostraré cómo extender este resultado a dimensión 3 combinando herramientas topológicas y combinatorias junto con la clasificación de grupos simples.


Fecha: Jueves 16/9.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: Introducción a la teoría de Bass-Serre
Abstract: La teoría de Bass-Serre estudia acciones de grupos en árboles. A partir de estas acciones se obtienen resultados sobre la estructura de los grupos, caracterizándolos como iteraciones de productos amalgamados y extensiones HNN. En la charla repasaremos estas nociones y daremos una introducción a la teoría, culminando con el teorema de estructura.


Fecha: Jueves 10/10.
Expositor: Eugenio Borghini.
Título: Una desigualdad sistólica para complejos riemannianos a trozos de dimensión 2
Abstract: El sístole sys(X) de un espacio métrico X es un invariante métrico que consiste en la mínima longitud de un lazo no contráctil en X. En 1949, Loewner descubrió una suerte de desigualdad isoperimétrica invertida que relaciona el área de un toro riemanniano T con el sístole. Concretamente, mostró que para cualquier métrica riemanniana g en T se tiene Area(T,g) >= C sys(T,g)^2 para cierta constante explícita C > 0. En 1983, Gromov dio una notable generalización de este fenómeno sistólico al mostrar que todo complejo X de dimensión n equipado con una métrica riemanniana a trozos y esencial (esta es una hipótesis puramente topológica) verifica una desigualdad de la forma Vol(X,g) >= C_n sys(X,g)^n para cierta constante C_n que depende solo de la dimensión n. Empleando de forma novedosa hipersuperficies minimales, Guth estableció en 2009 una desigualdad sistólica con una constante C_n más fina para variedades riemannianas de cup-length maximal. Más allá de la constante, la principal mejora de la desigualdad de Guth radica en que es local, en el sentido de que prueba que el volumen de cierta bola es grande en lugar del volumen de toda la variedad.

En esta charla, tras introducir los conceptos mencionados, veremos las ideas principales de la desigualdad sistólica de Guth, y presentaré una generalización que obtuve recientemiente para complejos de dimensión 2. Esta generalización permite mejorar las cotas previas conocidas del área sistólica de ciertas clases de grupos finitamente generados (entre ellos: los grupos abelianos libres, los grupos de superficies y la mayoría de los grupos de 3-variedades irreducibles).



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