Departamento de Matemática- FCEyN
Universidad de Buenos Aires


Seminario de Topología

Este Seminario es organizado por el Grupo de Topología Algebraica del Departamento de Matemática de la FCEyN-UBA y se desarrolla en forma regular desde hace varios años. Actualmente está coordinado por Jonathan Barmak y Gabriel Minian.

La próxima charla del Seminario será el jueves 23 de mayo a las 11 hs (Sala de Conferencias del DM).



Reuniones Año 2019


Reuniones 2019

Fecha: Miércoles 13/3.
Expositor: Bob Oliver.
Título: The loop space homology of a small category
Abstract


Fecha: Jueves 28/3.
Expositor: Kevin Piterman.
Título: El grupo fundamental de los posets de p-subgrupos
Abstract: El poset Ap(G), de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de un grupo finito G (con p un primo que divide al orden de G), fue introducido por Quillen a fines de los 70. Quillen probó que el complejo simplicial asociado a este poset es homotópicamente equivalente al del poset Sp(G), de p-sugrupos no triviales de G. Una conjetura de Quillen (que aún está abierta) relaciona la contractibilidad de estos complejos con las propiedades algebraicas de G. En los años 90, Aschbacher comenzó con el estudio del grupo fundamental de los complejos de p-subgrupos. Aschbacher probó condiciones algebraicas necesarias y suficientes para que Ap(G) sea simplemente conexo, módulo una conjetura de la que actualmente hay muchas evidencias de ser cierta. Años más tarde, Ksontini, y luego Shareshian, probaron que si p es impar y n no es igual a 3p+1, el grupo fundamental de Ap(An) es libre (donde An el grupo alterno en n letras). No se sabe que sucede en el caso n=3p+1. En general, todas las evidencias apuntan a que el grupo fundamental de los complejos de p-subgrupos siempre es libre. Veremos en la charla, por ejemplo, que esto vale para grupos resolubles y, si asumimos la conjetura de Aschbacher, también para p-resolubles. Sin embargo recientemente hemos probado que para G=A10 (el grupo alterno en 10 letras) y p=3, el grupo fundamental no es libre. A10 es, de hecho, el grupo más chico que tiene un poset de p-subgrupos con grupo fundamental no libre. Este es el primer ejemplo que se conoce con esta propiedad. En la charla veremos además que, si asumimos la conjetura de Aschbacher, estas excepciones a ser libres surgen de los grupos simples. Concretamente, probaremos que pi1(Ap(G))=pi1(Ap(S_G))*F, con F un grupo libre y S_G = G/Op'(G). Más aún, pi1(Ap(S_G)) es libre salvo quizás si S_G es casi simple. Esto reduce esencialmente el estudio de los grupos fundamentales de los complejos de p-subgrupos a los grupos casi simples.


Fecha: Jueves 4/4.
Expositor: Hong Liu.
Título: Polynomial Schur's theorem
Abstract: I will discuss the Ramsey problem for {x,y,z:x+y=p(z)} for polynomials p over Z. This is joint work with Peter Pach and Csaba Sandor.


Fecha: Jueves 11/4.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: Grupos de Artin y una nueva noción de curvatura no positiva
Abstract: La teoría geométrica de grupos estudia propiedades algebraicas de los grupos finitamente presentados por medio de la geometría de los espacios en los que actúan. Entre los problemas que se estudian están el problema de la palabra y el problema de la conjugación. Una de las principales familias de grupos estudiada es la de los grupos de Artin, que generalizan a los grupos de trenzas. Hay en la actualidad muchas preguntas abiertas en relación a la geometría de estos grupos. Se sabe, desde hace unos 20 años, que una subfamilia de ellos, los RAAG (right-angled Artin groups) son grupos CAT(0) (es decir, actúan geométricamente en espacios CAT(0)), y de esto se deduce que admiten funciones de Dehn cuadráticas (y por lo tanto el problema de la palabra tiene solución) y tienen también problema de conjugación resoluble. Más aún, los RAAG tienen dimensión geométrica (y por lo tanto cohomológica) finita y, en particular, no tienen torsión. Recientemente J. Huang y D. Osajda introdujeron una nueva noción de curvatura no positiva (diferente a la noción de CAT(0)), que les permitió probar, entre otras cosas, que todos los grupos de Artin de dimensión 2 y todos sus subgrupos finitamente presentados admiten funciones de Dehn cuadráticas y por lo tanto, tienen el problema de la palabra resoluble, y además, tienen el problema de la conjugación resoluble. En esta charla expondremos las ideas principales detrás de los resultados mencionados (los previos y los más recientes). La charla será lo suficientemente autocontenida.


Fecha: Jueves 25/4.
Expositor: Iván Sadofschi Costa.
Título: La conjetura de Scott-Wiegold
Abstract: La conjetura de Scott-Wiegold, probada por James Howie, dice que el cociente (Zp*Zq*Zr)/ ≪ w ≫ de un producto libre de tres grupos cíclicos por una relación siempre es no trivial. En esta charla expondré la demostración de Howie, que consiste en construir representaciones no triviales usando un argumento de grado topológico.


Fecha: Jueves 16/5.
Expositor: David Mosquera Lois.
Título: Distancia homotópica entre espacios y aplicaciones
Abstract: Se definen dos nociones de distancia homotópica. La primera entre dos espacios topológicos X e Y , y la segunda entre dos aplicaciones f, g : X --> Y. Ambas nociones tratan de formalizar cuánto distan dos espacios, respectivamente dos aplicaciones, de ser homótopos, respectivamente homotópicas. A continuación se estudian algunas de sus propiedades y se las relaciona con invariantes topológicos clásicos tales como la categoría de Lusternik-Schnirelmann, la complejidad topológica y el género de Svarc.


Fecha: Jueves 23/5.
Expositor: Jonathan Barmak.
Título: Winding numbers en teoría combinatoria de grupos
Abstract: Cuándo es un elemento del grupo libre F2=<x,y> un producto de k cuadrados, cuándo un producto de cubos. Todo conmutador es producto de 3 cuadrados, pero [x,y] no es producto de 2. Además de naturales, estas preguntas tienen relevancia por el problema de Burnside (abierto) para n=5: Es finito el grupo B(2,5)=<x,y | r^5=1 para todo r>?. Kostrikin probó que si [y[y[y[y[y[y,x]]]]]] no es producto de potencias 5tas, B(2,5) es infinito.

Este y otros problemas pueden atacarse por medio de un nuevo invariante. El winding invariant de un elemento w en F2' es un polinomio de Laurent en dos variables cuyos coeficientes son los winding numbers sobre ciertos puntos, de una curva en el plano construida a partir de w. En un trabajo reciente damos distintas aplicaciones de esta construcción a problemas de teoría de grupos, incluyendo ecuaciones sobre grupos libres y metabelian, propiedades residuales de one-relator groups y la conjetura de Andrews-Curtis.

En esta primera charla voy a presentar propiedades básicas del winding invariant, estudiaremos la estructura de conmutadores en F2 y caracterizaremos a los productos de cubos y otras potencias n-ésimas. Esta charla es elemental y autocontenida.



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