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Seminario de Topología
La próxima reunión será el jueves 30 de noviembre a las 14hs. Para más información contactar a los organizadores.
Fecha: Lunes 24 de abril.
Expositor: Jonathan Barmak
Título: El poset homogéneo universal numerable
Abstract:
Un poset se dice universal si contiene a todos los posets finitos como subposets. Un poset X se dice (fuertemente) homogéneo si todo isomorfismo A->B entre subposets finitos de X se extiende a un automorfismo de X. Veremos que existe un poset numerable que es universal y homogéneo. Más aún, mostraremos que es único salvo isomorfismo. Este poset posee propiedades sorprendentes, como la indestructibilidad: quitar un número finito de puntos da como resultado un poset isomorfo al original.
El poset universal homogéneo es un ejemplo de límite de Fraïssé. El análogo para grafos es el grafo de Rado, que es el obtenido con probabilidad 1 en el modelo de Erdös-Rényi. Hay ejemplos similares para espacios métricos y complejos simpliciales.
Fecha: Lunes 15 de mayo.
Expositor: Gabriel Minian
Título:
Triangulaciones minimales de superficies y de su tipo homotópico y complejidad simplicial de grupos
Abstract:
Toda variedad diferenciable admite triangulaciones (por un complejo simplicial) pero en general no es fácil encontrar triangulaciones minimales (es decir, con mínima cantidad de vértices). En el caso de las superficies compactas (orientables o no) ya desde el siglo XIX se conocían cotas inferiores para la cantidad de vértices (y de triángulos) en término de su característica de Euler. La solución completa al problema de triangulaciones minimales para superficies fue encontrada por Ringel en la década del 50 para el caso no orientable, y por Jungerman y Ringel en los 80 para el caso orientable.
Más recientemente, junto con Eugenio Borghini atacamos este problema desde el punto de vista homotópico y extendimos los resultados anteriores a cualquier complejo simplicial homotópicamente equivalente a una superficie. Probamos que la cantidad mínima de vértices de un complejo del tipo homotópico de una superficie se realiza en la misma superficie, con la única excepción de la superficie cerrada orientada de género 2 (el toro de dos manijas). Un problema muy relacionado con este es el de la complejidad simplicial de grupos: la complejidad simplicial de un grupo finitamente generado G es la mínima cantidad de triángulos de un 2-complejo simplicial cuyo grupo fundamental es isomorfo a G. Este invariante fue introducido por Babenko, Balacheff y Bulteau, quienes probaron que resulta una muy buena aproximación combinatoria al área sistólica del grupo, que es una noción de naturaleza geométrica introducida por Gromov en los 90. Extendiendo los resultados y estrategias que utilizamos para las triangulaciones minimales del tipo homotópico de superficies, con Eugenio Borghini calculamos la complejidad simplicial de todos los grupos de superficies. Similarmente a lo anterior, la complejidad simplicial de estos grupos se realiza en las triangulaciones de las superficies mismas.
En esta charla voy a comentar y contextualizar todos estos resultados y voy a contar algunas de las ideas utilizadas en las demostraciones. La charla será autocontenida y sólo se necesita saber nociones básicas de complejos simpliciales y de homología.
Fecha: Lunes 29 de mayo.
Expositor: Martin Blufstein
Título:
Inmersiones no positivas
Abstract:
La idea principal en la teoría geométrica de grupos es estudiar grupos vía acciones en espacios que poseen alguna geometría en un sentido amplio de la palabra. Una propiedad de grupos que ha resultado ser difícil de encarar desde este enfoque es la coherencia. Un grupo se dice coherente si todo subgrupo finitamente generado es finitamente presentado. Con este fin, en 2002 Wise introdujo la noción de inmersiones no positivas para un CW complejo de dimensión 2. Esta definición está basada en la demostración de Scott de la coherencia de los grupos fundamentales de variedades de dimensión 3. Sin embargo, la demostración de Wise de la coherencia de los grupos fundamentales de 2-complejos con inmersiones no positivas no era correcta. Si bien la coherencia sigue abierta, utilizando torres de Howie, Wise probó que los 2-complejos con inmersiones no positivas (y sus grupos fundamentales) tienen otras propiedades como las de ser asféricos o localmente indicables.
Más recientemente, con el objetivo de continuar con este programa con un enfoque levemente diferente y más constructivo, Wilton definió la curvatura irreducible de un 2-complejo y demostró que un 2-complejo con curvatura irreducible no positiva tiene inmersiones no positivas. La gran ventaja de su condición es que es algorítmicamente computable, mientras que por lo general es difícil probar que un 2-complejo tiene inmersiones no positivas. Presentaremos el primer ejemplo de 2-complejo con inmersiones no positivas y curvatura irreducible positiva, probando que ambas definiciones no son equivalentes.
La charla será autocontenida y sólo se necesitan conocimientos básicos de CW complejos y homología.
Fecha: Lunes 5 de junio.
Expositor: Kevin Piterman
Título:
Conjuntos de mutually unbiased bases
Abstract:
Dos bases ortonormales B, B' de un espacio de Hilbert de
dimensión finita d se dicen que son mutually unbiased bases (MUB) si
el producto entre cualesquiera dos vectores de B y B' tiene módulo
1/sqrt(d). La existencia de conjuntos maximales de MUB es objeto de
estudio en física matemática, y en particular en quantum information
theory. Es sabido que un conjunto de MUB puede tener cardinal a lo
sumo d+1, y que siempre existe un conjunto con al menos 3 MUB. Sin
embargo, no se sabe si siempre existen conjuntos de tamaño d+1.
En esta charla, exploraremos algunos resultados sobre la existencia de
MUB de tamaño d+1 y veremos su conexión con cuerpos finitos cuando d
es una potencia de un primo. Sorprendendemente, la existencia de un
conjunto de MUB de tamaño mayor a 3 para d=6 está aún abierta, y
algunos resultados sobre la pregunta análoga en espacios unitarios
finitos sugiere que podría no haber conjuntos de tamaño mayor.
Fecha: Lunes 26 de junio.
Expositor: Agustín Barreto
Título:
Asfericidad de LOTs y grupos localmente indicables
Abstract:
Un 2-complejo es asférico si su revestimiento universal es contráctil (o equivalentemente, si su segundo grupo de homotopía es trivial). En la década del 40 J.H.C. Whitehead conjeturó que todo subcomplejo conexo de un 2-complejo asférico es también asférico. Esta conjetura sigue abierta y desde entonces se ha atacado desde varios enfoques. En los 80 Jim Howie presentó un caso particular de la conjetura de Whitehead: los LOTs (labelled oriented trees), que son árboles orientados con una función de etiquetado de sus aristas. Los LOTs surgen naturalmente como spines de ciertas variedades de dimensión 4 y generalizan (contienen estrictamente) a los correspondientes a los nudos clásicos. Uno puede asociarle a un LOT una presentación de un grupo y luego su 2-complejo estándar correspondiente, por lo cual diremos que un LOT es asférico si su 2-complejo asociado lo es. Howie atacó este problema utilizando la teoría de grupos localmente indicables. Un grupo es localmente indicable si todos sus subgrupos finitamente generados no triviales admiten un epimorfismo a los enteros. Esta clase de grupos es muy relevante también en el estudio de dinámica de grupos. Entre otras cosas, Howie probó la asfericidad de todos los LOTs de diámetro a lo sumo 3 y algunas subfamilias de diámetro 4.
En esta charla, daremos una introducción al problema de asfericidad de los LOTs y a su relación con los grupos localmente indicables y presentaremos nuevos métodos de naturaleza combinatoria y topológica para estudiar indicabilidad local de grupos y probar asfericidad de distintas familias de LOTs.
La misma será autocontenida y sólo se necesitan conocimientos básicos de CW complejos.
Fecha: Lunes 17 de julio.
Expositor: Martin Blufstein
Título:
Espacios métricos inyectivos y grafos de Helly
Abstract:
Un espacio métrico X se dice inyectivo si para toda familia de puntos {x_i} en X y toda familia de radios {r_i} tales que para todo i distinto de j se tiene que r_i+r_j >= d(x_i,x_j), entonces la intersección de las bolas B(x_i,r_i) es no vacía. Los espacios métricos inyectivos y los grafos de Helly se han convertido recientemente en un objeto de estudio muy activo en la teoría geométrica de grupos, especialmente gracias al trabajo de Lang. Por ejemplo, si bien es una pregunta abierta si los grupos hiperbólicos actúan geométricamente en espacios CAT(0), Lang probó que sí actúan geométricamente en espacios inyectivos. Los espacios métricos inyectivos poseen muchas propiedades típicas de curvatura no positiva, pero suelen comportarse mejor que los espacios CAT(0). En efecto, es más sencillo construir espacios métricos inyectivos, y en ciertas situaciones pueden deducirse propiedades más fuertes para los grupos que actúan geométricamente en ellos. Intuitivamente, los espacios inyectivos reflejan una geometría de "tipo L∞", mientras que los espacios CAT(0) reflejan una geometría de "tipo L2".
En esta charla daremos definiciones, ejemplos y propiedades básicas de espacios métricos inyectivos y grafos de Helly, y demostraremos algunos resultados clásicos. La charla será auto contenida y sólo se requieren conocimientos básicos de espacios métricos y topología.
Fecha: Miércoles 15 de noviembre.
Expositor: Thomas Wanner (George Mason University, USA)
Título:
Capturing invariance in flows and combinatorial vector fields
Abstract:
Invariant sets are of central importance in the study of
classical dynamical systems. They come in a variety of forms, from
equilibria and periodic orbits to heteroclinic cycles and strange
attractors. One important topological tool for establishing their
existence is the Conley index. In this talk, I will give an introduction
to Conley's theory for both flows in Euclidean space and combinatorial
vector fields on simplicial complexes, indicate how it can be used to
establish nontrivial invariant sets, and show connections between the
classical and combinatorial setting.
Fecha: Jueves 30 de noviembre.
Expositor: Kevin Piterman
Título:
Un approach categórico para estudiar posets de descomposiciones en subobjetos
Abstract:
Dada una sucesión de grupos G_n con inclusiones G_n -> G_{n+1}, una pregunta en (co)homología de grupos es cuándo se alcanza una estabilidad homológica H_j(G_n)-->H_j(G_{n+1}), en un grado fijo j. Es decir, si para n suficientemente grande, este morfismo es un isomorfismo. Para detectar este comportamiento usualmente se construyen ciertos complejos simpliciales K_n altamente conexos en donde los G_n actúan naturalmente. Por ejemplo, para los grupos lineales GL_n, K_n puede ser el order-complex del poset de subespacios, mientras que para los grupos libres F_n se toma el complejo de factores libres.
En esta charla, propondremos un framework categórico que abarca todas estas construcciones de manera unificada. Más precisamente, para una categoría inicial-monoidal C y objeto X, consideramos el poset de subobjetos de X (monomorfismos Y-->X módulo isomorfismo), cuyo máximo es X y el mínimo es el objeto inicial de C. Dentro de este poset, tomamos los subobjetos que son complementados, en el sentido de meet y join del poset, pero que además tienen un complemento con quien el join coincide con el producto monoidal de ambos. Así, en la categoría de grupos con el producto libre, el subposet de subobjetos complementados de F_n es exactamente el poset de factores libres. Para espacios vectoriales con la suma directa, este subposet coincide con el poset de subespacios. A partir de esta construcción, definimos otras estructuras relacionadas como el poset de descomposiciones o el complejo de bases parciales. Mostramos propiedades y relaciones generales entre estos, y luego especializaremos a diferentes casos como matroides, módulos sobre anillos o espacios vectoriales con formas no degeneratadas, donde todavía hay muchas preguntas sin responder.
La charla será autocontenida y solo se necesitan conocimientos básicos de álgebra y topología.