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Seminario de Topología
Fecha: Miércoles 23 de marzo.
Expositor: Gabriel Minian
Título: Teoría de Morse clásica y moderna y algunas aplicaciones
Abstract:
En la primera parte de esta charla, más bien informal, contaré las ideas, construcciones y motivaciones básicas de la teoría de Morse clásica y de algunas de sus variantes modernas (que aparecieron a lo largo de las últimas décadas). Veremos las similitudes y diferencias entre las distintas variantes y algunas aplicaciones. Luego me voy a concentrar en la versión lineal a trozos, de Bestvina y Brady, y en una generalización muy reciente de esta variante. Veremos cómo esta última puede ser aplicada a problemas de teoría geométrica de grupos y análisis topológico de datos.
La charla será autocontenida y no se requiere tener conocimientos previos sobre este tema.
Fecha: Miércoles 30 de marzo.
Expositor: Gabriel Minian
Título: Morse, Vietoris-Rips y análisis topológico de datos
Abstract:
Uno de los objetivos centrales en el análisis topológico de
datos es utilizar métodos de la topología para extraer información
acerca de la forma de un conjunto de datos. Los complejos de
Vietoris-Rips constituyen una de las herramientas más utilizadas en esta
área. Estos complejos simpliciales fueron introducidos por Vietoris para
estudiar la topología de espacios métricos utilizando métodos
combinatorios y luego fueron redescubiertos por Rips y Gromov para el
estudio de grupos hiperbólicos.
Comenzaré la charla repasando y discutiendo las definiciones y
propiedades básicas de estos complejos, veremos ejemplos, su relación
con los complejos de Cech y su utilización en el análisis topológico de
datos. En la segunda parte de la charla contaré algunos resultados
recientes de Zaremsky sobre una generalización de la teoría de Morse de
Bestvina-Brady y su aplicación al estudio de los complejos de
Vietoris-Rips y al análisis topológico de datos.
Esta charla, aunque de alguna manera es continuación de la anterior,
será autocontenida.
Fecha: Miércoles 27 de abril.
Expositor: Agustín Barreto
Título: Posets de tamaño mínimo con grupo de automorfismos dado.
Abstract:
En 1936 König dio inicio a una novedosa familia de problemas realizando la siguiente pregunta: Dado un grupo G, ¿existe un grafo cuyo grupo de automorfismos sea isomorfo a G? En 1938 Frucht probó que, de hecho, existen infinitos grafos no isomorfos entre sí para cada G; y dio una cota sobre la cantidad de vértices para el más pequeño. En las siguientes décadas hubo mejoras en dicha cota por parte de Sabidussi y Babai. Ya en 1982, Arlinghaus hizo otro gran aporte, calculando explícitamente para cada G abeliano la menor cantidad de vértices que debe tener un grafo con grupo de automorfismos G. Paralelamente, en 1946 Birkhoff respondió la pregunta análoga para posets, probando que para todo grupo G existe un poset con grupo de automorfismos G y dio una cota para el tamaño del más pequeño. Posteriormente hubo aportes mejorando esta cota por parte de Frucht, Thorton, Barmak, Minian y Babai.
En esta charla contaré algunos resultados que obtuvimos recientemente, junto con J. Barmak, sobre el menor cardinal que puede tener un poset con grupo de automorfismos G para G cíclico o p-grupo con p≥11. Comenzaré la charla repasando resultados e ideas previas sobre grupos de automorfismos de grafos y posets, y luego comentaré algunas de las ideas más novedosas que se usan para calcular el menor cardinal de un poset con grupo de automorfismos abeliano dado.
La charla será autocontenida y no se necesitan conocimientos previos sobre el tema.
Fecha: Miércoles 4 de mayo.
Expositor: Martín Blufstein
Título: Rectángulos cuadriculados, trayectorias de billar y un teorema de punto fijo
Abstract:
Comenzaré la charla contando un teorema de Dehn cuya demostración sólo requiere álgebra lineal: si un rectángulo puede cuadricularse con finitos cuadrados, entonces el cociente de sus lados es un número racional. Luego veremos la noción de trayectoria de billar periódica y resultados de Masur en esta dirección. Finalmente, combinando estas dos herramientas con un teorema de tipo Helly sobre intersección de convexos, veremos un resultado reciente de Norin, Osajda y Przytycki sobre puntos fijos en complejos simpliciales CAT(0) 2-dimensionales. La charla será autocontenida y no es necesario tener conocimientos previos sobre espacios CAT(0).
Fecha: Miércoles 6 de julio.
Expositor: Jonathan Barmak
Título: El Teorema del levantamiento para espacios finitos
Abstract:
En 1966 McCord probó que si X es un espacio finito T0 (equivalentemente un
poset finito) y K(X) es su complejo de orden, entonces hay una función de
K(X) a X que induce isomorfismos en los grupos de homología y homotopía.
Su demostración usa un teorema fuerte que dice esencialmente que una
función que localmente es una equivalencia débil, lo es globalmente.
En 2008 Wofsey dio una demostración mucho más elemental del resultado de
McCord, probando que toda función de un espacio perfectamente normal Y en
X se levanta a una función de Y en K(X). En esta charla autocontenida
hablaremos del resultado de Wofsey y veremos cómo se deduce el teorema de
McCord. No se requieren conocimientos previos de espacios finitos y sólo
usaremos topología elemental.
Fecha: Miércoles 14 de septiembre
Expositor: Martín Blufstein
Título:Un poco de coherencia
Abstract:
En esta charla daremos una introducción a los grupos coherentes. Un grupo se dice coherente si todos sus subgrupos finitamente generados son finitamente presentados. Si bien la definición es algebraica, tiene una interpretación topológica que nos permitirá trabajar de manera topológica y geométrica. Aunque parece ser una propiedad natural, veremos que no es tan sencillo probar que un grupo es coherente. Comenzaremos la charla dando (no-) ejemplos de esta y otras propiedades de finitud similares. Luego contaremos las ideas detrás de la demostración de Scott de que los grupos fundamentales de 3-variedades son coherentes. Esto motivará definiciones más modernas que intentan generalizar el caso de 3-variedades para probar que un grupo es coherente. Por último mencionaremos preguntas abiertas en el tema.
La charla será autocontenida y solo se requieren conocimientos básicos de topología.
Fecha: Miércoles 28 de septiembre
Expositor: Macarena Arenas (University of Cambridge)
Título: Cancelaciones pequeñas y construcciones de Rips
Abstract:
La sucesión exacta de Rips es una herramienta útil para producir ejemplos de grupos que satisfacen combinaciones de propiedades que no son obviamente compatibles. En particular, ha sido usada extensivamente para producir grupos hiperbólicos con propiedades algorítmicas patológicas: por ejemplo, grupos hiperbólicos incoherentes, y grupos hiperbólicos con problema generalizado de la palabra no resoluble.
En esta charla explicaré la construcción de Rips, describiré una variante que produce grupos hiperbólicos cubulados de dimensión cohomológica arbitraria, y les contaré sobre algunas herramientas e ideas relacionadas a estas construcciones, como lo son las teorías clásicas y cúbicas de cancelaciones pequeñas, los grupos cubulados, y la asfericidad.
Fecha: Miércoles 12 de octubre
Expositor: Leopoldo Lerena
Título: Enumeración de cosets
Abstract:
Dado un grupo G con presentación finita y H un subgrupo finitamente generado el problema de enumeración de cosets consiste en contar la cantidad de cosets de H en G. El primer algoritmo para resolver este problema fue creado por Todd y Coxeter en 1936 y desde ese entonces los algoritmos de enumeración de cosets forman una de las herramientas centrales de la teoría de grupos computacional.
En esta charla construiremos un algoritmo para enumerar cosets, probaremos bajo qué condiciones termina y, en esos casos, probaremos que la respuesta que nos devuelve es la correcta.
La charla será autocontenida y con haber cursado álgebra 2 bastaría para comprenderla.
Fecha: Miércoles 19 de octubre
Expositor: Pedro Chocano (Madrid)
Título: Categorías Dinámicas
Abstract:
La idea de esta charla es motivar una categoría cuyos morfismos aparecen de manera natural cuando uno intenta definir dinámica sobre espacios topológicos de Alexandroff
(conjuntos parcialmente ordenados).
Veremos que las aplicaciones usuales no son de utilidad a la hora de definir sistemas
dinámicos en este tipo de conjuntos. Para el caso continuo, el único flujo es el trivial. Para
el caso discreto, analizaremos la dinámica del modelo combinatorio de la recta real
clasificando las situaciones que pueden ocurrir en este contexto combinatorio y lo
compararemos con el caso usual obteniendo demasiadas restricciones.
Por tanto, para definir dinámica combinatoria introduciremos una clase especial de
aplicaciones multievaluadas y daremos algunas de sus propiedades. A continuación,
definiremos una categoría que contenga como morfismos a estas aplicaciones y una
noción de homotopía entre ellas. Finalmente, veremos cómo se relaciona esta noción de
homotopía con otras.
Fecha: Miércoles 30 de noviembre
Expositor: Jens Harlander (Boise State University, USA)
Título: Are LOT groups locally indicable?
Abstract:
A group G is locally indicable if every non-trivial finitely generated subgroup maps onto the group of integers. One implication of local indicability is orderability. Another, in a certain context, is asphericity. 1-relator groups and knot groups are known to be locally indicable. A class of groups closely related to both are LOT groups. They are defined by Wirtinger presentations that are encoded by labeled oriented trees (LOT). Local indicability for LOT groups is unknown. In 2004 Wise defined the nonpositive immersion property: a 2-complex K has nonpositive immersion if for every combinatorial immersion X --> K, where X is not simply connected, the Euler characteristic of X is less or equal to zero. He showed that this property implies local indicability of the fundamental group of K.
In my talk I will report on recent progress made towards showing that injective LOT complexes have the nonpositive immersion property. Central is the concept of relative nonpositive immersion that applies to 2-complex pairs (L,K), where K is a subcomplex of L. This is joint work with Stephan Rosebrock.