Departamento de Matemática- FCEyN Universidad de Buenos Aires

Reuniones Año 2021

Fecha: Martes 20 de abril.
Expositor: Jonathan Barmak
Título: Complejos simpliciales cónicos y aleatorios

Abstract: Diversas redes en biología, informática y ciencias sociales han sido modeladas usando grafos. Para tener en cuenta relaciones no sólo entre pares, sino en conjuntos de cardinal mayor a dos, se utilizan complejos simpliciales. Invariantes homotópicos de complejos simpliciales aleatorios pueden dar información sobre redes de la vida real. Recordaremos algunos de los modelos más usados y resultados previos sobre complejos ample. La parte central de la charla gira en torno a la nueva noción de complejos cónicos y sus implicaciones al estudio de la conectividad de complejos en general y de complejos aleatorios en el modelo multiparamétrico en particular. Un complejo simplicial se dice r-cónico si todo subcomplejo de a lo sumo r vértices está contenido en el star de un vértice. Veremos que todo complejo 4-cónico es simplemete conexo, que 8-conicidad implica 2-conexión y una generalización de estos resultados.

Fecha: Martes 27 de abril.
Expositor: Iván Sadofschi Costa.
Título: La conjetura de Casacuberta-Dicks.

Abstract: Un resultado clásico de Serre dice que toda acción de un grupo finito en un árbol tiene un punto fijo. El análogo natural en dimensión 2 fue conjeturado por Carles Casacuberta y Warren Dicks [CD92]: Conjetura: Toda acción de un grupo finito G en un 2-complejo contráctil X tiene un punto fijo. Independientemente, Michael Aschbacher y Yoav Segev plantearon la misma pregunta en el caso en que X es compacto [AS93]. En [OS02], Bob Oliver y Yoav Segev dan una clasificación completa de los grupos que pueden actuar sin puntos fijos en un 2-complejo acíclico finito. Esta clasificación da un punto de partida importante para estudiar esta conjetura. Sin embargo, como explica Alejandro Adem en [Ade03], el problema era difícil de abordar con los mótodos disponibles.

Los resultados recientes obtenidos en [SC20], [SC21] y [PSC21] conforman una demostración de la conjetura de Casacuberta-Dicks en el caso compacto. En esta charla contaró la historia del problema y las ideas principales que aparecen en la demostración de esta conjetura. Parte de este trabajo fue realizado en conjunto con Kevin Piterman.

[Ade03] A. Adem. Finite group actions on acyclic 2-complexes. Asterisque, (290) No. 894, vii, 1–17, 2003. Seminaire Bourbaki. Vol. 2001/2002.

[AS93] M. Aschbacher and Y. Segev. A fixed point theorem for groups acting on finite 2-dimensional acyclic simplicial complexes. Proc. London Math. Soc., 1993.

[CD92] C. Casacuberta and W. Dicks. On finite groups acting on acyclic complexes of dimension two. Publicacions Matemàtiques, 1992.

[OS02] B. Oliver and Y. Segev. Fixed point free actions on Z-acyclic 2-complexes. Acta Math., 2002.

[PSC21] K.I. Piterman and I. Sadofschi Costa. Group actions on contractible 2-complexes II. Preprint, 2021.

[SC20] I. Sadofschi Costa. Group actions of A5 on contractible 2-complexes. Preprint, 2020.

[SC21] I. Sadofschi Costa. Group actions on contractible 2-complexes I. With an appendix by Kevin I. Piterman. Preprint, 2021.

Fecha: Martes 11 de mayo.
Expositor: Miguel Ottina
Título: El crosscut poset y aplicaciones

Abstract: En un artículo de 1981 Björner introduce el complejo crosscut para estudiar propiedades homotópicas de posets. Uno de los resultados principales de ese trabajo dice que, bajo hipótesis adecuadas, las realizaciones geométricas del complejo crosscut y del complejo de orden asociado a un poset son homotópicamente equivalentes. Este teorema tiene muchas aplicaciones en Combinatoria, Topología y Álgebra, una de las cuales es el estudio de la propiedad de punto fijo en posets. En un trabajo reciente introducimos una variante más fina del complejo crosscut a la que denominamos crosscut poset. En esta charla explicaré en qué consiste esta variante y cómo se relaciona con el complejo crosscut de Björner. Además mostraré cómo el crosscut poset permite generalizar tanto el resultado de Björner mencionado anteriormente como también otros resultados relacionados.

Fecha: Martes 1 de junio.
Expositor: Ximena Fernández
Título: Teoría de Morse para presentaciones de grupos

Abstract: La conjetura de Andrews-Curtis (1965) afirma que cualquier presentación balanceada del grupo trivial puede transformarse en la presentación vacía a través de una sucesión finita de transformaciones (llamadas Q**- transformaciones) que no alteran su deficiencia. La formulación geométrica equivalente -en términos de teoría de deformaciones de Whitehead- establece que todo CW-complejo contráctil de dimensión 2 se 3-deforma a un punto. Si bien se sabe que la conjetura es cierta para algunas clases de CW-complejos, el caso general aún permanece abierto (y de hecho, se cree que es falsa). En esta charla, voy a contar un método topológico para estudiar Q**-transformaciones de presentaciones de grupos que se basa en un refinamiento de la teoría de Morse discreta. Dado un CW-complejo regular de dimensión n, veremos cómo construir explícitamente un nuevo CW-complejo con menos celdas (el complejo de Morse) que se (n+1)-deforma al complejo original. Finalmente, exhibiré algunas aplicaciones de esta técnica al estudio de potenciales contraejemplos a la conjetura de Andrews-Curtis, mostrando que muchos de ellos de hecho satisfacen la conjetura.

Fecha: Martes 8 de junio.
Expositor: Kevin Piterman
Título: Posets de subespacios no degenerados de espacios unitarios finitos.

Abstract: Fijado un cuerpo finito de orden q^2 y un número natural n, existe un único espacio vectorial de dimensión n con una forma Hermitiana (no degenerada), salvo isometrías. A este espacio lo denominamos espacio unitario, y su grupo de isometrías es el grupo unitario GU_n(q).

En esta charla, veremos algunos resultados parciales obtenidos con respecto al poset de subespacios propios, no triviales y no degenerados de un espacio unitario. Mostraré distintas fórmulas para su característica de Euler y analizaremos algunas propiedades homológicas y homotópicas, como la propiedad de ser Cohen-Macaulay. En este sentido, veremos que el poset de subespacios no degenerados no posee un comportamiento combinatorio tan bonito como el poset de todos los subespacios propios y no triviales. Sin embargo, la acción de GU_n(q) sobre este poset es bastante "buena" y es clave para estudiar las simetrías y otros elementos combinatorios del poset.

También analizaremos el complejo de frames parciales de un espacio unitario (finito). Los símplices de este complejo son todos los conjuntos no vacíos que consisten de subespacios de dimensión 1, no degenerados y ortogonales dos a dos. Veremos que el cálculo de la homología de este complejo permite culminar con la demostración de la conjetura de Quillen. En esta dirección, mostraré algunos caminos a seguir para calcular los grupos de homología.

Esto es un trabajo en progreso con Volkmar Welker (Philipps University of Marburg).

Fecha: Martes 15 de junio.
Expositor: Gabriel Minian
Título: Nudos en posets y su relación con los nudos clásicos.

Abstract: Un nudo en un espacio topológico X es un subespacio homeomorfo a una 1-esfera (curva simple cerrada). Los nudos "clásicos" son los nudos metidos en R^3 (o S^3), pero también se estudian nudos en otras variedades (como toros, esferas, etc). En esta charla contaré algunas ideas muy recientes para el estudio de nudos en posets y su relación con los nudos clásicos en variedades. Los nudos en el contexto combinatorio de los posets son mucho más rígidos que su contraparte topológica o diferenciable pero de todas maneras aportan información (y una mirada alternativa) a la teoría clásica.

La charla será autocontenida y más bien informal. En la primera parte recordaré algunos ejemplos, resultados y construcciones muy básicas sobre nudos clásicos, y luego contaré algunas ideas, ejemplos, preguntas (y pocas respuestas) sobre cómo modelizar la teoría en el contexto de posets.

Fecha: Martes 29 de junio.
Expositor: Jonathan Barmak
Título: El complejo de Vietoris-Rips de subespacios del plano y star clusters en complejos de independencia

Abstract: Dado un espacio métrico X y un real positivo r, el complejo de Vietoris-Rips R(X;r) tiene como símplices a los subconjuntos finitos no vacíos de diámetro menor o igual a r. Estos poliedros son una de las construcciones más usadas en Análisis Topológico de Datos para estudiar nubes de puntos via homología persistente.

Desde 2010 se sabe que si X es un subespacio finito del plano, entonces R(X,r) tiene grupo fundamental libre. Sin embargo se desconoce aún cuáles son los tipos homotópicos que pueden realizarse con estos poliedros. Cuando X es un subconjunto de una circunferencia los posibles tipos homotópicos están clasificados. Los grupos de homología y la conectividad se han estudiado usando Teoría de Morse Discreta para conjuntos X tomados aleatoriamente.

En 2010 también se introduce la noción de star cluster de un simplex en un complejo para estudiar propiedades homotópicas de complejos clique, particularmente de complejos de independencia de grafos. Esta noción resulta útil para atacar de una manera uniforme distintos problemas del área y analizar una conjetura de Engström sobre grafos sin triángulos. Como R(X;r) es clique, puede usarse esta herramienta para estudiar invariantes homotópicos (categoría de Lusternik-Schnirelmann).

En esta charla recordaremos las ideas usadas en algunos de estos resultados, centrándonos principalmente en las aplicaciones de star clusters a complejos de independencia e ideas geométricas obtenidas en colaboración con Martin Tancer.

Fecha: Martes 6 de julio.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: Grupos de Artin y sus subgrupos parabólicos

Abstract: Los grupos de Artin constituyen una de las familias de grupos más estudiadas en teoría geométrica de grupos. Son una generalización de los grupos de trenzas y están estrechamente relacionados con los grupos de Coxeter (grupos de reflexiones). De hecho se definen, similarmente a los grupos de Coxeter, a partir de un grafo finito etiquetado. Existen actualmente muchos problemas abiertos (de naturaleza algebraica y geométrica) respecto de los grupos de Artin (voy a comentar algunos de estos problemas en la charla), de los cuales se sabe su respuesta sólo para ciertas subfamilias.

Los subgrupos de un grupo de Artin generados por algunos de los vértices de su grafo, y los subgrupos conjugados a estos, se llaman parabólicos. Un resultado afirma que estos subgrupos son en sí mismos grupos de Artin. Es sabido que la intersección de subgrupos parabólicos de grupos de Coxeter es a su vez un subgrupo parabólico. Lo mismo sucede con los grupos de trenzas La pregunta para grupos de Artin todavía sigue abierta. El primer resultado afirmativo en esta dirección fue obtenido en 2019. Recientemente, en un artículo de Cumplido, Martin y Vaskou, se ha introducido una nueva estrategia geométrica para el estudio de este problema.

En esta charla comenzaremos con las definiciones y resultados básicos de grupos de Artin. Daremos varios ejemplos y presentaremos algunas subclases conocidas de estos grupos. Luego definiremos el "complejo de Artin" asociado a un grupo de Artin, que nos servirá para analizar sus subgrupos parabólicos.

La charla será autocontenida y no se requiere tener conocimientos previos sobre grupos de Artin.

Fecha: Miércoles 25 de agosto.
Expositor: Román Sasyk.
Título: Productos verbales y productos corona verbales de grupos

Abstract: Dada una familia de grupos, la suma directa y el producto libre proveen modos útiles de construir nuevos grupos a partir de ella. Los productos verbales de grupos, definidos en los años 50, dan otras operaciones en grupos que comparten algunas características en común con la suma directa y el producto libre. Luego de un "cameo" en lógica matemática a principios de los años 80 y una aplicación a problemas de complejidad de clasificación en análisis no conmutativo que dimos hace unos años, estos productos en grupos no parecen haber sido demasiado estudiados recientemente y quizá hayan sido pasados por alto en teoría geométrica de grupos y en teoría de la medida de grupos.

En esta charla primero repasaremos la historia y la construcción de los productos verbales de grupos, y su relación con la lógica y los problemas de clasificación. Luego veremos que varias propiedades de interés en análisis y geometría en grupos, como por ejemplo la amenabilidad, la propiedad de Haagerup, la propiedad (T), la exactitud, la soficidad, la hiperlienalidad y otras aproximaciones métricas en grupos; son preservadas por algunos productos verbales.

Explicaremos también como definir los productos corona verbales entre dos grupos, (generalizando a los productos corona usuales), y veremos que la propiedad de Haagerup, la soficidad, la hiperlinealidad y otras aproximaciones métricas en grupos son preservadas por algunos de ellos. Finalmente daremos aplicaciones de esto último.

La charla será mayormente autocontenida y de divulgación. Algunos de los resultados que presentaremos han sido obtenidos en colaboración con A. Törnquist, y con J. Brude.

Fecha: Miércoles 22 de septiembre.
Expositor: Kevin Piterman.
Título: Simple conexión del complejo de frames de un espacio unitario

Abstract: Decimos que un espacio vectorial finito V sobre un cuerpo F es un espacio unitario (no-degenerado) si admite una forma Hermitiana no-degenerada sobre F. En tal caso, necesariamente F es un cuerpo finito de orden q^2 para cierta potencia de primo q. El objetivo de esta charla es estudiar propiedades homotópicas del complejo de frames de V. Esto es, el complejo simplicial cuyos símplices son conjuntos {S_1,...,S_r} de subespacios S_i de V de dimensión 1, no-degenerados y ortogonales dos a dos. Las propiedades de este complejo están fuertemente ligadas a las de otros espacios, como el complejo de p-subgrupos del grupo unitario GU(V), el poset de subespacios no-degenerados o el poset de descomposiciones ortogonales.

Veremos cuáles son las relaciones que deben guardar la dimensión dim(V) y el orden del cuerpo |F|=q^2 para que el complejo de frames sea conexo y/o simplemente conexo. Hacia el final de la charla, veremos brevemente cómo aplicar el método de Garland para deducir que si dim(V) < q+1 entonces el complejo de frames es homológicamente Cohen-Macaulay (sobre un cuerpo de característica 0). Algunos experimentos muestran que esta cota es óptima para obtener esta propiedad.

Fecha: Miércoles 6 de octubre.
Expositor: Nicolás Cianci (Universidad Nacional de Cuyo).
Título: Fibrados y fibraciones de Hurewicz entre espacios topológicos finitos

Abstract: Los espacios de Alexandroff -espacios topológicos en los cuales la intersección arbitraria de abiertos es nuevamente un conjunto abierto- representan los tipos homotópicos débiles de los CW-complejos (y por lo tanto, de todos los espacios topológicos). En particular, los espacios topológicos finitos -que son trivialmente de Alexandroff- alcanzan a representar los tipos homotópicos débiles de los CW-complejos compactos. Por otro lado, las topologías de Alexandroff sobre un conjunto X están en biyección canónica con los preórdenes en X correspondiendo, bajo esta biyección, topologías T_0 en X con órdenes parciales en X. En particular, todo espacio de Alexandroff puede ser considerado, de manera canónica, como una categoría pequeña lo que permite el abordaje de ciertos problemas en topología algebraica por métodos de la teoría de categorías.

En esta charla compartiré resultados originales -obtenidos en colaboración con Miguel Ottina- sobre aspectos combinatorios de los fibrados y las fibraciones de Hurewicz en el contexto de los espacios topológicos finitos. Uno de estos resultados establece que los fibrados entre espacios de Alexandroff con fibra T_0 sobre un espacio B están en correspondencia con los funtores que invierten morfismos desde B a la categoría de posets. Veremos además cómo utilizar esta propiedad para construir una función levantadora de caminos para dichos fibrados, lo que prueba que son, de hecho, fibraciones de Hurewicz.

Fecha: Miércoles 20 de octubre.
Expositor: John Nicholson (Imperial College London).
Título: The homotopy type of a finite 2-complex with non-minimal Euler characteristic


Abstract: We resolve two long-standing and closely related problems concerning stably free ZG-modules and the homotopy type of finite 2-complexes. In particular, for all k ≥ 1, we show that there exists a group G and a non-free stably free ZG-module of rank k. We use this to show that, for all k ≥ 0, there exists homotopically distinct finite 2-complexes with fundamental group G and with Euler characteristic k greater than the minimal value over G. This provides a solution to Problem D5 in the 1979 Problems List of C. T. C. Wall.

The talk itself will be self contained and no previous knowledge of stably free ZG-modules or the homotopy types of finite 2-complexes will be required.

Fecha: Miércoles 27 de octubre.
Expositor: Miguel Ottina (Universidad Nacional de Cuyo).
Título: Homología de posets con coeficientes en funtores


Abstract: Los grupos de homología de posets con coeficientes en funtores se definen como los funtores derivados del funtor colímite y admiten una definición equivalente que es similar a la de los grupos de homología clásicos de posets. En esta charla contaré varios resultados de un trabajo en conjunto con Nicolás Cianci en el que estudiamos homología de posets con coeficientes en funtores desde un punto de vista novedoso. En primer lugar, exhibiré algunos resultados simples y mostraré cómo pueden utilizarse estos resultados para calcular de manera eficiente los grupos de homología clásicos de posets por medio de una sucesión espectral homológica construida a partir de los grupos de homología con coeficientes en funtores de posets más pequeños. Daré también una demostración alternativa a una generalización de la sucesión exacta de Mayer-Vietoris para cubrimientos tipo base de posets. Finalmente, explicaré cómo se relaciona la homología de posets con coeficientes en funtores con la homología de Khovanov de nudos y con la cohomología cromática de grafos, y mostraré cómo se pueden obtener generalizaciones de resultados algebraicos clásicos de estas teorías utilizando homología de posets con coeficientes en funtores.

Fecha: Miércoles 3 de noviembre.
Expositor: Eugenio Borghini (Swansea University).
Título: : Una versión simplicial de la desigualdad sistólica.


Abstract: El sístole sys(X) de un espacio métrico X es un invariante métrico que consiste en la mínima longitud de un lazo no contráctil en X. Según una célebre desigualdad de Gromov (1983), todo complejo X de dimensión n equipado con una métrica riemanniana a trozos y esencial verifica una desigualdad de la forma Vol(X,g) >= C_n sys(X,g)^n para cierta constante C_n que depende sólo de la dimensión n. En el año 2009, con hipótesis un tanto más rígidas Guth dio una demostración completamente diferente de la desigualdad utilizando hipersuperficies minimales.

Recientemente, el argumento de Guth fue adaptado por S. Avvakumon, A. Balitiskiy, A. Hubard y R. Karasev [1], permitiendo establecer una versión discreta de la desigualdad de Gromov para complejos simpliciales. Dicho resultado no se deduce fácilmente de la versión métrica de la desigualdad y más aún, permite mejorar las constantes en el caso continuo bajo ciertas hipótesis cohomológicas. En esta charla presentaré la demostración de dicha desigualdad junto con algunas de sus consecuencias.

[1] Systolic inequalities for the number of vertices, S. Avvakumon, A. Balitiskiy, A. Hubard y R. Karasev. Disponible en Arxiv (https://arxiv.org/abs/2106.10429).

Fecha: Miércoles 10 de noviembre.
Expositor: Martín Blufstein.
Título: : Subgrupos parabólicos de grupos de Artin dos-dimensionales


Abstract: Los grupos de Artin constituyen una de las familias de grupos más estudiadas en teoría geométrica de grupos. Están estrechamente relacionados con los grupos de Coxeter, y al igual que ellos se definen a partir de un grafo finito etiquetado. Los subgrupos de un grupo de Artin generados por un subconjunto de los vértices de su grafo, y los subgrupos conjugados a estos, se llaman parabólicos. Un conocido resultado de van der Lek afirma que estos subgrupos son en sí mismos grupos de Artin. Es sabido que la intersección de subgrupos parabólicos de grupos de Coxeter es a su vez un subgrupo parabólico. Lo mismo sucede con los grupos de trenzas La pregunta para grupos de Artin todavía sigue abierta. Recientemente, en un artículo de Cumplido, Martin y Vaskou, se ha introducido una nueva estrategia geométrica para el estudio de este problema.

En esta charla veremos cómo utilizar esta estrategia para estudiar el problema de intersección de subgrupos parabólicos en el caso de grupos de Artin dos-dimensionales. Para ello introduciremos los complejos sistólicos-por-función, que son una generalización de los complejos sistólicos.

La charla será autocontenida y no es necesario tener conocimientos previos sobre grupos de Artin.

Fecha: Miércoles 17 de noviembre.
Expositor: Michael Farber (Queen Mary University of London).
Título: : Autonomous robot motion and topology


Abstract: In the autonomous regime a robot gets high level description of tasks and implements them without further human intervention. I will discuss topological questions which arise when programming an autonomous robot. I will make emphasise on some recent developments: topological complexity of groups, parametrised motion planning and Rationality Conjecture. I will also mention the version of the motion planning problem for "finite topological spaces".