Seminario de Geometría Diferencial
El seminario de Geometría Diferencial del Departamento
de Matemática es un ámbito de encuentro para exponer y discutir
temas de investigación actual de las distintas ramas de
la geometría diferencial así como también sus aplicaciones.
Cualquier
consulta contactarse con: Guillermo
Henry o Gabriel
Larotonda.
Próximas Charlas:
11/6/2018 Jimmy Petean, CIMAT,
Guanajuato, México.
Título: Soluciones nodales a la ecuación de Yamabe en
la esfera.
Horario 14:00 hrs, Sala de Conferencias
del DM/IMAS , 2do piso Pab. I
Resumen: Las soluciones positivas a la
ecuación de Yamabe en una variedad Riemanniana dan los factores conformes que
producen métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme. En la
esfera de curvatura constante la ecuación de Yamabe es $-\Delta u + n(n-2)/u u
= u^{p-1}$, donde $p$ es el exponente crítico de Sobolev. Por la invariancia
conforme esta ecuacion es equivalente a la ecuación en $R^n$, $-\Delta u =
u^{p-1}$. Las soluciones positivas a estas ecuaciones son bien conocidas, son
todas funciones radiales (es decir soluciones invariables por la acción de O(n)
). Las soluciones nodales son mucho mas variadas. Las construcciones conocidas
usan la existencia de acciones isométricas en la esfera para reducir la
ecuación a un problema subcrítico. En la charla contaré resultados conjuntos
con Juan Carlos Fernández sobre como construir nuevas soluciones, algunas no
provenientes de simetrías, mediante un estudio de double-shooting en ecuaciones
ordinarias.
Charlas Anteriores:
21/5/2018 Gabriel Larotonda, UBA-IAM-CONICET.
Título: El Lema de Gauss y curvas cortas en grupos con
métricas
bi-invariantes.
Horario 14:00 hrs, Sala de Conferencias
del DM/IMAS , 2do piso Pab. I
Resumen: En
una variedad Riemanniana (M,g) una geodésica puede pensarse como la solución
local de la ecuación de Euler de la conexión de Levi-Civita, que da lugar a la
exponencial Riemanniana; también puede
pensarse como una curva corta para la distancia inducida por la métrica. Ambas
nociones están relacionadas por el Lema de Gauss y el teorema de minimalidad
local. En un grupo de Lie G, hay también una noción natural de exponencial dada
por los flujos de los campos invariantes a izquierda en G. Cuando tenemos una
métrica Riemanniana bi-invariante en G, ambas nociones de exponencial
coinciden. En esta charla discutiremos como
estas ideas pueden extenderse a grupos de Lie con métricas bi-invariantes no
necesariamente Riemannianas (como por ejemplo, el grupo G de isometrías de un
espacio de Banach con su norma de operadores).
25/10/2017 Martín Miglioli, IAM-CONICET.
Título: Representaciones libres de multiplicidad en
secciones de fibrados de Hilbert holomorfos.
Horario 14:00 hrs, Aula de Seminario
del Depto. de Matemática.
Resumen:
Presentaremos resultados basados en geometría compleja que proveen varios tipos
de representaciones libres de multiplicidad (RLM) de grupos de Lie de dimensión
infinita. Una representación unitaria es
una RLM si el conmutante de su imagen es conmutativo. Estas representaciones
suelen tener descomposiciones en irreducibles canónicas y consecuentemente los
operadores que conmutan con la acción del grupo pueden ser diagonalizados
conforme a esta descomposición. Estos resultados implican que bajos ciertas
condiciones de compatibilidad con una involución antiholomorfa la existencia de
RLM sobre fibras de fibrados vectoriales complejos implica que representaciones
realizadas geométricamente en el espacio de secciones holomorfas de estos
fibrados también son libres de multiplicidad. Presentaremos algunos ejemplos en
el contexto infinito dimensional basados en descomposiciones de Cartan
aproximadas relacionadas con grupos de operadores y álgebras de von Neumann.
Trabajo en conjunto con K.-H. Neeb.
4/10/2017 Esteban Andruchow, UBA-IAM-CONICET.
Título: Pares
de proyectores ortogonales con diferencia fija.
Horario 14:00 hrs, Aula de Seminario
del Depto. de Matemática.
Resumen: Se estudia el conjunto de
pares P,Q de proyectores ortogonales en un espacio de Hilbert, cuya diferencia
P-Q=A es una contracción fija. La parte genérica (o no trivial) de este
conjunto es un espacio homogéneo reductivo conexo. El grupo que actúa es el grupo
unitario del conmutante de la parte genérica de A. Si se considera en este
espacio la métrica de Finsler cociente inducida por la norma de peradores, se
puede probar un teorema de Hopf-Rinow.
El presente trabajo fue realizado en colaboración con G. Corach.
28/06/2017 Jimmy Petean CIMAT,
Guanajuato, México.
Título: Multiplicidad
de soluciones a la ecuación de Yamabe
Horario 14:00 hrs, Aula 11 Pab. I
Resumen: El problema El problema de Yamabe consiste en encontrar
métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme de una variedad
Riemanniana. Encontrar tales métricas es equivalente a resolver la ecuación de
Yamabe, que es una EDP elíptica con exponente crítico.
El problema tiene distintas características dependiendo del signo de la
constante de Yamabe, que es el ínfimo de la funcional de Hilbert-Einstein
restringida a la clase conforme. Cuando la constante es positiva puede haber
más de una solución. Estudiaremos resultados de multiplicidad que se obtienen
por métodos topológicos.
15/11/2016 Carolina Rey,
UBA-CONICET.
Título: Soluciones de la Ecuación de Yamabe en regiones invariantes de la
esfera.
Horario 14:30 hrs, Aula 2.
Resumen: El problema
clásico de Yamabe consiste en mostrar que toda variedad riemanniana compacta
sin borde admite una métrica conforme con curvatura escalar constante.
Esto es equivalente a demostrar la existencia de soluciones a la ecuación de
Yamabe. En esta charla estudiaremos soluciones de esta ecuación en dos regiones
particulares de la esfera: En primer lugar, en los casquetes esféricos, que es
un espacio invariante por rotaciones, y luego en una región de la esfera de
dimensión 3 invariante por la acción natural del toro
25/10/2016 Eduardo Chiumiento, IAM-UNLP-CONICET.
Título: Interpretación geométrica de núcleos de
Toeplitz
Horario 15:00 hrs, Aula 2.
Resumen:
La Grassmannia de un espacio de Hilbert es un espacio homogéneo de dimensión
infinita dondese han estudiado diversas propiedades de las geodésicas. En esta
charla presentaremos resultados obtenidos en conjunto con E. Andruchow y G.
Larotonda acerca de la Grassmanniana del espacio de Hilbert L^2(T), T
circunferencia unitaria.Al fijar el espacio de Hilbert, veremos como la
estructura de las geodésicas se relaciona con propiedades de funciones
enespacios de Hardy, y operadores de Toeplitz y Hankel.
11/10/2016 Osvaldo Santillán,
CONICET-UBA.
Título: Teoremas de singularidades en teorías geométricas de la
gravedad
Horario 14:30 hrs, Aula 2
Resumen:
Esta charla se halla correlacionada con la de A. Bortz. El objetivo será
discutir la demostración de ciertos teoremas de singularidad, sin el uso de
teoría de Morse. En particular mostraremos que, bajos ciertas hipótesis de
hiperbolicidad global y con ciertas condiciones iniciales especialmente
seleccionadas, cualquier espacio tiempo en estas teorías es geodésicamente
incompleto. Esto vale incluso para soluciones no isótropas ni homogéneas.
Algunos teoremas sobre existencia y unicidad asociados a campos escalares,
junto con ciertas nociones topológicas sobre el espacio de las geodésicas en
variedades lorentzianas, son fundamentales en la demostración de estos teoremas
04/10/2016 Ariel Bortz.
Título: Teoría de Morse en el contexto de la geometría de Lorentz.
Horario 14:30 hrs, Aula 2, Pab. I.
Resumen:
El objetivo de esta charla será introducir al lector las ideas principales
detrás de la teoría de Morse en el contexto de la geometría de Lorentz y
presentar algunas aplicaciones de la misma en la teoría de loop spaces
temporales para espacio-tiempos globalmente hiperbolicos. En particular
mostraremos que, bajos ciertas hipótesis, solamente pueden haber finitas
geodésicas temporales dirigidas al futuro entre dos puntos, y que el espacio de
curvas temporales dirigidas al futuro suaves a trozos que unen a ambos puntos
tiene el tipo homotópico de un CW-complejo finito con una celda de dimensión
$\lambda$ por cada geodésica temporal dirigida al futuro de índice $\lambda$
que une a los puntos en cuestión. Seguimos el capítulo 10 del libro Global
Lorentzian Geometry de Beem, Ehrlich y Easly. Si queda tiempo, introduciré los
principales conceptos e ideas de la teoría de conjuntos causales.
20/9/2016 Martín Miglioli,
IAM-CONICET.
Título: La geometría de los operadores positivos inversibles de un álgebra C*.
Horario 14:30 hrs, Aula 2, Pab. I.
Resumen:
En esta charla repasaremos brevemente las estructuras geométricas básicas de
los operadores positivos inversibles de un álgebra C*: las simetrías, la
conexión y la estructura de longitud Finsleriana. Luego veremos la propiedad
"exponential metric increasing", la convexidad geodésica y un teorema
de descomposición. Si el tiempo lo permite indicaremos alguna relación de estos
espacios con problemas de similaridad. Repartiremos una muy pequeña reseña con
algunos artículos y resultados relacionados con distintos espacios de operadores
positivos e inversibles.
Notas
de la charla Aquí
23/8/2016 Guillermo Henry,
CONICET, UBA.
Título: Soluciones de la ecuación de Yamabe en presencia de simetrías.
Horario 14:30 hrs, Aula 2, Pab. I.
Resumen: En
esta charla discutiremos ciertos resultados sobre soluciones de la ecuación de
Yamabe en presencia de simetrías. Es decir, si G es un grupo compacto de isometrías
de la variedad Riemanniana (M,g) estaremos interesados en las soluciones de la
ecuación de Yamabe que resultan invariante por la acción del grupo G. El caso
de soluciones positivas (que inducen métricas Riemannianas de curvatura escalar
constante) es conocido como el problema
equivariante
de Yamabe. Introduciremos la segunda constante equivariante de Yamabe y veremos
como esta se relaciona con la existencia de soluciones nodales G-invariantes.
Los resultados son parte de un trabajo en colaboración con F.
Madani.
8/8/2016 Wilderich Tuschmann, Karlsruher Institut für
Technologie (KIT), Germany.
Título: Space of Riemannian metrics.
Horario 14:30 hrs, Aula de Seminario del
Departamento de Matemática.
Resumen: The existence and construction of
complete metrics with certain prescribed curvature propertiessuch as, e.g.,
positivity of scalar or Ricci curvature, nonnegativity or negativity of
sectional curvature, etc., constitutes a basic question and task in Riemannian
geometry. On the other hand, once the respective existence problem has been
solved, there is an equally important second one, namely: How `many' metrics of
the given type are there, and how `many' different geometries of this kind does
the manifold actually allow? To answer these questions, one is led to study the
corresponding spaces of metrics that satisfy the curvature characteristics one
is interested in, as well as their respective moduli spaces, i.e., the
quotients of these spaces by the action of the diffeomorphism group given by
pulling back metrics.
In my talk, I will present and survey results about
spaces and moduli spaces of complete Riemannian metrics with curvature bounds
on open and closed manifolds, here focussing mainly on connectedness and is
connectedness properties. And also discuss several open problems and questions
in the field.
17/12/2015 Jimmy Petean, CIMAT, Guanajuato, México.
Título: Estabilidad de métricas de curvatura escalar constante.
Horario 14:00 hrs, Aula 6, Pab. I.
Resumen:
Métricas de curvatura escalar constante se obtienen resolviendo la ecuación de
Yamabe en clases conformes. Cuando la curvatura escalar es positiva se tienen
en general múltiples soluciones a la ecuación. Es fundamental entender cuáles
de estas métricas de curvatura escalar constante minimizan energía, y para ello
se estudia su estabilidad. En la charla hablaré sobre la estabilidad de
soluciones en variedades no compactas y discutiré en particular el caso del
producto Riemanniano de esferas y espacios Euclideanos.
12/11/2015 Osvaldo Santillán, UBA- CONICET.
Título: Los teoremas de singularidad cosmológicos en relatividad General
Horario
14 hrs, Aula 11 Pab. I
Resumen:
En esta charla se discutirán los teoremas de singularidades de Hawking en
Relatividad General. Se le dará un énfasis especial a los aspectos topológicos
del problema, los cuales aparecen solo en variedades pseudo riemannianas, la
gran diferencia con las variedades riemannianas es que las primeras admiten
curvas nulas. Un rol especial en la demostración de estos teoremas lo juegan
los campos de Jacobi y la ecuación de Raychaudhuri, las cuales también se
discutirán en cierto detalle.
29/10/2015 Carolina Rey, UBA- CONICET.
Título: El problema de Yamabe en una subvariedad de S^3 invariante por la
acción del toro.
Horario 14 hrs, Aula 11 Pab. I
Resumen:
Dada una variedad Riemanniana el problema de Yamabe consiste en encontrar un
métrica conforme de curvatura escalar constante. Esto es equivalente a
demostrar la existencia de soluciones a la ecuación de Yamabe, y se resuelve
probando que siempre existe una solución que minimiza la energía. De aquí surge
el interés por estudiar multiplicidad de soluciones de la ecuación de Yamabe.
En esta charla contaremos resultados sobre multiplicidad de métricas de curvatura
escalar constante en una subvariedad de S^3 invariante por la acción del toro.
8/10/2015
Gabriel Larotonda, UBA- UNGS- IAM.
Título: Variaciones sobre variedades de Grassmann
14 hrs Aula 11 Pab. I
Resumen:
En esta charla vamos a revisar diversas presentaciones de la variedad de
subespacios de un espacio vectorial, con énfasis en la estructura diferenciable
y las métricas disponibles para calcular la distancia entre dos subespacios.
Las referencias incluyen trabajos de J. Holmes, Z. Kovarik, G. Corach, H.
Porta, L. Recht, D. Stojanoff, así como trabajos del charlista (incluyendo un
trabajo actualmente en estudio) en colaboración con E. Andruchow y E.
Chiumiento.
Referencias
de la charla Aquí. Notas de la charla Aquí.