\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2017}
\Practica{8}
\Titulo{Producto tensorial}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\ot{\otimes}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}
\renewcommand\a{\mathfrak{a}}
\renewcommand\k{\Bbbk}


\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec\;}
\DeclareMathOperator{\Hom}{\mathsf{Hom}}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\ann}{ann}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hyphenation{o-pe-ra-do-res su-ge-ren-cia a-be-lia-nos e-xis-te}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{quotation}
``After a few months, though, I realized something. I hadn’t gotten any better at
understanding tensor products, but I was getting used to not understanding them.
It was pretty amazing. I no longer felt anguished when tensor products came up;
I was instead almost amused by their cunning ways.'' ---Cathy O'Neil.
	\footnote{
	\texttt{https://mathbabe.org/2011/07/20/what-tensor-products-taught-me-about-living-my-life/}
	}
\end{quotation}

\section{Producto tensorial}
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un $\ZZ$-módulo de torsión y $D$ un $\ZZ$-módulo divisible. Probar que $A\otimes_\ZZ D=0$.

%%%%%%%%%%
\item Probar que $\QQ\ot_\ZZ\QQ\cong\QQ$.
\begin{Solucion}
Consideremos el producto $\mu: \QQ \times \QQ \to \QQ$. Esta función es bilineal y 
balanceada, con lo cual induce $\mu: \QQ \ot_\ZZ \QQ \to \QQ$ dada por $(p/q) \ot (r/s) 
\mapsto pr/qs$. Evidentemente $\mu$ es sobreyectiva. Por otro lado 
\[
  p/q \ot r/s = pr/q \ot 1/s = (pr/qs)s \ot 1/s = pr/qs \ot 1.
\]
Luego, si $\mu(\sum_i p_i/q_i \ot r_i/s_i) = \sum_i p_ir_i/q_is_i = 0$, entonces 
\[
  \sum_i \frac{p_i}{q_i} \ot \frac{r_i}{s_i}  = \left( \sum_i \frac{p_ir_i}{q_is_i} 
  \right) \ot 1 = 0 \ot 1 = 0.
\]
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo y sean $I,J\unlhd A$.
\begin{ejitems}
	\item Probar que $\left(A/I\right)\otimes_A\left(A/J\right)\cong A/(I+J)$.
	\item Concluir que $\ZZ_m\otimes_\ZZ\ZZ_n\cong \ZZ_d$, con $d=\mathrm{mcd}(m, n)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $\a\subseteq A$ un ideal bilátero y $M$ un $A$-módulo a 
izquierda. Mostrar que existe un isomorfismo $A/\a \ot_A M \cong M/\a M$.

%%%%%%%%%%
\item  Sean $A$ y $B$ anillos, $M$ un $A$-módulo a derecha, $N$ un $A$-$B$-bimódulo y $P$
un $B$-módulo a izquierda. Probar que:
\begin{ejitems}
\item $M \ot_A N$ es un $B$-módulo a derecha;
\item $N \ot_B P$ es un $A$-módulo a izquierda;
\item existe un isomorfismo natural
\[
  M\ot_A(N\ot_BP)\cong(M\ot_AN)\ot_BP.
\]
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $N$ un $A$-módulo a izquierda y sea $\{M_i\}_{i \in I}$ una familia de
	$A$-módulos a derecha. Probar que existe un isomorfismo natural
\[
	\Bigg( \bigoplus_{i \in I} M_i  \Bigg) \ot N
		\cong \bigoplus_{i \in I} M_i \ot N.
\]


%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $M$ un $A$-módulo a derecha y $\{M_i\}_{i \in I}$ una familia de
	submódulos de $M$ tal que $M = \sum_{i\in I} M_i$. Probar que si $N$ es un $A$-módulo
	a izquierda tal que $M_i \ot_A N = 0$ para todo $i\in I$ entonces $M \ot_A N = 0$.


%%%%%%%%%%
\item Sean $\k$ un cuerpo y $V$ y $W$ dos $\k$-espacios vectoriales. Hallar una base de $V \ot_\k W$ en función de bases de $V$ y $W$. Concluir que si	$V$ y $W$ son de dimensión finita, también lo es su producto tensorial.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo y sean $M$ y $N$ dos $A$-módulos.
\begin{ejitems}
	\item Probar que si $M$ y $N$ son finitamente generados, entonces $M\ot_A N$ también lo es.
	\item Probar que si $M$ y $N$ son proyectivos, entonces $M\ot_A N$ también lo es.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item\header{Producto tensorial de álgebras} Sea $\k$ un cuerpo y sean $A$ y $B$
dos $\k$-álgebras. Mostrar que la fórmula
\[
  (a\ot b)\cdot (a'\ot b')=(aa')\ot (bb').
\]
define una estructura de $\k$-álgebra en $A\ot_\k B$. (¡Probar que ese producto está bien definido!)

%%%%%%%%%%
\item Sean $\k$ un cuerpo, $A$ una $\k$-álgebra y $n$, $m\in \NN$. Probar que existen
isomorfismos de álgebras:
  \begin{ejitems}
		\item $A[X]\cong \k[X]\ot_\k A$;
		\item $M_n(A)\cong M_n(\k)\ot_\k A$;
		\item $M_{nm}(A)\cong M_n(A)\ot_\k M_m(A)$.
  \end{ejitems}

\section{Módulos playos}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
	\item Probar que todo $A$-módulo libre es playo.
	\item Probar que todo sumando directo de un $A$-módulo playo es playo.
	\item Concluir que todo $A$-módulo proyectivo es playo.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo y $M$ y $N$ $A$-módulos playos. Probar que $M\ot_A N$
es un $A$-módulo playo.

\item*
Sea 
\[
  0 \to M' \to M \to M'' \to 0
\]
una sucesión exacta de $A$-módulos a izquierda con $M''$ playo. Probar que para todo
$A$-módulo a derecha $N$ la sucesión 
\[
  0 \to N \ot_A M' \to N \ot_A M \to N \ot_A M'' \to 0
\]
es exacta. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Localización de módulos}
En esta sección $A$ es un anillo y $S\subseteq A$ es un subconjunto central
multiplicativamente cerrado. El morfismo natural $A \to A_S$ nos permite ver a
cualquier $A_S$-módulo como un $A$-módulo.


%%%%%%%%%%
\item\header{Localización de módulos} Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda. Probar que:
\begin{ejitems}
\item Existen un $A_S$-módulo a izquierda $M_S$ y un morfismo de $A$-módulos
  $j_M: M \to M_S$ con la siguiente propiedad universal: dado un $A_S$-módulo a izquierda $N$ y un
  morfismo de $A$-módulos $f: M \to N$, existe un único morfismo de
  $A_S$-módulos $\overline{f}:M_S \to N$ tal que el siguiente diagrama conmuta:
  \begin{align*}
  \xymatrix{
    M \ar[d]_-{j_M} \ar[r]^-f & N \\
    M_S \ar[ur]_-{\overline{f}}
  }
  \end{align*}
	Equivalentemente: para todo $A_S$-módulo a izquierda $N$, la aplicación $\mathrm{Hom}_{A_S}(M_S,N)\to\mathrm{Hom}_A(M,N)$, $f\mapsto f\circ j_M$, es una biyección.
\item El módulo $M_S$ es isomorfo a $A_S \ot_A M$ como $A_S$-módulo.
\item Si para todo $s\in S$ la
  aplicación $m \in M \mapsto sm \in M$ es biyectiva, entonces $j_M:M\to M_S$
  es un isomorfismo.
\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos, existe un
  único morfismo $f_S:M_S\to N_S$ tal que el siguiente diagrama conmuta:
  \[\xymatrix{
  M \ar[r]^{f} \ar[d]_-{j_M} 
    & N \ar[d]^-{j_N}
    \\
  M_S \ar[r]^-{f_S} 
    & N_S
  }\]
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda finitamente generado. Probar que $M_S=0$
  si y solo si existe $s\in S$ tal que $sM=0$. ¿Qué ocurre si $M$ no es
  finitamente generado?
%%%%%%%%%%
\item\header{Exactitud de la localización} Probar que para toda sucesión exacta
  corta de $A$-módulos 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]^-f
    & M \ar[r]^g
    & M'' \ar[r]
    & 0,
  }\]
el diagrama obtenido al localizar en $S$ 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M'_S \ar[r]^-{f_S}
    & M_S \ar[r]^{g_S}
    & M''_S \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de $A_S$-módulos. Concluir que $A_S$ es un $A$-módulo playo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es libre entonces $M_S$ es libre como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es proyectivo entonces $M_S$ es proyectivo como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es finitamente generado entonces $M_S$ es finitamente generado
como $A_S$-módulo.
\end{ejitems}



%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un $A$-módulo y sean $P, Q \subseteq M$ submódulos. Probar que:

\begin{ejitems}
\item $(P+Q)_S = P_S+Q_S$;

\item $(P\cap Q)_S=P_S\cap Q_S$;

\item $(M/P)_S\cong M_S/P_S$.

\end{ejitems}


\end{ejercicios}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
