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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2017}
\Practica{3}
\Titulo{Anillos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
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\hyphenation{ha-bi-tual-men-te}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}

\maketitle

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ejercicios}

\section{Ejemplos y construcciones}

\item Probar que los siguientes conjuntos son anillos con las operaciones indicadas. Decidir en cada caso si son conmutativos, íntegros, de división, cuerpos, etc.
\begin{ejitems}
\item $M_8(\RR)$ con el producto y la suma de matrices.
\item $\ZZ_{12}[X]$ con el producto usual de polinomios.
\item $\ZZ[\sqrt d] = \{a + b \sqrt d \mid a, b \in \ZZ\}$ donde $d \in \ZZ$ es libre de cuadrados, con la suma y el producto de números complejos.
\item $\mathcal C^6(0,1) = \{f: (0,1) \to \RR \mid \mbox { las primeras $6$ derivadas de 
$f$ existen y son continuas}\}$, con la suma y el producto usual de funciones.
\item $A = \left\{\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} : a,b \in \RR\right\} 
\subset M_2(\RR)$, con el producto y la suma de matrices.
\end{ejitems}

\item Si $A$ es un grupo abeliano entonces $\End A$, el conjunto de endomorfismos de
grupo de $A$, es un anillo con la suma habitual de funciones y la composición como 
producto. Encontrar descripciones explícitas para este anillo cuando $A$ es $\ZZ^n$ o 
$\ZZ_n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sean $A$ un anillo y $\mathcal C$ una familia de subanillos de $A$.
Mostrar que $B=\bigcap_{C\in\mathcal C}C$ es un subanillo de $A$.

\item Sean $A$ un anillo, $B\subseteq A$ un subanillo y $X\subseteq A$. Mostrar que
existe un subanillo $B[X]$ de $A$ que contiene a $X$ y a $B$ y tal que cualquier otro
subanillo de $A$ que contiene a $B$ y a $X$ contiene a $B[X]$.

\item Sea $\eta$ una raíz primitiva sexta de la unidad y $\omega$ una raíz primitiva 
$p$-ésima de la unidad, donde $p$ es algún número primo. Describir explícitamente 
$\ZZ[\sqrt2]$, $\ZZ[\sqrt[3]5]$, $\ZZ[i]$, $\ZZ[\eta]$, $\ZZ[\sqrt 6, \sqrt p]$ y 
$\ZZ[\omega]$ como subanillos de $\CC$.
\end{ejitems}

\item\header{Anillos de matrices} Sean $A$ un anillo y $n\in\NN$. Probar que el conjunto de matrices
$M_n(A)$ con coeficientes en $A$ es un anillo con respecto a las operaciones
usuales de suma y producto de matrices. Probar que si $n>1$, entonces $M_n(A)$ no es
conmutativo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de funciones} Sean $A$ un anillo y $X$ un conjunto no vacío. Sea $A^X$ el conjunto de
todas las funciones $X\to A$. Definimos operaciones $\mathord{+},
\mathord{\cdot}:A^X\times A^X\to A^X$ de la siguiente manera: dadas $f, g\in A^X$ 
  \begin{gather*}
  (f + g)(x) = f(x) + g(x)  \qquad \mbox{para todo } x \in X,\\
\intertext{y}
  (f\cdot g)(x) = f(x)g(x)  \qquad\qquad \mbox{para todo } x \in X.
  \end{gather*}
Mostrar que $(A^X,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. ¿Cuándo es conmutativo?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de polinomios}
Sea $A$ un anillo, y sea
\[
  S=\{f:\NN_0\to A \mid \text{existe un conjunto finito $T \subset \NN_0$ tal que $f|_{T^c} \equiv 0$} \}.
\]
Definimos operaciones de suma y producto  $\mathord{+}, \mathord{\cdot}:S\times
S\to S$ de la siguiente manera: para cada $f, g\in S$ y cada $n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Mostrar que estas operaciones están bien definidas y que $(S, \mathord{+}, 
\mathord{\cdot})$ es un anillo.\\ 

\noindent
Sea $X$ una variable formal. Si $f \in S$ y $T \subset \NN$ es tal que $f|_{T^c} \equiv 
0$, podemos representar a $f$ por la suma finita formal 
\[
  \sum_{n \in T} f(n) X^n.
\] 
Con esta notación, las operaciones de $S$ imitan formalmente las correspondientes 
operaciones entre polinomios. Llamamos a $S$ el \emph{anillo de polinomios con 
coeficientes en $A$} y lo notamos $A[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de series formales} Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $S=\{f:\NN_0\to A\}$ el conjunto de todas las
funciones de $\NN_0$ a $A$. Definimos operaciones $\mathord{+},
\mathord{\cdot}:S\times S\to S$ de la siguiente manera: para cada $f, g\in S$ y cada
$n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Mostrar que $(S,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. 
\end{ejitems}
\noindent Sea $X$ una variable formal. Podemos representar a una función $f\in S$ por 
una serie 
  \[
  f = \sum_{n=0}^\infty f(n)X^n.
  \]
Usando esta notación, las definiciones de la suma y el producto de $S$ imitan
formalmente a las correspondientes operaciones con las series. Llamamos a $S$ el 
\emph{anillo de series formales de potencias con coeficientes en $A$}, y lo notamos
 $A\S X$. 
\begin{ejitems}[resume]
\item Probar que la función representada por la serie $1-X$ es inversible en $A \S X$. 

\item Tomamos ahora $A=\RR$ y sea $\RR\{\!\!\{X\}\!\!\}\subset\RR\S X$ el subconjunto de
las series formales que tienen radio de convergencia positivo. Mostrar que se
trata de un subanillo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo de grupo}
Sean $G$ un grupo y $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $A[G]$ el conjunto de todas las funciones $f:G\to A$ tales que 
  \[
  \abs{\{g\in G:f(g)\neq0\}}<\infty.
  \]
Definimos operaciones $\mathord{+},\,\mathord{\cdot}:A[G]\times A[G]\to A[G]$
de la siguiente manera: para cada $s,t\in A[G]$ y cada $g\in G$,
  \[
  (s+t)(g)=s(g)+t(g)
  \]
y
  \[
  (s\cdot t)(g)=\sum_{h\in G}s(gh^{-1})t(h).
  \]
Mostrar que $(A[G],\,\mathord{+},\,\mathord{\cdot})$ es un anillo.

\item Supongamos desde ahora que $A=\k$ es un cuerpo. Mostrar que $\k[G]$ es un
subespacio vectorial del espacio vectorial $\k^G$ de todas las funciones $G\to
\k$.

\item Dado $g\in G$, sea $\hat g:G\to \k$ la función definida por
  \[
  \hat g(h) = \begin{cases}
                1, & \text{si $g = h$;} \\
                0, & \text{en caso contrario.}
              \end{cases}
  \]
Mostrar que $\{\hat g:g\in G\}$ es una base de $\k[G]$. En particular,
todo elemento $f\in \k[G]$ puede escribirse como
  \[
  f=\sum_{g\in G} \alpha_g\,\hat g
  \]
con coeficientes $\alpha_g\in \k$ casi todos nulos.

\item Mostrar que si $g, h\in G$, entonces $\hat g\cdot \hat h=\widehat{gh}$.
  
\item* Describir el centro de $\k[G]$ cuando $G$ es finito. ¿Qué pasa cuando $G$ es
infinito?
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{El álgebra de Weyl}
Sea $\End_\CC(\CC[X])$ el anillo de endomorfismos de $\CC[X]$ considerado como
$\CC$-espacio vectorial. Sean $p, q\in\End_\CC(\CC[X])$ definidos de la
siguiente manera: si $f\in\CC[X]$, entonces
  \[
  p(f) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dX},
  \qquad\text{y}\qquad
  q(f) = X f.
  \]
Sea $A=\CC[p,q]$ el menor subanillo de $\End_\CC(\CC[X])$ que contiene a
$\CC$, a $p$ y a~$q$. Llamamos a $A$ el \emph{álgebra de Weyl}.

\begin{ejitems}
\item Probar que $pq-qp=1$.

\item Probar que $A$ es una $\CC$-álgebra de dimensión infinita sobre $\CC$, y que 
$\{p^iq^j:i,j\in\NN_0\}$ es una base.

\item Describir el centro de $A$.

\item Mostrar que $A$ no posee divisores de cero y describir el conjunto de sus unidades.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo opuesto}
\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo. Sea $\ast:A\times A\to A$ la
operación definida por
  \[
  a\ast b = ba,\qquad\forall a, b\in A.
  \]
Probar que $(A,+,\ast)$ es un anillo. Se trata del \emph{anillo opuesto de
$A$}, que escribimos habitualmente $A^\op$.

\item Mostrar con un ejemplo que en general $A\not\cong A^\op$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada con entradas enteras, tal que la suma de 
los elementos de cualquier fila o columna es igual a la suma de los elementos de 
cualquier otra fila o columna. Probar que para cada $n \in \NN$ los cuadrados 
mágicos de tamaño $n$ forman un subanillo de $M_n(\RR)$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto. Mostrar que
$(\mathcal{P}(X),\,\mathord{\triangle},\,\mathord{\cap})$ es un anillo.
Aquí $\mathord{\triangle}$ es la operación diferencia simétrica.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Probar las siguientes afirmaciones.

\begin{ejitems}
\item Si cada elemento de $A$ tiene inverso a izquierda entonces $A$ es un anillo de 
	división.

\begin{Solucion}
Supongamos que para cada $x\in A$ existe $x'\in A$ tal que $xx'=1$ y sea $a\in
A$. Por hipótesis, existe $a'\in A$ tal que $aa'=1$. Otra vez pr la hipótesis,
existe $a''\in A$ tal que $a'a''=1$. Pero entonces
  \[
  a = a1 = a(a'a'')=(aa')a'' = 1a''=a''
  \]
y vemos que $a'$ es un inverso a derecha de $a$.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $a\in A$. Si existe $n\in\NN$ tal que $a^n$ es inversible, entonces
$a$ es inversible.

\begin{Solucion}
Supongamos que $b$ es el inverso de $a^n$. Sea $c=ba^{n-1}$. Por hipótesis es
$ca=ba^n=1$. Por otro lado
  \[
  ac-1 
    = (aba^{n-1}-1)a^nb
    = aba^na^{n-1}b-a^nb
    = a^nb - a^n b
    = 0
  \]
así que $ac=1$.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Idempotentes}
Sea $A$ un anillo. Un elemento $e\in A$ es \emph{idempotente} si $e^2=e$. Probar las 
siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $e\in A$ es idempotente, el subconjunto $eAe$ con las operaciones de
$A$ restringidas es un anillo. Se trata de un subanillo de $A$ si y solo si $e=1$.
\item Si $e\in A$ es idempotente, entonces $1-e$ también lo es.
\item Sea $G$ un grupo finito y sea $\k$ un cuerpo en el que $|G|\ne 0$. Probar que
\[e=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\]
es un idempotente en $\k[G]$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{Anillos booleanos}
Un anillo $A$ es \emph{booleano} si todos sus elementos son idempotentes.
\begin{ejitems}
\item Probar que si $X$ es un conjunto, entonces el anillo $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$
es booleano.
\item Probar que un anillo booleano es conmutativo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Morfismos, ideales y cocientes}
En toda esta sección $A$ y $B$ son anillos. Denotamos $\Hom(A,B)$ al conjunto de morfismos de anillos $A\to B$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
\begin{ejitems}
\item Mostrar que hay exactamente un morfismo de anillos $\ZZ\to A$.
\item Mostrar que hay a lo sumo un morfismo de anillos $\QQ\to A$ y que puede no
haber ninguno.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to\RR$ un morfismo de anillos. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $f(\QQ)\subseteq\QQ$, y de hecho $f|_\QQ=\id_\QQ$.
\item La aplicación $f$ es estrictamente creciente. 
\end{ejitems}
\noindent Concluir que $f = \id_\RR$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo. Decidir en cada caso si existe un morfismo de anillos 
$f:A\to B$:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $A=\ZZ[i]$ y $B=\RR$;
\item $A=\ZZ[\sqrt{-5}]$ y $B=\ZZ[\sqrt3]$;
\item $A=\k$ y $B=M_n(\k)$;
\item $A=M_n(\k)$ y $B=\k$.
\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. El \emph{grupo de unidades de $A$} es el conjunto
\[\cU(A)=\{a\in A\mid a\text{ es inversible}\}\]
con la multiplicación de $A$.
\begin{ejitems}
	\item Probar que $\cU(A)$ es un grupo.
	\item Hallar las unidades de $\ZZ$ y $\ZZ[\sqrt{2}]$.
	\item Probar que $\cU(A[X])=\cU(A)$.
	\item Sea $G$ un grupo. Probar que $1\cdot G\subseteq \cU(\ZZ[G])$ pero que no vale la igualdad.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar que si $G$ es un grupo, la aplicación
\[\begin{aligned}\Hom(\ZZ[G],A)&\to \Hom_{\Grp}(G,\cU(A)) \\
f&\mapsto f|_G\\\end{aligned}\]
es una biyección.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\mathcal I$ una familia de ideales a izquierda (a derecha,
biláteros) de $A$.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que $\bigcap_{I\in\mathcal I} I$ es un ideal a
izquierda (a derecha, bilatéro) de $A$. Se trata del ideal más grande contenido
en todos los ideales de $\mathcal I$.

\item Mostrar que $\sum_{I\in\mathcal I}I$ es un ideal a izquierda (a
derecha, bilátero) de $A$. Se trata del ideal más chico que contiene a todos los
ideales de $\mathcal I$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $I\subseteq A$ un ideal bilátero. Sea $J$ el ideal generado por $I$ en $A[X]$. Mostrar que $A[X]/J\cong (A/I)[X]$.

\newpage
\item \header{Ideales biláteros de $M_n(A)$}
\begin{ejitems}
\item Sean $I\subseteq A$ un ideal bilátero y $n\in\NN$. Sea $M_n(I)\subseteq M_n(A)$ el subconjunto de las matrices de 
$M_n(A)$ que tienen todos sus coeficientes en $I$. Mostrar que $M_n(I)$ es un ideal
bilátero de $M_n(A)$ y que $M_n(A)/M_n(I)\cong M_n(A/I)$.

\item Probar que si $J\subseteq M_n(A)$ es un ideal
bilátero, entonces existe un ideal bilátero $I\subseteq A$ tal que $J=M_n(I)$.

\begin{Indicacion}
\def\n{\mathbf{n}}
Tomar $I = \{a \in A \mid a = M_{1,1} \mbox{ para alguna matriz } M \in J\}$. 
\end{Indicacion}

\item Probar que si $\k$ es un cuerpo, entonces $M_n(\k)$ es simple --es decir que los únicos ideales biláteros de $M_n(\k)$ son $0$ y $M_n(\k)$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \header{Ideales a izquierda de $M_n(\k)$} Sea $\k$ un cuerpo.
\begin{ejitems}
	\item Sean $V\subseteq \k^n$ un subespacio vectorial e $I_V$ el subconjunto de $M_n(\k)$ formado por todas las matrices cuyas filas pertenecen a $V$. Probar que $I_V$ es un ideal a izquierda de $M_n(k)$.
	\item Probar que todo ideal a izquierda de $M_n(\k)$ es de la forma $I_V$ para algún subespacio $V\subseteq \k^n$.

\begin{Indicacion}
Llamar $V$ al conjunto formado por las todas filas de todas las matrices del ideal y probar que es un subespacio.
\end{Indicacion}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar que $\Z(M_n(A))=\Z(A)\cdot\id$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo. Sean $G$ un grupo y $H\unlhd G$ un subgrupo normal, y 
consideremos la proyección canónica $\pi:G\to G/H$. Mostrar que $\pi$
determina un morfismo sobreyectivo de anillos $\k[\pi]:\k[G]\to \k[G/H]$. Describir
el núcleo de $\k[\pi]$.


\section{Anillos conmutativos}
En esta sección $A$ es un anillo conmutativo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $A$ es un cuerpo sii los únicos ideales de $A$ son $0$ y $A$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \begin{ejitems}
\item Sea $a\in A$ un elemento que no es inversible. Mostrar que existe un ideal
maximal $\mathfrak m\subseteq A$ tal que $a\in\mathfrak m$.
\item Sea $I\subsetneq A$. Mostrar que existe un ideal maximal
$\mathfrak m\subseteq A$ tal que $I\subseteq\mathfrak m$.
\end{ejitems}

\begin{Definicion}
Decimos que un ideal $\p\subsetneq A$ es \emph{primo} si
\[
  ab\in\p \implies a\in p\vee b\in p.
\]
Notamos por $\Spec A$ al conjunto de todos los ideales primos de $A$.
\end{Definicion}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Un ideal $\p\subsetneq A$ es primo sii $A/\p$ es un dominio de integridad.
\item Un ideal maximal de $A$ es primo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar $\Spec\ZZ$. Identificar qué ideales primos de $\ZZ$ son maximales.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\k$ un cuerpo. Mostrar que si $\p\in\Spec \k[X]$, entonces existe un único
$f\in\p$ mónico e irreducible tal que $\p=(f)$. Recíprocamente, probar que todo ideal
principal generado por un polinomio mónico e irreducible es primo en $\k[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Sea $f:A\to B$ un morfismo de anillos. Probar que si $\p\in\Spec B$, entonces $f^{-1}(\p)\in\Spec A$. En particular, si $A\subseteq B$ es un subanillo y $\p\in\Spec B$, entonces $\p\cap A\in\Spec A$.

\item Sea $I\subseteq A$ un ideal. Probar que la correspondencia entre ideales de $A$ que contienen a $I$ e ideales de $A/I$ se restringe a una correspondencia entre los ideales primos de $A$ que contienen a $I$ y los ideales primos de $A/I$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Mostrar que todo ideal primo no nulo de $\ZZ[X]$ es de alguna de las siguientes
	formas:
\begin{ejitems}
\item $(p)$, con $p \in \NN$ primo;
\item $(f)$, con $f \in \ZZ[X]$ un polinomio mónico irreducible;
\item $(p,f)$, con $p$ primo y $f$ irreducible en $\ZZ_p[X]$.
\end{ejitems}

\begin{Indicacion}
Sea $\p\in\Spec\ZZ[X]$. Mostrar que si $\p\cap\ZZ \neq \{0\}$ entonces es un 
ideal principal de $\ZZ$ generado por un número primo $p$, así que en particular 
$(p)\subseteq\p$.
Considerar ahora el ideal $\p/(p)$ de $\ZZ[X]/(p)\cong\ZZ_p[X]$ y usar un
ejercicio anterior que describe los ideales primos de este anillo.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Nilradical} Un elemento $a\in A$ es
\emph{nilpotente} si existe $n\in\NN$ tal que $a^n=0$. El \emph{nilradical de
$A$} es el conjunto $\nil(A)=\{a\in A:\text{$a$ es nilpotente}\}$. Probar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item $\nil(A)$ es un ideal de $A$;
\item $\nil(A/\nil(A))=0$;
\item $\nil(A)=\bigcap_{\p\in\Spec A}\p$;
\item si $x\in\nil(A)$, entonces $1+x$ es inversible.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Radical de Jacobson} El \emph{radical de Jacobson de $A$} es la 
intersección de todos los ideales maximales de $A$, y se nota $J(A)$.
Mostrar que $x\in J(A)$ sii para cada $y\in A$ se tiene que $1-xy$ es inversible.


\end{ejercicios}
\end{document}
