Cursos
Título: Variedades Nearly Kähler
generalizadas.
Resumen:
Resumen:
Las p-formas de Killing-Yano fueron
introducidas por Kentaro Yano en 1952 como una generalización natural
de los campos (1-formas) de Killing. Fueron estudiadas por varios
físicos a partir del trabajo de R. Penrose-M. Walker (1970).
Los tensores conformes de Killing-Yano, que generalizan los campos (1-formas ) conformes fueron aplicados para definir simetrías en ecuaciones de campos. Cuando uno se restringe a 2-formas, y en particular a 2-formas no degeneradas aparece como caso particular la muy rica geometría de las variedades NK (Nearly Kähler). En estas charlas presentaremos los conceptos básicos y algunos resultados clásicos y recientes así como una gran cantidad de preguntas.
Los tensores conformes de Killing-Yano, que generalizan los campos (1-formas ) conformes fueron aplicados para definir simetrías en ecuaciones de campos. Cuando uno se restringe a 2-formas, y en particular a 2-formas no degeneradas aparece como caso particular la muy rica geometría de las variedades NK (Nearly Kähler). En estas charlas presentaremos los conceptos básicos y algunos resultados clásicos y recientes así como una gran cantidad de preguntas.
Título: La variedad de álgebras de
Lie y sus apliaciones geométricas.
Resumen:
Resumen:
Fijado un
espacio vectorial, el conjunto de todos los corchetes de Lie (i.e.
formas bilineales antisimétricas que satisfacen Jacobi) forma un
conjunto algebraico llamado la variedad de álgebras de Lie.
Si fijamos también un tensor sobre el espacio vectorial (e.g. un producto interno, una estructura compleja, una 2-forma no degenerada, una terna casi-hermitiana, una 3-forma positiva, etc.), entonces cada punto de la variedad queda identificado con el correspondiente grupo de Lie munido de la estructura geométrica invariante a izquierda determinada por el tensor (e.g. una métrica Riemanniana, una estructura compleja, una estructura simpléctica, una estructura casi-hermitiana, una estructura G2, respectivamente).
En el curso, luego de repasar las propiedades de la variedad (e.g. componentes irreducibles, órbitas abiertas, degeneraciones), estudiaremos algunas aplicaciones a las distintas geometrías arriba mencionadas usando este punto de vista. Los resultados más fuertes están relacionados a ecuaciones de evolución geométricas (e.g. el flujo de Ricci para métricas Riemannianas), cuestiones de regularidad del flujo y las respectivas soluciones auto-similares o solitones.
Si fijamos también un tensor sobre el espacio vectorial (e.g. un producto interno, una estructura compleja, una 2-forma no degenerada, una terna casi-hermitiana, una 3-forma positiva, etc.), entonces cada punto de la variedad queda identificado con el correspondiente grupo de Lie munido de la estructura geométrica invariante a izquierda determinada por el tensor (e.g. una métrica Riemanniana, una estructura compleja, una estructura simpléctica, una estructura casi-hermitiana, una estructura G2, respectivamente).
En el curso, luego de repasar las propiedades de la variedad (e.g. componentes irreducibles, órbitas abiertas, degeneraciones), estudiaremos algunas aplicaciones a las distintas geometrías arriba mencionadas usando este punto de vista. Los resultados más fuertes están relacionados a ecuaciones de evolución geométricas (e.g. el flujo de Ricci para métricas Riemannianas), cuestiones de regularidad del flujo y las respectivas soluciones auto-similares o solitones.
Título: Métricas de curvatura
escalar constante: geometría y análisis.
Resumen:
Resumen:
La
curvatura escalar de una métrica Riemanniana en una variedad
diferenciable M es la función suave s en M que en cada punto p nos da
el promedio de las curvaturas seccionales de planos tangentes a p. La
curvatura escalar total, o funcional de Hilbert-Einstein, es la
integral de s sobre M (normalizada apropiadamente) y juega un rol
central en los procesos de geometrización en M. El curso se centrará en
un proceso min-max sobre esta funcional: veremos en particular
que minimizándola sobre una clase conforme se prueba la existencia de
métricas en M de curvatura escalar constante. Tomando luego el supremo sobre la familia de
clases conformes se obtiene un
invariante de la estructura diferenciable de M, el invariante de Yamabe. Estudiaremos el comportamiento
del invariante bajo cirugías
y como se aplica la teoría de cobordismo para su cálculo. Finalmente se
vera como técnicas de análisis y de ecuaciones en
derivadas parciales se utilizan para entender el espacio de métricas de
curvatura escalar constante en clases conformes que son
fundamentales para entender el invariante.
Título: Dinámica en Superficies.
Resumen:
Algunas referencias Adicionales:
Resumen:
Desde
la década de los 80, la teoría de la dinámica de homeomorfismos de
superficies (isotópicos a la identidad) se ha venido desarrollado
activamente y con creciente interés en el área de Sistemas Dinámicos.
En particular ha sido exitosa en extender algunos resultados a
superficies de la clásica teoría de rotación de Poincaré sobre
homeomorfismos del círculo.
Mas en concreto, Misiurewicz y Ziemian propusieron como objeto de interés dinámico lo que se conoce como "conjunto de rotación" y probaron resultados interesantes sobre el mismo. Desde entonces se ha tratado de obtener información dinámica a partir de la estructura de este conjunto. Y de hecho se han obtenido importantes resultados (algunos ya "clásicos") y se han propuesto conjeturas.
En el curso veremos los aspectos básicos de la teoría y algunos resultados claves e importantes de la misma. El curso no tiene mayores prerequisitos, salvo un cierto manejo de topología.
Mas en concreto, Misiurewicz y Ziemian propusieron como objeto de interés dinámico lo que se conoce como "conjunto de rotación" y probaron resultados interesantes sobre el mismo. Desde entonces se ha tratado de obtener información dinámica a partir de la estructura de este conjunto. Y de hecho se han obtenido importantes resultados (algunos ya "clásicos") y se han propuesto conjeturas.
En el curso veremos los aspectos básicos de la teoría y algunos resultados claves e importantes de la misma. El curso no tiene mayores prerequisitos, salvo un cierto manejo de topología.
- Rotation sets for maps of Tori. Misiurewicz-Ziemian.J. London MAth
Soc (2) 40 (1989).
- Realizing rotation vectors for torus homemorphisms. John Franks.
Transaction AMS, 311 (1), 1989
- Ensembles de rotation des homeomorphismes du tore. Francois Beguin.
Notas curso Grenoble. https://www.math.univ-paris13.fr/~beguin/Publications_files/cours-2.pdf
-Exotic rotations. Sylvain Crovisier. Notas de curso Grenoble.
http://www.math.u-psud.fr/~crovisie/grenoble2006.pdf
- From Brouwer theory to the study of homeomorphisms of surfaces.
Patrice Le Calvez. ICM2006. Volume III.
Soc (2) 40 (1989).
- Realizing rotation vectors for torus homemorphisms. John Franks.
Transaction AMS, 311 (1), 1989
- Ensembles de rotation des homeomorphismes du tore. Francois Beguin.
Notas curso Grenoble. https://www.math.univ-paris13.fr/~beguin/Publications_files/cours-2.pdf
-Exotic rotations. Sylvain Crovisier. Notas de curso Grenoble.
http://www.math.u-psud.fr/~crovisie/grenoble2006.pdf
- From Brouwer theory to the study of homeomorphisms of surfaces.
Patrice Le Calvez. ICM2006. Volume III.