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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{7}
\Titulo{Módulos libres, proyectivos e inyectivos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}
\renewcommand\k{\Bbbk}


\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec\;}
\DeclareMathOperator{\Hom}{\mathsf{Hom}}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\ann}{ann}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $G$ un grupo. Probar que $A[X]$ y $A[G]$ son $A$-módulos libres.


%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo.
\begin{ejitems}
		\item Probar que cualquier subconjunto $\{a_1,a_2\}\subseteq A$ es linealmente dependiente. Concluir que si un ideal no nulo $I\subseteq A$ es un $A$-módulo libre, entonces $I\cong A$ como $A$-módulo --de donde sigue que $I$ es un ideal principal.
		\item Sea $A=\ZZ[X]$. Probar que $I=\langle 2,X\rangle$ no es un $A$-módulo libre.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Probar que $\QQ$ no es un $\ZZ$-módulo libre. ¿Es proyectivo?

%%%%%%%%%%
\item*\header{Un producto arbitrario de módulos libres puede no ser libre} Sea $M=\prod_{i=1}^{\infty}\ZZ=\ZZ^{\NN}$; los elementos de $M$ son sucesiones de números enteros indexadas por $\NN$. El objetivo de este ejercicio es probar que $M$ no es un $\ZZ$-módulo libre. Sea $N$ el submódulo de $M$ formado por las sucesiones de soporte finito --es decir, aquellas que tienen finitos coeficientes no nulos. Supongamos que $M$ es un $\ZZ$-módulo libre con base $B$.
\begin{ejitems}
		\item Probar que $N$ es numerable.
		\item Probar que existe un subconjunto $B_1\subseteq B$ tal que $N$ está contenido en el submódulo $N_1$ generado por $B_1$. Probar que $N_1$ también es numerable.
		\item Sea $\overline{M}=M/N_1$. Probar que $\overline{M}$ es un $\ZZ$-módulo libre. Deducir que si $\overline{x}\in\overline{M}$ es no nulo, entonces existen finitos enteros $k$ tales que $\overline{x}=k\overline{y}$ para algún $\overline{y}\in\overline{M}$ ($\overline{y}$ depende de $k$).
		\item Sea $S=\{(b_1,b_2,b_3,\dots)\in\ZZ^{\NN}\mid b_i=\pm i!\mbox{ para todo }i\}$. Probar que $S$ es no numerable y deducir que existe $s\in S$ con $s\notin N_1$.
		\item Mostrar que la suposición de que $M$ es libre lleva a una contraddicción: Por (d) podemos elegir $s\in S$ con $s\notin N_1$. Probar que para cada entero $k$ existe algún $y\in M$ tal que $\overline{s}=k\overline{y}$, contradiciendo (c).
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item\header{Bases duales} Sean $A$ un anillo y $P$ un $A$-módulo a izquierda.
Una \emph{base dual} para $P$ es una familia $\{(x_i, f_i)\}_{i\in I}$ donde $(x_i, f_i) 
\in P \times P^*$ para cada $i \in I$, que cumple las siguientes condiciones:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item para todo $x\in P$ el conjunto $\{i\in I:f_i(x)\neq0\}$ es finito, y
\item para todo $x\in P$ vale la igualdad $x=\sum_{i\in I}f_i(x)x_i$.
\end{enumerate}
Notar que (i) implica que la suma en (ii) tiene sentido.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que un $A$-módulo $P$ es proyectivo si y solo si posee una base dual.
\item Mostrar que un $A$ módulo $P$ es proyectivo y finitamente generado si y solo si
posee una base dual finita.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Para cada $A$-módulo a izquierda $M$, sea $M^*=\Hom_A(M,A)$ con la
estructura de $A$-módulo a derecha inducida por la estructura de $A$-módulo a
derecha de $A$. Mostrar que si $M$ es proyectivo y finitamente generado entonces $M^*$ también lo es.


%%%%%%%%%%
\item\header{Resoluciones proyectivas} Sea $A$ un anillo. Probar las siguientes
	afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Para cada $A$-módulo $M$ existe un diagrama
  \[\xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_{p+1} \ar[r]^{d^p}
    & P_{p} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & P_1 \ar[r]^{d^0}
    & P_0 \ar[r]^{\epsilon}
    & M \ar[r]
    & 0
  }\]
de $A$-módulos y morfismos de $A$-módulos que es exacto, y en el que para cada
$p \in \NN_0$ el módulo $P_p$ es proyectivo. El morfismo $\epsilon$ se llama
\emph{aumentación}, y el diagrama obtenido al reemplzar $\epsilon$ por $0$ es llamado 
una \emph{resolución proyectiva} de $M$.

\item Los $A$-módulos $P_p$ pueden elegirse libres para todo $p \in \NN_0$.

\item Si $A$ es noetheriano a izquierda y $M$ es finitamente generado, entonces
los $A$-módulos $P_p$ pueden elegirse finitamente generados para todo $p \in
\NN_0$.

\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos y 
  \begin{gather*}
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r]
    & P_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & P_1 \ar[r]
    & P_0 \ar[r]
    & 0
  } \\
\shortintertext{y}
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & Q_p \ar[r]
    & Q_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & Q_1 \ar[r]
    & Q_0 \ar[r]
    & 0
  } 
  \end{gather*}
son resoluciones proyectivas de $M$ y $N$, respectivamente, entonces existen
morfismos $f_p:P_p\to Q_p$ para cada $p\geq0$ que hacen conmutar el siguiente
diagrama:
  \[
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r] \ar[d]^-{f_p}
    & P_{p-1} \ar[r] \ar[d]^-{f_{p-1}}
    & \cdots \ar[r] 
    & P_1 \ar[r] \ar[d]^-{f_1}
    & P_0 \ar[r] \ar[d]^-{f_0}
    & M \ar[r] \ar[d]^-{f}
    & 0
    \\
  \cdots \ar[r]
    & Q_p \ar[r]
    & Q_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & Q_1 \ar[r]
    & Q_0 \ar[r]
    & N \ar[r]
    & 0
  } 
  \]

\item Encontrar resoluciones proyectivas para 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item un $A$-módulo proyectivo;
\item el $\ZZ$-módulo $\ZZ_n$ para cada $n\in\ZZ$;
\item el $\k[X]$-módulo $S = \k[X]/\langle X\rangle$.
\end{enumerate}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un grupo abeliano finito.
\begin{ejitems}
		\item Probar que $A$ no es un $\ZZ$-módulo proyectivo.
		\item Probar que $A$ no es un $\ZZ$-módulo inyectivo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Probar que $\ZZ$ no es un $\ZZ$-módulo inyectivo, pero $\QQ$ y $\QQ/\ZZ$ sí lo son.


%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio de integridad y sea $K$ su cuerpo de fracciones.
\begin{ejitems}
\item Probar que $K$ es un $A$-módulo inyectivo.
\item Probar que todo $K$-módulo es un $A$-módulo inyectivo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Probar que si $A$ es un anillo de división entonces todo $A$-módulo es
	inyectivo y proyectivo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Probar que son equivalentes:
\begin{ejitems}
		\item Todo $A$-módulo es proyectivo.
		\item Todo $A$-módulo es inyectivo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo finito y $\k$ un cuerpo tal que $\abs{G}$ es inversible en
$\k$. Mostrar que todo $\k[G]$-módulo es proyectivo e inyectivo. ¿Es cierto que
todo $\k[G]$-módulo es libre?
\begin{Indicacion}
Si $f:M\to N$ es un morfismo de $\k[G]$-módulos que tiene una sección $k$-lineal $s$, entonces la fórmula
\[\tilde{s}(n)=\frac{1}{|G|}\sum_g g\cdot s(g^{-1}\cdot n)\]
define una sección $\k[G]$-lineal de $f$.
\end{Indicacion}


%%%%%%%%%%
\item* Sea $\alpha \in \CC$. Decimos que $\alpha$ es un \emph{entero algebraico}
	si existe $f\in\ZZ[X]$ mónico (no nulo) tal que $f(\alpha)=0$.
\begin{ejitems}
\item Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
\begin{ejitems}
\item El número $\alpha$ es un entero algebraico.
\item El ideal $I(\alpha) = \{f \in \ZZ[X] \mid f(\alpha) = 0\}\subseteq \ZZ[X]$ está generado por un polinomio mónico (no nulo).
\item El anillo $\ZZ[\alpha] \subseteq \CC$ es libre y finitamente generado como
	$\ZZ$-módulo.
\item Existe un subanillo $A \subseteq \CC$, libre y finitamente generado como 
  $\ZZ$-módulo, tal que $\alpha \in A$.
\item Existe un $\ZZ$-submódulo $0\ne M \subseteq \CC$, libre y finitamente generado,
	tal que $\alpha M	\subseteq M$.
\end{ejitems}
\begin{Indicacion}
Para probar $(i) \Rightarrow (ii)$, considerar el ideal $I_{\QQ}\hspace{-0.1em}(\alpha)=\{f\in\QQ[X]\mid f(\alpha)=0\}\subseteq\QQ[X]$. Mostrar que si $f$ es un generador mónico de $I_{\QQ}\hspace{-0.1em}(\alpha)$, entonces $f\in\ZZ[X]$ y $f$ genera $I(\alpha)$. Para probar $(v) \Rightarrow (i)$, fijar una base de $M$, llamar $B$ a la matriz en dicha base de la transformación $\ZZ$-lineal dada por multiplicar por $\alpha$, y considerar el polinomio característico de $B$.
\end{Indicacion}

\item Usar el ítem anterior para probar que la suma y el producto de dos enteros
	algebraicos es un entero algebraico, y concluir que los enteros algebraicos
	forman un subanillo de $\CC$.
\begin{Indicacion}
Un $\ZZ$-módulo finitamente generado y sin torsión es libre.
\end{Indicacion}
\end{ejitems}


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\end{ejercicios}
\end{document}
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