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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{5}
\Titulo{Módulos - Primera parte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
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\renewcommand\k{\Bbbk}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent En toda la guía $\k$ es un cuerpo.

\section{Módulos y morfismos}
\begin{ejercicios}
%%%%%%%%%%
\item Determinar en cada uno de los siguientes casos si la
	acción del anillo $A$ sobre el grupo abeliano $M$ dada está bien definida, y
	si hace de $M$ un	$A$-módulo.
\begin{ejitems}
	\item $A = M_n(\k)$, $M = \k^n$, donde $B \cdot v = Bv$ para todos $B \in
		M_n(\k)$ y $v \in \k^n$.
	\item $A = M_n(\k)$, $M = \k$, donde $B \cdot v = \det(B)v$ para todos $B \in
		M_n(\k)$ y $v \in \k$.
	\item $A = \k[X]$ y $M = \k^n$, con $p \cdot (a_1, \ldots, a_n) = (p(1)a_1,
		\ldots p(n)a_n)$ para todo $p \in \k[X]$ y todos $a_1, \ldots, a_n \in
		\k$.
	\item $A = \ZZ_k$, $M = \ZZ_n$, con $\overline{a} \cdot
		\overline{b} = \overline{ab}\in\ZZ_n$ para todos $\overline{a}\in\ZZ_k$ y $\overline{b} \in\ZZ_n$.
\end{ejitems}


	
%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $m,n\geq1$ y $M\in M_{n,m}(A)$. Mostrar que la multiplicación
matricial da un morfismo de $A$-módulos 
  \[
  f:x\in A^n\mapsto xM\in A^m.
  \]
¿Es cierto que todo morfismo $f: A^n \to A^m$ está dado por multiplicar por una matriz?


%%%%%%%%%%
\item Clasificar salvo isomorfismo todos los $\CC[X]$-módulos de dimensión
	$1$ sobre $\CC$.


%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda. El producto $M\times
A^\op\to M$ dado por $m\cdot a=am$, define en $M$ una estructura de
$A^\op$-módulo a derecha. Lo notamos $M^\op$.
\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos a izquierda, entonces
$f:M^\op\to N^\op$ es un morfismo de $A^\op$-módulos a derecha.
\item Recíprocamente, todo $A^\op$-módulo a derecha es de la forma $M^\op$ para
algún $A$-módulo a izquierda $M$ y todo morfismo de $A^\op$-módulos está
inducido como en la parte anterior.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $N$ y $M$ dos $\QQ$-módulos. Mostrar que una función $f:N\to M$ es un
morfismo de $\QQ$-módulos si y solo si es un morfismo de grupos abelianos.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $N$, $M$ dos $A$-módulos.
\begin{ejitems}

\item Mostrar que $\Hom_A(M, N)$ es un grupo abeliano con suma dada por
  \[
	  (f+g)(m)=f(m)+g(m), \qquad \mbox{para todos } f,\, g\in\Hom_A(M,N), m\in M.
  \]

\item Sea $\Z(A)$ el centro de $A$. Definimos una operación
  \[
  \Z(A)\times\Hom_A(M,N)\to \Hom_A(M,N),
  \]
de la siguiente manera: dados $a \in \Z(A), f \in \Hom_A(M,N)$, la función $af$ está 
dada por
  \[
  (a\cdot f)(m)=f(am)
  \]
para cada $m \in M$. Mostrar que esta operación define una estructura de
$\Z(A)$-módulo sobre $\Hom_A(M,N)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$, $B$ y $C$ anillos y sean $M$ un $(A,B)$-bimódulo y $N$ un
$(A,C)$-bimódulo.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que $\Hom_A(M,N)$ posee una única estructura de $(B,C)$-bimódulo tal que
  \[
  (b\cdot f\cdot c)(m)=f(mb)c
  \]
  para todos $b \in B, c \in C$ y $m \in M$
\item Considerando al anillo $A$ como $(A,A)$-bimódulo, mostrar que
	$\Hom_A(A,M)\cong M$ como $A$-módulos.
\end{ejitems}


\item\header{Cambios de anillo} Sea $\phi:A\to B$ un morfismo de anillos. Probar las 
siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item La operación $A\times B\to B$ dada por $(a,b) \mapsto \phi(a)b$ hace de $B$ un 
$A$-módulo a izquierda. De forma similar podemos obtener una estructura de $A$-módulo a 
derecha y de $A$-bimódulo sobre $B$.

\item Sea $M$ un $B$-módulo a izquierda. El producto $A \times M \to M$ dado por $a 
\cdot m = \phi(a)m$ hace de $M$ un $A$-módulo a izquierda. Lo notamos~$\phi^*(M)$.

\item Si $f: M \to N$ es un morfismo de $B$-módulos a izquierda, entonces $f: \phi^*(M)
\to \phi^*(N)$ es un morfismo de $A$-módulos a izquierda. Lo notamos~$\phi^*(f)$.

\item Si $M$ y $N$ son $B$-módulos a izquierda, la aplicación
  \[
  \phi^*:f\in\Hom_B(M,N)\mapsto\phi^*(f)\in\Hom_A(\phi^*(M),\phi^*(N))
  \]
es un morfismo de grupos abelianos. 

\item Si $M$, $N$ y $P$ son $B$-módulos a izquierda y $f: M \to N$ y $g: N \to
	P$ son morfismos de $B$-módulos, entonces
  \[
  \phi^*(g\circ f)=\phi^*(g)\circ\phi^*(f).
  \]
En particular la aplicación $\phi^*:\End_B(M)\to\End_A(\phi^*(M))$ es un morfismo de 
anillos.

\item Dar condiciones sobre $\phi$ que impliquen que la aplicación
  \[
  \phi^*:\Hom_B(M,N)\to\Hom_A(\phi^*(M),\phi^*(N))
  \]
sea inyectiva o sobreyectiva cualesquiera sean los $B$-módulos $M$ y $N$.

\item Si $\psi: B \to C$ es otro morfismo de anillos, entonces $(\psi \circ
	\phi)^* = \phi^* \circ \psi^*$

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $M$ un $A$-módulo a izquierda y $B=\End_A(M)$ el
anillo de endomorfismos de $M$. 
\begin{ejitems}
\item Mostrar que $M$ es un $B$-módulo a derecha de manera natural y que con esa
	estructura resulta ser un $(A,B)$-bimódulo.
\item ¿Qué relación hay entre $A$ y $\End_B(M)$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $f:M\to M'$ un morfismo de $A$-módulos a izquierda. Para cada
$A$-módulo a izquierda $P$ definimos aplicaciones
  \[
  f^*_P:g\in\Hom_A(M',P)\mapsto g\circ f\in\Hom_A(M,P)
  \]
y
  \[
  f_*^P:h\in\Hom_A(P,M)\mapsto f\circ h\in\Hom_A(P,M').
  \]
Probar que son morfismos de grupos abelianos.

\item Sean $f:M\to M'$ y $g:M'\to M''$ morfismos de $A$-módulos. Probar que para
cada $A$-módulo a izquierda $P$ valen las fórmulas
\begin{align*}
  f^*_P \circ g^*_P &= (g\circ f)^*_P,\\
    g_*^P \circ f_*^P &= (g\circ f)_*^P.
\end{align*}

\item Probar que una sucesión de $A$-módulos a izquierda
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & M'  \ar[r]^-f
    & M   \ar[r]^-g
    & M'' 
  }\]
es exacta si y solo si la sucesión de grupos abelianos
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \Hom_A(N,M')  \ar[r]^-{f_*^N}
    & \Hom_A(N,M)   \ar[r]^-{g_*^N}
    & \Hom_A(N,M'') 
  }\]
es exacta para todo $A$-módulo a izquierda $N$. ¿Hay algún enunciado similar que
involucre a los morfismos $f^*_N$ y $g^*_N$?

\item ¿Es cierto que si 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & M'  \ar[r]^-f
    & M   \ar[r]^-g
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta de $A$-módulos a izquierda entonces
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \Hom_A(N,M')  \ar[r]^-{f_*^N}
    & \Hom_A(N,M)   \ar[r]^-{g_*^N}
    & \Hom_A(N,M'') \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta de grupos abelianos?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Probar que un $A$-módulo $M$ es simple si y solo si $Am = M$ para todo $m\in
	M\setminus \{0\}$.

%%%%%%%%%%
\item\header{Lema de Schur}
\begin{ejitems}
\item Sea $f:M\to N$ un morfismo de $A$-módulos. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{enumerate}
\item Si $M$ es simple, entonces $f$ es o bien nula o bien inyectva.
\item Si $N$ es simple, entonces $f$ es o bien nula o bien sobreyectiva.
\item Si $M$ y $N$ son simples, entonces $f$ es o bien nula o bien un
isomorfismo.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item Probar que si $M$ es un $A$-módulo simple entonces $\End_A(M)$ es un anillo de división. 
¿Vale la vuelta?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio íntegro y sean $v_1,\dots,v_n\in A^n$. Sea $M\in
M_n(A)$ la matriz cuyas columnas son los vectores $v_1,\dots, v_n$. Probar las 
siguientes afirmaciones
\begin{ejitems}
\item El conjunto $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente si y solo si $\det
M\neq 0$.
\item El conjunto $\{v_1,\dots,v_n\}$ es un sistema de generadores si y solo si $\det
M\in A^\times$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Conjuntos minimales de generadores} Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Todo módulo de tipo finito posee un conjunto generador minimal.
\item Para todo $n\in\NN$ existe un conjunto generador minimal de $\ZZ$ de
cardinal~$n$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $M$ un $A$-módulo a izquierda.
\begin{ejitems}
\item Probar que el conjunto $\ann M=\{a\in A:am=0 \mbox{ para cada } m\in M\}$ es un 
ideal a izquierda de $A$. Si $\ann M = 0$, decimos que $M$ es un $A$-módulo \emph{fiel}.

\item Probar que $A$ es fiel como $A$-módulo y encontrar más ejemplos de módulos fieles.

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Probar que un $A$-módulo es finitamente generado si y solo si es isomorfo a un cociente de
$A^n$ para algún $n\in\NN$.

%%%%%%%%%%
\item Probar que si 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]
    & M \ar[r]
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de $A$-módulos a izquierda y $M'$ y $M''$ son
finitamente generados, entonces $M$ es finitamente generado.

%%%%%%%%%%
\item Sean $V$ un $\k$-espacio vectorial de dimensión infinita y
$A=\End_\k(V)$ el anillo de endomorfismos de $V$. Mostrar que existe un $A$-módulo
$M$ no nulo tal que $M\cong M\oplus M$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Representaciones}
%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ una $\k$-álgebra y $V$ un $A$-módulo.
\begin{ejitems}
\item Sea $\phi: A \to \End_\k(V)$ la función que asigna a cada $a \in A$ la 
transformación $\k$-lineal dada por multiplicar a izquierda por $a$. Probar que $\phi$ 
está bien definida y es un morfismo de anillos.
\item Probar que, recíprocamente, todo morfismo de anillos $\phi: A \to \End_\k(V)$ 
define una estructura de $A$-módulo sobre $V$.
\end{ejitems}
Un morfismo de anillos $\phi: A \to \End_\k(V)$ se llama una \emph{representación} de 
$A$ de dimensión $\dim V$.
\begin{ejitems}[resume]
\item Sea $V$ un $\k$-espacio vectorial y sea $f\in\End_\k(V)$.
Muestre que existe exactamente una estructura de $\k[X]$-módulo a izquierda sobre
$V$ para la cual $\k\subset \k[X]$ actúa por multiplicación escalar y $X\cdot v = f(v)$ para todo $v \in V$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $n \in \NN$ y sea $\C(n) = \{(A,B) \in M_n(\k) \times M_n(\k) \mid AB - BA = 0
\}$. El grupo $\GL_n(\k)$ actúa sobre $\C(n)$ por conjugación, de forma que 
\[
P \cdot (A,B) = (PAP^{-1}, PBP^{-1})
\]
para cada $P \in \GL_n(\k)$ y $(A,B) \in \C(n)$.
\begin{ejitems}
\item Probar que para cada $(A,B) \in \C(n)$ la asignación $(X,Y) \mapsto (A,B)$ induce 
un morfismo de anillos $\k[X,Y] \to M_n(\k)$, y por lo tanto una estructura de 
$\k[X,Y]$-módulo sobre $\k^n$. Notamos por $V(A,B)$ al módulo así definido.

\item Probar que $V(A,B) \cong V(A',B')$ como $\k[X,Y]$-módulos si y solo si $(A,B)$ y 
$(A',B')$ pertenecen a la misma órbita por la acción de $\GL_n(\k)$. Concluir que hay 
una biyección entre los $\k[X,Y]$-módulos de dimensión $n$ y las órbitas de la acción de
$\GL_n(\k)$ sobre $\C(n)$. 
\end{ejitems}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Algunos lemas usuales}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea 
  \[\xymatrix{
M' \ar[r]\ar[d]^-{f'}
    & M  \ar[r]\ar[d]^-{f}
    & M'' \ar[r]\ar@{.>}[d]^-{f''}
    & 0
    \\
N' \ar[r]
    & N  \ar[r]
    & N'' \ar[r]
    & 0
  }\]
un diagrama conmutativo de $A$-módulos a izquierda en el cual las filas son
exactas. Probar que existe exactamente un morfismo $f'':M''\to N''$ que completa
el diagrama preservando la conmutatividad.

\item Si $f'$ y $f$ son isomorfismos, entonces $f''$ es un isomorfismo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Lema de los cinco} 
Consideremos el diagrama conmutativo de $A$-módulos a izquierda
  \[\xymatrix{
  M_1 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_1}
    & M_2 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_2}
    & M_3 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_3}
    & M_4 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_4}
    & M_5        \ar[d]^-{\alpha_5}
    \\
  N_1 \ar[r] 
    & N_2 \ar[r]
    & N_3 \ar[r]
    & N_4 \ar[r]
    & N_5 
  }\]
y supongamos que las dos filas son exactas. Probar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item Si $\alpha_1$ es sobreyectivo y $\alpha_2$ y $\alpha_4$ son inyectivos,
entonces $\alpha_3$ es inyectivo.
\item Si $\alpha_5$ es inyectivo y $\alpha_2$ y $\alpha_4$ son sobreyectivos,
entonces $\alpha_3$ es sobreyectivo.
\item Si $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_4$ y $\alpha_5$ son isomorfismos,
entonces $\alpha_3$ es un isomorfismo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Lema de los nueve} Consideremos el diagrama de $A$-módulos
a izquierda
  \[\xymatrix{
  {}
    & 0 \ar[d]
    & 0 \ar[d]
    & 0 \ar[d]
    & {}
    \\
  0 \ar[r]
    & M'  \ar[r]\ar[d]
    & M   \ar[r]\ar[d]
    & M'' \ar[r]\ar[d]
    & 0
    \\
  0 \ar[r]
    & N'  \ar[r]\ar[d]
    & N   \ar[r]\ar[d]
    & N'' \ar[r]\ar[d]
    & 0
    \\
  0 \ar[r]
    & P'  \ar[r]\ar[d]
    & P   \ar[r]\ar[d]
    & P'' \ar[r]\ar[d]
    & 0
    \\
  {}
    & 0
    & 0
    & 0 
    & {}
  }\]
en el cual las tres columnas y las dos primeras (resp. las dos últimas) filas son
exactas. Probar que la tercera (resp. primera) fila también es exacta.

\end{ejercicios}

%

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%

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