\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{4}
\Titulo{Localizaci\'on}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}
\renewcommand\k{\Bbbk}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent En toda esta práctica los anillos son conmutativos.
\begin{ejercicios}

\item Sean $A$ un anillo y $S\subseteq A$ un subconjunto multiplicativamente
	cerrado. Probar las si\-guien\-tes afirmaciones.
\begin{ejitems}
	\item Si $S \subseteq \mathcal{U}(A)$ entonces $A_S\cong A$.
	\item Si $0\in S$ entonces $A_S\cong0$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $f\in A$ y $S=\{1,f,f^2,\dots\}$. Probar que $S\subseteq A$ es un subconjunto multiplicativamente cerrado y que
\[A_S\cong A[X]/(Xf-1).\]


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $S\subseteq A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado
e $I\subseteq A$ un ideal. Sea $\bar S$ la imagen de $S$ por la aplicación
canónica $A\to A/I$. Probar que $(A/I)_{\bar S}\cong A_S/IA_S$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $S, T\subseteq A$ subconjuntos multiplicativamente
cerrados de $A$ y $T'$ la imagen de $T$ por la aplicación canónica $A\to
A_S$. Probar que $U=\{st:s\in S,\,t\in T\}$ es un subconjunto de $A$ multiplicativamente
cerrado y que $(A_S)_{T'}\cong A_U$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $S \subseteq A$ un subconjunto multiplicativamente
	cerrado.
	
\begin{ejitems}
\item Supongamos que $A$ es un dominio de integridad. Mostrar que la aplicación
	canónica $A\to A_S$ es inyectiva.

\item Encontrar condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación canónica
$A\to A_S$ sea inyectiva.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $\p\in\Spec(A)$. Mostrar que $S=A\setminus\p$ es un
conjunto multiplicativamente cerrado. En general, escribimos $A_\p$ en lugar de
$A_{A\setminus\p}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $X$ un espacio métrico y sea $A=C(X)$ el anillo de las
	funciones continuas $X\to\RR$. Probar que para cada $x_0\in X$ el
	conjunto $S(x_0) = \{f\in A:f(x_0)\neq 0\}$ es multiplicativamente cerrado. ¿Es
	inyectiva la aplicación canónica $A\to A_S$?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A=C(\RR)$, $U = (0,1)$ y $S=\{f \in A: f \mbox{ no se anula en el intervalo }
	(0,1)\}$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $S$ es multiplicativamente cerrado en $A$.
\item Sea $r:C(\RR)\to C(U)$ la restricción de funciones. Mostrar que existe un
	único morfismo $\bar r:C(\RR)_S\to C(U)$ tal que conmuta el diagrama
  \[\xymatrix{
    C(\RR)\ar[r]^-r \ar[d]_-{\mathrm{can}}
      & C(U)
      \\
    C(\RR)_S \ar@{.>}[ur]_-{\bar r}
  }\]
\item Mostrar que $\bar r$ es un isomorfismo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sean $A$ un anillo, $S\subseteq A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado
y $f:A\to A_S$ la aplicación canónica.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que si $I\subseteq A_S$ es un ideal, entonces $f^{-1}(I)$ es un
ideal de $A$. De esta forma se obtiene una aplicación $f^*:\Id(A_S)\to\Id(A)$ del
conjunto de ideales de $A_S$ al conjunto de ideales de $A$.
\item Mostrar que $f^*$
preserva inclusiones e intersecciones y que es inyectiva.
\item Si $J\subseteq A$ es un ideal, entonces $J$ está en la imagen de $f^*$ sii
$J=f^{-1}(JA_S)$ sii ningún elemento de $S$ es un divisor de cero en $A/J$.
\item Mostrar que $f^*(\Spec A_S)\subseteq\Spec A$ de manera que, por
restricción, obtenemos una inyección $f^*:\Spec A_S\to\Spec A$. La imagen de
esta aplicación es exactamente
  \(
  \{\p\in\Spec A:\p\cap S=\emptyset\}
  \).
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $p\in\NN$ un número primo y $\p=(p)$ el ideal primo de $\ZZ$
correspondiente. Mostrar que si $I\subseteq \ZZ_\p$ es un ideal no nulo, entonces
existe $r\in\NN_0$ tal que $I=p^r\ZZ_p$.


\end{ejercicios}
\end{document}
