%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{2}
\Titulo{Grupos - Segunda parte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\renewcommand\k{\Bbbk}


\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
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\DeclareMathOperator{\inn}{inn}
\DeclareMathOperator{\chr}{char}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}

\newcommand{\Ocal}{\mathcal{O}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Grupos parte III%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%El regreso%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\subsection{Productos directos y semidirectos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sean $H$ y $K$ dos subgrupos de $G$. Probar que son equivalentes:
\begin{ejitems}
	\item Todo elemento de $G$ se escribe de manera única como un producto $hk$ con $h\in H$ y $k\in K$.
	\item $G=HK$ y $H\cap K=1$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ y $H$ dos grupos. Determinar $\Z(G\times H)$.

%%%%%%%%%%
\item Sean $m,n\in\ZZ$ coprimos y sea $G$ un grupo de orden $mn$. Probar que 
si $G$ posee exactamente un subgrupo~$N$ de orden~$n$ y exactamente un subgrupo~$M$ 
de orden~$m$, entonces $G$~es isomorfo al producto directo de~$N$ y~$M$.

%%%%%%%%%%
\item Probar que:
\begin{ejitems}
	\item $\ZZ_{mn} \cong \ZZ_m\times\ZZ_n$ si $m$ y $n$ son coprimos (Teorema chino del resto);
	\item $\CC^\times \cong \RR_{>0}\times S^1$;
	\item $D_6\cong S_3\times \ZZ_2$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $f:H\to H'$ y $g:K\to K'$ dos morfismos de grupos. Probar que la función $f\times g:H\times K\to H'\times K'$ definida por $(h,k)\mapsto (f(h), g(k))$ es un morfismo de grupos.

%%%%%%%%%%
\item Sean $H$ y $K$ dos grupos y sean $S\unlhd H$ y $T\unlhd K$. Probar que $S\times T\unlhd H\times K$ y que
\[\frac{H\times K}{S\times T}\cong \left(H/S\right)\times \left(K/T\right).\]
\begin{Indicacion}
Sean $\pi_S:H\to H/S$ y $\pi_T:K\to K/T$ las proyecciones. Considerar $\pi_S\times \pi_T$ y usar el 1\textsuperscript{er} teorema de isomorfismo.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto semidirecto} Sean $H$ y $K$ grupos y sea $\theta:K\to\Aut(H)$ un morfismo de grupos.
\begin{ejitems}
\item Sea $G=H\times K$ como conjunto, y consideremos el producto en $G$ dado por
  \[
  (h,k)\cdot(h',k') = (h\hspace{0.1em}\theta(k)(h'),kk'), 
    \qquad\forall(h,k),(h',k')\in G.
  \]
Mostrar que, con respecto a este producto, $G$ es un grupo. Llamamos a este grupo el \emph{producto semidirecto (o
cruzado) de $H$ por $K$ con respecto a $\theta$} y lo notamos $H\rtimes_\theta
K$.

\item Sean $\widetilde{H}=\{(h,1)\in H\rtimes_\theta
K\mid h\in H\}$ y $\widetilde{K}=\{(1,k)\in H\rtimes_\theta
K\mid k\in K\}$. Probar que $\widetilde{H}$ y $\widetilde{K}$ son subgrupos de $H\rtimes_\theta
K$ tales que $\widetilde{H}\unlhd H\rtimes_\theta
K$, $\widetilde{H}\cap \widetilde{K}=1$ y $\widetilde{H}\widetilde{K}=H\rtimes_\theta
K$.

\item Mostrar que si $\theta=1$ es el morfismo trivial, $H\rtimes_\theta
K= H\times K$ es simplemente el producto directo.
\end{ejitems}

\end{ejercicios}

\begin{Definicion}
Sea $G$ un grupo y sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$. Decimos que $G$ es el \emph{producto semidirecto interno de $H$ por $K$} si $H\unlhd G$, $H\cap K=1$ y $HK=G$.
\end{Definicion}

\begin{ejercicios}[resume]

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ tales que $G$ es el producto semidirecto interno de $H$ por $K$.
\begin{ejitems}
\item Probar que la fórmula $\theta(k)(h)=khk^{-1}$ define un morfismo de grupos $\theta:K\to \Aut(H)$.

\item Probar que la fórmula $(h,k)\mapsto hk$ define un isomorfismo de grupos $H\rtimes_\theta K\overset{\cong}\to G$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $S_n$ es el producto semidirecto de $A_n$ por $\gen{(1\,2)}$.

%%%%%%%%%%
\item Probar que $\GL_n(k)$ es un producto semidirecto de $\SL_n(k)$ por $k^\times$.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $\HH$ no puede ser escrito como un producto semidirecto de
forma no trivial.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ y $N$ dos grupos y sean $\theta,\tau:G\to\Aut(N)$ morfismos. Probar que si existe $\varphi\in\Aut(G)$ tal que $\theta=\tau\circ\varphi$, entonces $N\rtimes_\theta G\cong N\rtimes_\tau G$.



\subsection{Acciones de grupos}

\noindent En todos los ejercicios las acciones son a izquierda.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo, $r\in \NN$ y $X$ el conjunto de todos los subgrupos de $G$ de orden $r$. Probar que la siguiente fórmula define una acción de $G$ en $X$: $g\cdot H=gHg^{-1}$.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo, $H\leq G$ y $X=G/H$. Probar que la siguiente fórmula define una acción de $G$ en $X$: $g\cdot xH=(gx)H$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo finito y sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$. Sea $X=HK$.
\begin{ejitems}
	\item Probar que la siguiente fórmula define una acción de $H\times K$ en $X$: $(h,k)\cdot x=hxk^{-1}$.
	\item Probar que $\Ocal(1)=X$ y probar que el estabilizador del $1$ es isomorfo a $H\cap K$.
	\item Deducir de lo anterior que $\abs{H}\abs{K}=\abs{HK}\abs{H\cap K}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Subgrupos grandes} El objetivo de este ejercicio es probar el siguiente resultado.

\begin{Proposicion*}
Sea $G$ un grupo finito, sea $p$ el menor número primo que divide a $\abs{G}$,
y sea $H$ un subgrupo de $G$ de índice $p$. Entonces $H$ es normal en $G$.
\end{Proposicion*}

\begin{ejitems}
\item Sea $X=G/H=\{gH:g\in G\}$ el conjunto de coclases a izquierda de $H$ en
$G$; notar que $\abs{X}=p$. Consideramos en $X$ la acción usual de $G$ por
multiplicación a izquierda,
  \[
  \alpha: G \times X \to X,\hspace{1em} (g',gH)\mapsto g'gH.
  \]
Sea $\widetilde{\alpha}:G\to S_X$ el morfismo de grupos correspondiente y sea $K=\ker(\widetilde{\alpha})$. Mostrar que $H\supseteq K$ y deducir que $\abs{G:K}$ 
divide a $p!$.

\item Mostrar que $\abs{G:K}=\abs{G:H}$. Concluir que $H=K$ y por lo tanto 
$H$ es normal.

\begin{Indicacion}
Para hacerlo, observar primero que $p=\abs{G:H}\leq\abs{G:K}$, de manera que
$\abs{G:K}\neq1$. Si $q$ es un primo que divide a $\abs{G:K}$, lo hecho en la parte
anterior implica que $q\leq p$; esto junto con la elección de $p$ implica que
$\abs{G:K}=p^r$ para algún $r\geq1$. Para terminar, mostrar que $r=1$.
\end{Indicacion}
\end{ejitems}



\subsection{$p$-Grupos}

En toda esta sección $p \in \NN$ es un número primo.

\end{ejercicios}

\begin{Definicion}
Sea $G$ un grupo. Un elemento de $G$ se dice \emph{$p$-primario} si su orden 
es una potencia de $p$. Un \emph{$p$-grupo} es un grupo tal que todo elemento 
es $p$-primario.
\end{Definicion}

\begin{ejercicios}[resume]

%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item Si $G$ es un $p$-grupo y $H$ es un subgrupo de $G$, entonces $H$ es un
$p$-grupo.

\item Si $G$ es un $p$-grupo y $f:G\to H$ es un morfismo sobreyectivo, entonces 
$H$ es un $p$-grupo.

\item Si $G$ es un grupo, $H$ un subgrupo normal de $G$ y tanto $H$ como $G/H$
son $p$-grupos, entonces $G$ es un $p$-grupo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Un grupo finito $G$ es un $p$-grupo sii $\abs{G}=p^r$ para
algún $r\geq1$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un $p$-grupo finito. Probar que $G$ tiene centro no trivial.


\subsection{Teoremas de Sylow}

%%%%%%%%%%
\item Hallar todos los subgrupos de Sylow de $D_n$.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que no hay grupos simples de orden $28$ ó $312$.

\begin{Solucion}
Sea $G$ de orden $28=2^2\cdot 7$. Entonces $n_7\divides2^2$, así que
$n_7\in\{1,2,4\}$. Pero también $n_7\equiv1\pmod7$, así que necesariamente
$n_7=1$ y concluimos que un $7$-subgrupo de Sylow es normal.

Sea ahora $G$ de orden $312=2^3\cdot3\cdot7$. El único divisor positivo de $2^3\cdot3$
congruente con $1$ módulo $13$ es $1$, así que $n_{13}=1$. Luego $G$ no es
simple.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que un grupo de orden $12$ ó $56$ no es simple.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo de orden $12=2^2\cdot 3$. Entonces $n_3\divides 4$ y
$n_3\equiv1\pmod 3$, así que si hay $3$-subgrupos de Sylow no normales en $G$,
debe ser $n_3=4$. Entonces hay en $G$ exactamente $8=4\cdot(3-1)$ elementos de
orden $3$. Eso deja a lo sumo $3$ elementos en $G$ que pueden ser $2$-primarios.
Como hay al menos un $2$-subgrupo de Sylow de orden $4$, vemos que tiene que
haber exactamente uno, que resulta entonces normal. Así, $G$ no es simple.

Sea ahora $G$ un grupo de orden $56=2^3\cdot 7$. Entonces $n_7\divides 8$ y
$n_7\equiv1\pmod7$. Esto implica que $n_7\in\{1,8\}$. Si $n_7=1$, $G$ no es
simple. Supongamos entonces que $n_7=8$. Como cada $7$-grupo de Sylow es
cíclico, vemos que hay en $G$ exactamente $48=8\cdot(7-1)$ elementos de orden
$7$. Por otro lado, hay al menos un $2$-subgrupo de Sylow, que tiene orden $8$,
así que hay al menos $7$ elementos $2$-primarios no triviales en $G$. Como
$1+7+48=\abs{G}$, concluimos que hay en $G$ exactamente $7$ elementos no
triviales $2$-primarios y que entonces $n_2=1$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Probar que todo grupo de orden $5.7.17$ es cíclico.


%%%%%%%%%%
\item Probar que si $p$ y $q$ son primos distintos entonces un grupo de orden $pq$ no 
  es simple.

\begin{Solucion}
Si $G$ tiene orden $pq$ y es simple, el teorema de Sylow implica que $n_p=q$ y
$n_q=p$. Contando los elementos de $G$ agrupados de acuerdo a su orden, vemos
que $pq = 1 + (p-1)q + (q-1)p$, es decir, que $(p-1)(q-1)=0$. Esto es
imposible.~\qed

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo de orden $p^rm$, con $r\geq1$ y $p>m$. Probar 
que
$G$ no es simple.

\begin{Solucion}
$n_p$ divide a $m$, así que $n_p<p$. Como $n_p\equiv1\pmod p$, debe ser
$n_p=1$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo de orden $p^2q$ con $p$ y $q$ primos distintos. Probar que
$G$ no es simple.

%%%%%%%%%%
\item Probar que si todos los subgrupos de Sylow de un grupo finito $G$ son 
normales, entonces $G\cong\prod_{\text{$p$ primo}}S_p$ donde $S_p$ el (único) $p$-subgrupo de Sylow de $G$. En particular, un grupo 
abeliano finito es producto de sus subgrupos de Sylow.


\end{ejercicios}

\end{document}
