%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{1}
\Titulo{Grupos - Primera parte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\DD{D}
\renewcommand\SS{\mathbb{S}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
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\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\renewcommand\k{\Bbbk}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
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\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
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\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
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\newcommand\sg{\mathrm{sgn}}

\newcommand\Un{\mathcal{U}}

\newcommand\ord{\mathrm{ord}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hyphenation{si-gui-en-tes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Notaciones usuales}

\[\begin{array}{ll}\ZZ_n & \mbox{Enteros módulo $n$} \\
\DD_n & \mbox{Grupo diedral de orden $2n$} \\
\HH=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} & \mbox{Grupo de cuaterniones} \\}
\end{array}\]

\begin{ejercicios}


\subsection{Definiciones y ejemplos}

%%%%%%%%%%
\item Probar que los siguientes conjuntos son grupos abelianos con el producto de números complejos. Determinar cuáles de ellos son cíclicos.
\begin{ejitems}
	\item $\GG_n = \{z\in\CC \mid z^n=1\}$;
	\item $S^1=\{z \in \CC \mid \abs{z} = 1\}$;
	\item $\GG_{p^\infty}=\bigcup_{n\in\NN}\GG_{p^n}$ donde $p$ es un número primo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $\k$ un cuerpo y $n\in\NN$. Se definen:
\begin{gather*}
	\GL_n(\k) = \{ A\in M_n(\k) \mid \det A \neq 0 \} \\
	\SL_n(\k) = \{ A\in M_n(\k) \mid \det A = 1 \}
\end{gather*}
Probar que, dotados de la multiplicación usual de matrices, estos dos conjuntos
resultan ser grupos. Describirlos para $n=1$. ¿Cuándo son abelianos?

%%%%%%%%%%
\item\header{Grupo opuesto}
Sea $(G,\star)$ un grupo. El \emph{grupo opuesto} de $G$ es el conjunto $G^\op=G$ con la operación $\star_\op$ dada por:
 \[
  \star_\op:(g,h)\in G^\op\times G^\op\mapsto h\star g\in G^\op
\]
Probar que $(G^\op,\star_\op)$ es un grupo.


%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo tal que $g^2=1$ para todo $g\in G$. Probar que $G$ es abeliano.

%%%%%%%%%%
\item 
\label{funciones-a-un-grupo}
Sean $G$ un grupo, $X$ un conjunto y $G^X$ el conjunto de todas las funciones $f:X\to G$. Dotamos a $G^X$ del producto $\star$ dado por $(f\star g)(x)=f(x)g(x)$ para todo $x
	\in X$. Probar que $(G^X,\star)$ es un grupo. ¿Cuándo es abeliano?

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto directo}
Sean $G$ y $H$ grupos. El \emph{producto directo} de $G$ y $H$ es el conjunto $G\times H$ con la operación dada por:
\[
	\big((g_1,h_1),(g_2,h_2)\big)\in \left(G\times H\right)\times \left(G\times H\right)\mapsto (g_1g_2,h_1h_2)\in G\times H
\]
Probar que $G\times H$ es un grupo. Probar que $G\times H$ es abeliano sii $G$ y $H$ son abelianos.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Subgrupos}


%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H \subseteq G$ un subconjunto. Probar que son equivalentes:
\begin{ejitems}
\item $H$ es un subgrupo de $G$;

\item $H$ es no vacío y dados $x,y\in H$ el elemento $xy^{-1}$ pertenece a $H$.
\end{ejitems}
Si además $H$ es finito, estas afirmaciones son equivalentes a:
\begin{ejitems}[resume]
\item\label{sub:criterio-finito} $H$ es no vacío y dados $x, y\in H$ el elemento
	$xy$ pertenece a $H$.
\end{ejitems}
Dar un contraejemplo para esta última equivalencia cuando $H$ es infinito.


%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H_1$ y $H_2$ subgrupos de $G$. Probar las siguientes 
afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $H_1\cap H_2$ es un subgrupo de $G$.

\item $H_1\cup H_2$ es un subgrupo de $G$ sii $H_1\subseteq H_2$ o $H_2\subseteq H_1$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Dado un grupo $G$, ¿es el subconjunto de elementos de orden finito un subgrupo de
	$G$?

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ y $H$ grupos y $g\in G$ y $h\in H$ elementos de orden finito. Probar que el orden de $(g,h)$ en $G\times H$ es el mínimo común múltiplo de $\ord(g)$ y $\ord(h)$.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo, $g\in G$ un elemento de orden finito y $m\in \NN$. Calcular $\ord(g^m)$.

%%%%%%%%%%
\item
\label{ex:subgrupo-generado} 
Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}
\item Sea $\mathcal H$ una familia de subgrupos de $G$. Probar que
$\bigcap_{H\in\mathcal{H}}H$ es un subgrupo de $G$.

\item Sea ahora $X\subseteq G$ un subconjunto arbitrario. Probar que existe un menor
	subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Describirlo en términos de los elementos de $X$.
\end{ejitems}

\noindent El subgrupo cuya existencia se afirma en la segunda parte de este ejercicio se
denomina el \emph{subgrupo de $G$ generado por $X$} y se denota $\gen X$. Si
$X=\{x_1,\dots,x_r\}$, escribimos $\gen{x_1,\dots,x_r}$ en lugar de $\gen{ \{x_1, \dots,
x_r\}}$.


%%%%%%%%%%
\item Hallar todos los subgrupos de $\ZZ$, $\HH$, $\DD_4$ y $\GG_n$.

%%%%%%%%%%
\item Probar que $\ZZ=\gen{m,n}$ sii $m$ y $n$ son coprimos.

%%%%%%%%%%
\item Probar que todo subgrupo finitamente generado de $\QQ$ es cíclico.

%%%%%%%%%%
\item  Probar que un grupo no trivial sin subgrupos propios es cíclico de orden primo.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo no trivial sin subgrupos propios y sea $g\in G\setminus\{1\}$.
Entonces $\gen{g}$ es un subgrupo no trivial, así que la hipótesis implica que
$G=\gen{g}$ y vemos que $G$ es cíclico. 

Si $\abs{g}$ no es primo y existe $k>1$ tal que $k | \abs{g}$, entonces
$\gen{g^k}$ es un subgrupo propio no trival de $\gen{g}=G$. Esto contradice la
hipótesis. Luego $\abs{G}=\abs{g}$ es primo.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%
\item  Sea $G\subseteq\CC^\times$ un subgrupo finito del grupo
multiplicativo $\CC^\times$. Probar que existe $n\in\NN$ tal que $G=\GG_n$ es el
grupo de las raíces $n$-ésimas de la unidad.

\begin{Solucion}
Sea $G\subset\CC^\times$ un subgrupo finito de orden $n$. Entonces si $z\in G$,
es $z^n=1$ y vemos que cada elemento de $G$ es raíz de $p(X)=X^n-1$. Como el
conjunto de raíces de $p$ es precisamente $\GG_n$, vemos que $G$ es un subgrupo
de $\GG_n$. Como $\abs{G}=n=\abs{\GG_n}$, debe ser, de hecho, $G=\GG_m$.~\qed
\end{Solucion}


%%%%%%%%%%
\item*
\label{ex:hh-n} 
Sea $n \in \NN$ y sea $\omega\in\GG_{2^n}$ una raíz primitiva $2^n$-ésima. Consideremos
las matrices
\begin{align*}
  &R = \begin{pmatrix} 
        \omega & 0 \\ 
        0 & \omega^{-1} 
      \end{pmatrix},
  &
  &S = \begin{pmatrix}
        0 & -1 \\
        1 & 0
      \end{pmatrix}
\end{align*}
y sea $\HH_n = \gen{R, S}$ el subgrupo generado por $R$ y $S$ en $\GL_2(\CC)$. Llamamos
a~$\HH_n$ el \emph{$n$-ésimo grupo de cuaterniones generalizados}. Determinar el orden de
$\HH_n$ y listar sus elementos.

%%%%%%%%%%
\item
Sea $G=\GL_2(\RR)$ y sean $\alpha,\beta\in G$ dados por
\begin{align*}
	&\alpha = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},
	&&\beta = \begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}.
\end{align*}
Mostrar que $\alpha^4=\beta^3=\id$, pero que $\alpha\beta$ tiene orden infinito.
Así, $\gen{\alpha,\beta}$ es infinito.

Este ejemplo muestra que finitos elementos de orden finito pueden generar un
subgrupo infinito.

\begin{Solucion}
\def\M#1#2#3#4{\left(\begin{smallmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{smallmatrix}\right)}
Escribamos $G=\gen{\alpha,\beta}$. Afirmamos que $G=\SL_2(\ZZ)$. Es 
$\alpha\beta=\M1101$, así que calculando vemos inmediatamente que
$\M1x01=(\alpha\beta)^x\in G$ para todo $x\in\ZZ$.

Sea $A=\M abcd\in\SL_2(\ZZ)$ y mostremos que $A\in G$ haciendo inducción sobre $m=c+d$. 

Como
  \begin{align*}
  &  A\alpha = \M b{-a}d{-c},
  && A\alpha^2 = \M{-a}{-b}{-c}{-d}, 
  && A\alpha^3 = \M {-b}{a}{-d}c,
  \end{align*}
podemos suponer que $c,d\geq0$ sin pérdida de generalidad.

Para empezar, si $m=1$, debe ser $A=\M ab01$ ó $A=\M ab10$. En el
primer caso debe ser $a=1$ y vemos que $A=(\alpha\beta)^b$. En el segundo debe
ser $b=-1$, y calculando vemos que $A=(\alpha\beta)^a\alpha$.

Supongamos que $m>1$. Notemos que debe ser $cd\neq0$. Si $c\geq d$, entonces es
  \[
  A\beta = \M{-b}{a-b}{-d}{c-d}.
  \]
Si $c=d$, entonces $d=1$ y $A\beta\alpha^2=\M b{b-a}10$, que sabemos ya que está
en $G$. Si, por otro lado, $c>d$, entonces $\abs{d}+\abs{c-d}<m$, así que
$A\beta$ está en $G$, por nuestra hipótesis inductiva.~\qed

\end{Solucion}

\item Si $G$ es un grupo y $A, B\subseteq G$ son subconjuntos, definimos
\begin{align*}
	AB=\{ab \mid a\in A, b\in B\}.
\end{align*}
Supongamos que $A$ y $B$ son subgrupos. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $AB$ es un subgrupo de $G$ sii $AB=BA$.

\item $G=AB$ sii $G=\gen{A,B}$ y $AB=BA$.

\item Si $AB=BA$ y $C\subseteq G$ es un subgrupo tal que $A\subseteq
C$, entonces $AB\cap C=A(B\cap C)$.

\item Si $G=AB$ y $C\subseteq G$ es un subgrupo tal que $A\subseteq
C$, entonces $C=A(B\cap C)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%
\subsection{El grupo simétrico $\SS_n$}
Fijamos $n \in \NN$ y notamos $[n] = \{1, 2, \ldots, n\}$. El \emph{grupo simétrico} $\SS_n$ es el
grupo formado por todas las funciones $f:[n] \to [n]$ biyectivas, con la composición como
operación.

\item\header{Ciclos} Decimos que un elemento $\tau \in \SS_n$ es un \emph{ciclo} si
 existe un conjunto $\{a_1, a_2,\ldots, a_r\} \subseteq [n]$ de forma que $\tau(a_i) = 
 a_{i+1}$	para $1 \leq i < r$, $\tau(a_r) = a_1$, y $\tau(x) = x$ si $x \notin \{a_1, 
 \ldots, a_n\}$. En ese caso escribimos $\tau = (a_1 \, a_2	\, \ldots\, a_r)$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\rho \circ (a_1\,a_2\,\ldots\,a_r) \circ \rho^{-1} =
	(\rho(a_1)\,\rho(a_2)\,\ldots\,\rho(a_r))$ para todo $\rho \in S_n$.

\item Dos ciclos $(a_1 \, a_2 \ldots\, a_r)$ y $(b_1\,\ldots\,b_s)$ se dicen disjuntos
si $\{a_1, \ldots, a_n\} \cap \{b_1, \ldots, b_m\} = \emptyset$. Probar que dos ciclos 
disjuntos conmutan entre sí. ¿Vale la recíproca?

\item Probar que todo elemento de $\SS_n$ se escribe como composición de ciclos disjuntos, 
y que los ciclos que aparecen en dicha composición están unívocamente determinados.
\end{ejitems}

\item Probar que cada uno de los siguientes conjuntos genera $\SS_n$.
  \begin{ejitems}
  \item $\{(i\,j) \mid 1\leq i<j\leq n\}$
  \item $\{(1\,i) \mid 1\leq i\leq n\}$
  \item $\{(i\;\;i+1) \mid 1\leq i<n\}$
  \item $\{(1\,2),\;(1\,2\,3\dots n)\}$
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\subsection{Subgrupos normales}
\item Sea $G$ un grupo.

\begin{ejitems}
\item Sea $\mathcal H$ una familia de subgrupos normales de $G$. Probar que
$\bigcap_{H\in\mathcal{H}}H$ es un subgrupo normal de $G$.

\item Sea $X\subseteq G$ un subconjunto arbitrario. Probar que existe un menor subgrupo
normal de $G$ que contiene a $X$. Describirlo en términos de los elementos de $X$.
\end{ejitems}

\noindent El subgrupo cuya existencia se afirma en la segunda parte de este
ejercicio se denomina el \emph{subgrupo normal de $G$ generado por $X$}. En
general, este subgrupo no coincide con el subgrupo generado por $X$, construido
en \ref{ex:subgrupo-generado}.

\begin{ejitems}[resume]
\item\label{sub:normal-from-normal} Supongamos que $X\subseteq G$ es un conjunto tal que
$gXg^{-1}\subseteq X$ para todo $g\in G$. Probar que entonces el subgrupo
normal generado por $X$ coincide con el subgrupo generado por $X$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Sea $G$ un grupo y sea $N\subseteq G$ un subgrupo tal que $gNg^{-1}\subseteq N$ para
	todo $g\in G$. Mostrar que $N$ es normal.

\begin{Solucion}
Sea $g\in G$. Entonces como $gNg^{-1}\subset N$, es $N=g^{-1}gNg^{-1}g\subset
g^{-1}Ng$. Así, $gNg^{-1}\supset N$ para todo $g\in G$. Esto, junto con la
hipótesis, implica que $N$ es normal
\end{Solucion}

\item Sea $G=\GL_2(\QQ)$ y 
  \(
  H = \{
        \left(
        \begin{smallmatrix}1&n\\0&1\end{smallmatrix}
        \right)
        : n \in \ZZ
      \}
    \subset G
  \).
Probar que $H$ es un subgrupo de $G$. Por otro lado, si
  \(
  g = \left(
      \begin{smallmatrix}5&0\\0&1\end{smallmatrix}
      \right)
    \in G
  \),
mostrar que $gHg^{-1}\subsetneq H$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item
\label{sub:derivado} 
Sea $G$ un grupo. Si $a,b\in G$, escribimos $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. El elemento $[a,b]$ 
se llama \emph{conmutador de $a$ y $b$}. Claramente $[a,b] = 1$ sii $a$ y $b$ conmutan, así 
que en cierta forma $[a,b]$ mide la no-conmutatividad de $a$ y $b$.
\begin{ejitems}
\item Sea $[G,G] = \gen{\{[a,b] \mid a,b\in G\}}$. Probar que $[G,G]$ es normal en $G$.

\item Probar que $G$ es abeliano sii $[G,G]=1$.

\item Hallar $[\DD_n,\DD_n]$ y $[\HH, \HH]$.

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item 
\label{sub:centro}
Sea $G$ un grupo. Se define el \emph{centro} de $G$ como $\Z(G) = \{g \in G \mid
\text{$gh=hg$ para todo $h\in G$}\}$. Decimos que los elementos de $\Z(G)$ son
\emph{centrales} en $G$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\Z(G)$ es un subgrupo normal de $G$.  
\item Sea $X\subseteq G$ un subconjunto tal que $G=\gen{X}$. Probar que
  \[
  \Z(G)=\{g\in G \mid \text{$gx=xg$ para todo $x\in X$}\}.
  \]
\item Encontrar el centro de un grupo abeliano y el de $\HH$.
\item Para cada $n \geq 1$ encontrar el centro de $\DD_n$, de $\SS_n$ y de $\GL_n(R)$ con
	$R\in\{\RR,\ZZ,\CC,\ZZ_p\}$.

\item Sea $X$ un conjunto cualquiera. Determinar el centro de $G^X$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H$ y $K$ subgrupos de $G$. 
\begin{ejitems}
\item Probar que si alguno de $H$ o $K$ es normal en $G$ entonces $HK$ es un
subgrupo.

\item Probar que si los dos son normales, entonces $HK$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item\label{normalidad-trans} El objetivo de este ejercicio es dar un ejemplo de
que la normalidad de subgrupos no es transitiva.
\begin{ejitems}

\item Sea $G$ el conjunto de isomorfismos afines; esto es, funciones $f:\RR^2\to\RR^2$ 
que pueden escribirse en la forma
  \[
  f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  = A\begin{pmatrix}
      x \\
      y 
    \end{pmatrix}+b
  \]
para ciertos $A\in \GL_2(\RR)$ y $b\in\RR^{2\times 1}$. Probar que $G$ es un grupo con la
composición de funciones.

\item Sea $T$ el subconjunto de $G$ formado por las traslaciones, es decir funciones 
$f:\RR^2\to\RR^2$ que pueden escribirse en la forma
  \[
  f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
      x \\
      y 
    \end{pmatrix}+b
  \]
para cierto $b\in\RR^{2\times 1}$. Probar que $T\unlhd G$. 

\item Sea $L$ el subconjunto de $T$ formado por las funciones $f:\RR^2\to\RR^2$ que 
pueden escribirse en la forma
  \[
  f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
      x \\
      y 
    \end{pmatrix}+b
  \]
con $b\in\ZZ^{2\times 1}$. Probar que $L$ es un subgrupo de $T$. Notar que como $T$ es
abeliano, $L\unlhd T$.

\item Probar que $L$ no es normal en $G$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item  Probar que todo subgrupo de $\HH$ es normal. Un grupo no abeliano con esta propiedad se dice \emph{Hamiltoniano}. El siguente
teorema de Reinhold Baer (1902--1979) describe completamente esta clase de grupos:

\begin{Teorema*}
\emph{(R. Baer, Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, S. B.
Heidelberg. Akad. Wiss. 2 (1933), 12-17)} Un grupo finito es hamiltoniano sii es
isomorfo a $\HH\times A$ para algún grupo abeliano que no tiene elementos de
orden~$4$.
\end{Teorema*}


\subsection{Morfismos y cocientes}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $X$ un conjunto. Dado $x_0\in X$ definimos $\ev_{x_0}:f\in G^X\mapsto f(x_0)\in G$. Mostrar que $\ev_{x_0}$ es un morfismo de grupos. Determinar su núcleo e imagen.

%%%%%%%%%%
\item Mostrar que cualquiera sea el grupo $G$, existe un isomorfismo entre $G$ y su grupo
	opuesto.


%%%%%%%%%%
\item\header{Signo de una permutación} Sea $n \in \NN$ y sea $\{e_i \mid 1 \leq i \leq n\}$ la base canónica de $\RR^n$.
Para cada $\sigma \in S_n$ definimos $p_\sigma \in M_n(\RR)$ como la matriz cuya $i$-ésima 
columna es el vector $e_{\sigma(i)}$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $\det p_\sigma = \pm 1$.
\begin{Solucion}
Consideremos el producto interno usual en $\RR^n$. La transformación lineal dada por la
matriz $p_\sigma$ envía una base ortonormal en una base ortonormal, y por lo tanto es 
ortogonal, en particular su determinante es $\pm 1$.
\end{Solucion}

\item La función $\sigma \in S_n \mapsto p_\sigma \in \GL_n(\RR)$ es un morfismo inyectivo 
  de grupos.
\begin{Solucion}
Sean $\tau, \sigma \in S_n$. Entonces $p_\tau p_\sigma e_i = p_\tau e_{\sigma(i)} = 
e_{\tau(\sigma(i))} = p_{\tau \circ \sigma} e_i$, es decir, la $i$-ésima columna de 
$p_\tau p_\sigma$ coincide con la $i$-ésima columna de $p_{\tau\sigma}$ y por lo tanto
ambas matrices son iguales, con lo cual la asignación es un morfismo de grupo.

Por otro lado si $\tau \neq \sigma$ entonces existe un $i 
\in [n]$ tal que $\tau(i) \neq \sigma(i)$, por lo tanto $p_\tau e_i = e_{\tau(i)} \neq 
e_{\sigma(i)} = p_\sigma e_i$, en particular $p_\tau \neq p_\sigma$ y la función es
inyectiva. 
\end{Solucion}

\item La función $\sg: \sigma \in S_n \mapsto \det p_\sigma \in \{\pm 1\}$ es
  un morfismo de grupos. En particular $A_n = \ker(\sg)$ es un subgrupo propio normal de 
  $S_n$, llamado el $n$-ésimo \emph{grupo alternante}.
\begin{Solucion}
Sabemos que $\det(AB) = \det A \det B$, i.e. $\det: \GL_n(\RR) \to \RR$ es un morfismo 
de grupos. Como $\sg = \det \circ (\tau \mapsto p_\tau)$ es composición de morfismos de 
grupo, entonces también lo es.
\end{Solucion}

\item Si $\tau = (i\,j)$ entonces $\sg(\tau) = -1$. Deducir que $\sg(\sigma) = 1$ (resp. 
$-1$) sii $\sigma$ se escribe como composición de un número par (resp. impar) de 
transposiciones.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo. Mostrar que la función $\ev_1:f\in\Hom_\Grp(\ZZ,G) \mapsto f(1)\in G$ es una 
biyección.

%%%%%%%%%%
\item Determinar $\Hom_\Grp(\QQ,\ZZ)$ y $\Hom_\Grp(\QQ,G)$ para un grupo finito $G$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo. En cada caso, encontrar condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación sea un morfismo de grupos.
\begin{ejitems}
\item $(g,h)\in G\times G\mapsto gh\in G$
\item $g\in G\mapsto g^{-1}\in G$
\item $g\in G\mapsto g^2\in G$
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $m,n\in\NN$. Probar que si $(m,n)=1$ entonces $\Hom_\Grp(\ZZ_m,\ZZ_n)$ es 
trivial. ¿Qué sucede en general?

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ y $H$ grupos, y sea $\Hom_{\Grp}(G,H)$ el conjunto de todos los morfismos
de grupos $f : G\to H$. ¿Se trata en general de un subgrupo de $H^G$? Encontrar 
condiciones sobre	$H$ que garanticen que lo sea.

%%%%%%%%%%
\item\label{hom:inner} Sea $G$ un grupo.
\begin{ejitems}

\item Dado $g\in G$, sea $\inn_g:h\in G\mapsto ghg^{-1}\in G$. Mostrar
que $\inn_g\in\Aut(G)$.

\item Mostrar que la aplicación $\inn:g\in
G\mapsto\inn_g\in\Aut(G)$ es un morfismo de grupos.

\item Describir el núcleo de $\inn$. Los automorfismos que están
en la imagen de $G$ se llaman \emph{automorfismos interiores} y la imagen misma
se denota $\Inn(G)$.

\item\label{hom:inner:normal} Mostrar que $\Inn(G)$ es un subgrupo
normal de $\Aut(G)$.

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Sea $f:G\to H$ un morfismo de grupos.
\begin{ejitems}

\item Probar que $f([G,G])\subseteq [H,H]$.
\begin{Solucion}
Sea $H' = H/[H,H]$ y sea $\pi: H \to H'$ la proyección al cociente. Como $H'$ es 
abeliano, $\pi \circ f([G,G]) = e_{H'}$, es decir que $f([G,G]) \subset \ker \pi = 
[H,H]$.
\end{Solucion}
\item ¿Es cierto en general que $f(\Z(G))\subseteq 
\Z(H)$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo. Un subgrupo $H$ de $G$ se dice \emph{característico} si
	$f(H)\subseteq H$ para todo $f \in \Aut(G)$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item Si $H\subseteq G$ es un subgrupo característico entonces $f(H)=H$ para todo
	$f\in\Aut(G)$.

\item $\Z(G)$ y $[G,G]$ son subgrupos característicos de $G$.

\item Si $H$ es un subgrupo característico de $G$ entonces $H$ es normal en $G$.

\item Si $H$ es el único subgrupo de $G$ de orden $|H|$ entonces es característico.

\item Si $H$ es un subgrupo característico de $G$ y $K$ es un subgrupo característico de
	$H$, entonces $K$ es un subgrupo característico de $G$. Comparar con el
	ejercicio \ref{normalidad-trans}.
	
\item Si $H\unlhd G$ y $K$ es un subgrupo característico de $H$, entonces $K\unlhd G$.

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Usando el hecho que $\GL_2(\ZZ_2)$ permuta los elementos no nulos de $\ZZ_2^2$, 
encontrar un isomorfismo $\GL_2(\ZZ_2)\cong S_3$.

\begin{Solucion}
Si $g\in\GL_2(\ZZ_2)$, podemos definir una aplicación
$\phi(g):v\in\ZZ_2^2\mapsto gv\in\ZZ_2^2$ dada por el producto matricial. Como
$\det g\neq0$, $\phi(g)$ es una biyección tal que $\phi(g)(0)=0$. Luego
$\phi(g)$ preserva $\ZZ_2^2\setminus0$ y la restricción a este conjunto es una
biyección. Es claro que la aplicación $\phi':g\in\GL_2(\ZZ_2)\mapsto
\phi(g)|_{\ZZ_2^2\setminus0}\in S(\ZZ_2^2\setminus0)$ es un morfismo de
grupos.

Casi por definición este morfismo es inyectivo. Contando, vemos que
$\GL_2(\ZZ_2)$ tiene $6$ elementos, así que $\phi'$ debe ser un
isomorfismo.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $X$ el conjunto de los elementos de orden $2$ de $S_3$.
Mostrar que cada automorfismo de $S_3$ induce una permutación de $X$ y deducir que
$\Aut(S_3)\cong S_3$.

\begin{Solucion}
Definimos $\phi:S_3\to S(X)$ de manera que si $g\in S_3$ y $x\in X$,
$\phi(g)(x)=gxg^{-1}$. Es fácil ver que se trata de un morfismo de grupos.
Como $\gen{X}=G$, usando la parte anterior concluimos que $\phi$ es inyectivo.
Como $\abs{X}=3$, es $\abs{S_3}=\abs{S(X)}=3!$ y $\phi$ debe ser un
isomorfismo.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Mostrar que:
\begin{ejitems}
\item $\CC^\times/\RR^+\cong S^1$;
\item $\GL_n(\k)/\SL_n(\k)\cong \k^\times$ si $\k$ es un cuerpo y $n\in\NN$;
\item $S^1/\GG_n\cong S^1$ si $n\in\NN$;
\item si $m|n$, $\GG_n/\GG_m\cong \GG_{n/m}$;
\item $G/\Z(G)\cong\Inn(G)$ para cualquier grupo $G$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$.
\begin{ejitems}
	\item Mostrar que hay un morfismo inyectivo $G/(H\cap K) \to G/H\times G/K$. ¿Cuándo es un isomorfismo?
	\item Deducir que si $G/H$ y $G/K$ son abelianos y $G\cap H=1$ entonces $G$ es abeliano.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo. Probar que $[G,G]\subseteq H$ sii $H\unlhd G$ y $G/H$ es abeliano.



\end{ejercicios}
\end{document}
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