INTRODUCCION A LA GEOMETRIA TROPICAL

OPTATIVA PRIMER CUATRIMESTRE 2010 -  Para Licenciatura y Doctorado.

Las clases comienzan en la semana del 22 de marzo.

Incluirá dos semanas en las que las clases serán dictadas por el reconocido matemático francés Bernard Teissier.

Consultas: alidick (arroba) dm.uba.ar

Correlativas: Algebra II, Análisis Complejo.

• Qué es la geometría tropical?

En álgebra tropical, la suma de dos números reales (o + infinito) es su mínimo y el producto de dos números es su suma usual. Esta estructura algebraica se llama semianillo tropical o álgebra min-plus (existe una versión equivalente tomando máximo en vez de mínimo).

El adjetivo “tropical” fue inventado por informáticos franceses, en particular Jean-Eric Pin, en honor a su colega brasilero Imre Simon, que fue pionero en el uso del álgebra max-plus en optimización. Es decir que no hay ningún significado profundo en el adjetivo “tropical”, sino que simplemente indica la visión francesa de Brasil (bueno, de algunos franceses).

Interesantemente, los métodos tropicales pueden usarse también para resolver problemas en álgebra, geometría, combinatoria y análisis complejo. El campo de la geometría tropical está en rápida expansión y no es posible cubrir en un curso en todos los aspectos. Nuestro foco será en el estudio de variedades tropicales (es decir, ceros de polinomios con las operaciones tropicales) que surgen de variedades algebraicas clásicas (es decir, ceros de polinomios, con las operaciones usuales).

• Programa breve del curso (se adaptará a la audiencia):
  
  - Aritmética y polinomios tropicales
  - Series de Puiseux e hipersuperfices tropicales
  - Amebas y amebas no arquimedianas
  -  Cálculo de variedades tropicales. Bases tropicales
  -  Espacios lineales tropicales
  -  Geometría tropical y aplicaciones.

• Bibliografia:
  
  

Seguiremos dos libros en preparación: uno de G. Mikhalkin y otro de Diane Maclagan y Bernd Sturmfels y varios artículos que iremos mencionando a lo largo del curso.

• Programa de las clases del Profesor Bernard Teissier: Valuation theory from a geometric viewpoint
  
  - Introduction to valuations, some examples, Abhyankar's inequality, rough classification, rational valuations. (if time permits: Some examples of applications to singularities of vector fields and to complex dynamical stystems).
  
  - Introduction to toric geometry. Basic examples, resolution of singularities of toric varieties.
  
  - More toric geometry, description of rational valuations using toric geometry.
  
  - Key polynomials, extensions of valuations. Extensions to complete local rings.
  
  - Key polynomials from a toric viewpoint and local uniformization for valuations of finite type.
  
  - Towards local uniformization in general.
  
  Nota: Durante las clases del Prof. Teissier no se darán las demostraciones completas, pero se explicarán claramente las ideas principales y se darán referencias.
  
  

Bibliografía de las clases del Prof. Teissier en pdf .