Teoría de Álgebras
Segundo cuatrimestre 2022
Mariano Suárez-Álvarez
Objetivo de la materia
El objetivo de la materia es poder llegar a describir las representaciones de algunas clases de álgebras asociativas de dimensión finita y, en el proceso, aprender el lenguaje y algunas de las técnicas usuales de la teoría de representaciones modernas.
Evaluación
La evaluación de la materia va a consistir en la entrega de ejercicios y una exposición final.
Horarios y aula
| Horario | Lunes y jueves, 14:00 a 17:00 |
|---|---|
| Aula | 1113, Pabellón 0 |
| Inicio de clases | Jueves 18 de agosto |
| Fin de clases | Sábado 3 de diciembre |
Programa
- Álgebras de dimensión finita y sus módulos.
- Álgebras semisimples. El Teorema de Wedderburn.
- Representaciones de grupos. El Teorema de Maschke.
- El radical y el teorema de Krull-Schmidt.
- Álgebras de caminos y el Teorema de Gabriel.
- Introducción a la teoría de Auslander-Reiten.
Bibliografía
- Representaciones: notas de clase.
- Carcajes y sus representaciones: notas de clase.
- Módulos: notas de clase.
- El lema de Zorn.
- Ibrahim Assem, Daniel Simson, Andrzej Skowroński: Elements of the representation theory of associative algebras. Vol. 1: Techniques of representation theory., Lond. Math. Soc. Stud. Texts, vol. 65, Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
- Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13, Springer-Verlag, New York, 1992.
- Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø: Representation theory of Artin algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
- Pavel Etingof, Oleg Golberg, Sebastian Hensel, Tiankai Liu, Alex Schwendner, Dmitry Vaintrob, Elena Yudovina: Introduction to representation theory. Student Mathematical Library, 59. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. Disponible en arXiv:0901.0827.
Algunos temas posibles de final
- Álgebras separables. Capítulo 10 del libro de Pierce.
- Cohomología de Hochschild y el Teorema Principal de Wedderburn. Capítulo 11 del libro de Pierce.
- Álgebras centrales simples y el grupo de Brauer. Capítulo 12 del libro de Pierce.
- Productos cruzados, el grupo de Brauer y cohomología de grupos. Capítulo 13 del libro de Pierce.
- Álgebras de Nakayama. Capítulo V del libro de Assem, Skowroński y Simson.
- La primera conjetura de Brauer-Thrall. Sección IV.5 del libro de Assem, Skowroński y Simson.
- Álgebras hereditarias. Principio del capítulo VII.5 del libro de Assem, Skowroński y Simson.