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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2019}
\Practica{6}
\Titulo{Variedades riemannianas}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Consideremos sobre $S^2$ la métrica riemanniana~$g$ inducida por la
de~$\RR^3$ y sea $(U,\phi)$ la carta de~$S^2$ tal que
$\phi(U)=(0,\pi)\times(0,2\pi)$ y 
  \[
  \phi^{-1}(\theta,\phi) = 
        (\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi\theta)
  \]
para cada $(\theta,\phi)\in(0,\pi)\times(0,2\pi)$. Determine la expresión
local con respecto a esa carta de la métrica~$g$, la de la correspondiente
forma de volumen y la de los símbolos de Cristoffel de la correspondiente
conexión de Levi--Civita.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M=\{(x,y)\in\RR^2:y>0\}$, consideremos sobre~$M$ a la carta
canónica dada por la inclusión~$M\to\RR^2$, y la métrica riemanniana~$g$
que en esa carta tiene expresión
  \[
  g = \frac{1}{y^2}dx^1\otimes dx^1+\frac{1}{y^2}dx^2\otimes dx^2.
  \]
Llamamos a la variedad riemanniana $M$ el \emph{semiplano de Poincaré}.
Determine la conexión de Levi--Civita vía los símbolos de Cristoffel.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo que actúa sobre una variedad~$M$ de manera
propiamente discontiua y sea $g$ una métrica riemanniana sobre~$M$.
\begin{ejitems}

\item Dé una definición de concepto de «métrica $G$-invariante» sobre~$M$.

\item Muestre que si la métrica~$g$ es $G$-invariante, entonces existe una
única métrica riemanniana sobre el cociente~$M/G$ de manera tal
que la proyección $\pi:M\to M/G$ es una isometría local.

\item Si el grupo $G$ es finito, entonces
  \[
  g = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{\gamma\in G}\gamma^*(g)
  \]
es una métrica riemanniana sobre~$M$ que es $G$-invariante.  

\item Muestre que la métrica usual de~$S^n$ es invariante con respecto a la
acción del grupo cíclico de orden dos $C_2$ en la que el elemento no
trivial actúa vía la función $x\in S^n\mapsto -x\in S^n$ y encuentre la
expresión de la métrica inducida sobre~$P^n=S^2/C_2$ con respecto a las
cartas usuales de~$P^n$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre la ecuación de las geodésicas en términos de los símbolos
de Cristoffel. Muestre que las geodésicas de~$\RR^n$ con respecto a su
métrica usual son las rectas, que las geodésicas de la esfera $S^n$ con
respecto a su métrica usual son los círculos máximos, y que las geodésicas
del semiplano de Poincaré son las semirrectas perpendiculares al borde o
los semicírculos centrados en el borde.
  \[
  \begin{tikzpicture}
  \clip (-2,0) rectangle (2,2);
  \fill[gray!20] (-2,0) rectangle (2,2);
  \draw[densely dotted] (-2,0) -- (2,0);
  \draw (0,0) -- (0,2);
  \draw (1,0) -- (1,2);
  \draw (-1.25,0) -- (-1.25,2);
  \draw (-0.25,0) arc(180:0:1);
  \draw (-1.5,0) arc(180:0:1.5);
  \draw (-4,0) arc(180:0:2.25);
  \end{tikzpicture}
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una subvariedad de codimensión~$1$ de~$\RR^n$. Dotemos
a~$\RR^n$ de su métrica usual, a $M$ de la métrica~$g$ inducida y sea $\nabla$
la conexión de Levi--Civita correspondiente a~$g$. Sean $X$ e~$Y$
elementos de~$\X(M)$, sea $p$ un punto de~$M$ y sea
$\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ una curva diferenciable tal que
$\alpha(0)=p$ y $\alpha'(0)=X_p$. Muestre que el valor de~$\nabla_XY$
en~$p$ coincide con la proyección ortogonal sobre~$T_pM$ del vector
  \[
  \frac{d}{dt}\Biggl|_{t=0} Y_{\alpha(t)}
  \]
de~$\RR^n$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable, sea $n=\dim M$ y sea $\nabla$ una
conexión sobre~$M$. Fijemos una curva diferenciable $c:(a,b)\to M$, un punt
$t_0\in(a,b)$ y y
escribamos $\X^\parallel(c)$ al conjunto de los campos vectoriales a lo
largo de~$c$ que son paralelos con respecto a~$\nabla$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que $\X^\parallel(c)$ es un espacia vectorial con respecto a
las operaciones naturales.

\item Si $v\in T_{c(t_0)}(M)$, hay un campo
$X\in\X^\parallel(c)$ tal que $X_{t_0}=v$.

\item Si $v_1$,~\dots,~$v_m\in T_{c(t_0)}M$ son vectores linealmente
independientes y $X_1$,~\dots,~$X_m$ son los elementos de~$\X^\parallel(c)$
tales que $(X_i)_{t_0}=v_i$ para cada $i\in\{1,\dots,m\}$, entonces para
cada $t\in(a,b)$ los $m$ vectores $(X_1)_{t}$,~\dots,~$(X_m)_t$
de~$T_{c(t)}M$ son linealmente indendientes.

\item Determine la dimensión de~$\X^\parallel(c)$ como espacio vectorial
real.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Considere sobre~$\RR^2$ la métrica usual y la carta dada por
coordenadas polares $(\theta,r)$ y sea $\nabla$ la conexión de
Levi--Civita. Calcule los campos
  \[
  \nabla_{\frac{\partial}{\partial r}}
        \left(\frac{\partial}{\partial r}\right)
  \qquad
  \nabla_{\frac{\partial}{\partial r}}
        \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right),
  \qquad
  \nabla_{\frac{\partial}{\partial \theta}}
        \left(\frac{\partial}{\partial r}\right),
  \qquad
  \nabla_{\frac{\partial}{\partial \theta}}
        \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right).
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad riemaniana, $\nabla$ la conexión de Levi--Civita
correspondiente y sea $c:(a,b)\to M$ una curva diferenciable. Muestre que si $X$ e~$Y$
son campos vectoriales a lo largo de~$c$, entonces
  \[
  \frac{d}{dt}\ip{X,X}
        = \ip{\nabla_{c'}X,Y} + \ip{X,\nabla_{c'}Y},
  \]
y deduzca de esto que el transporte paralelo con respecto a la conexión de
Levi--Civita preserva normals y ángulos y, en particular, que
$\operatorname{Hol}_p\subseteq O(T_pM)$ para cada punto $p\in M$

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo de Lie de dimensión~$n$.
\begin{ejitems}

\item Sean $X_1$,~\dots,~$X_n$ campos vectoriales invariantes a izquierda
que generan al álgebra de Lie~$\operatorname{Lie}(G)$ como espacio
vectorial. Muestre que hay exactamente una conexión afín~$\nabla$ sobre~$G$
tal que $\nabla_{X_i}X_j=0$ para cada elección de~$i$ y~$j$
en~$\{1,\dots,n\}$.

\item Muestre que, de hecho, la conexión~$\nabla$ no depende de la elección
de los campos invariantes a izquierda~$X_1$,~\dots,~$X_n$, mientras éstos
generen a~$\operatorname{Lie}(G)$. Esto nos dice que la conexión~$\nabla$
está canónicamente asociada al grupo~$G$: se la conoce como la
$(-)$-conexión de~$G$.

\item Calcule la curvatura y la torsión de esta conexión.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad riemaniana orientada y sea $dV$ el elemento de
volumen riemaniana correspondiente. Si $Xf\in \X(M)$ es un campo sobre~$M$,
llamamos \emph{divergencia} de~$X$ a la función $\div(f)$ tal que
  \[
  d(i_X(dV)) = \div(X)\cdot dV.
  \]
Obtenemos de esta forma una función $\div:\X(M)\to C^\infty(M)$.
\begin{ejitems}

\item Si $M$ es compacta, para cada $X\in\X(M)$ se tiene que
  \[
  \int_M\div(X)\cdot dV = \int_{\partial M}\ip{X,N}\cdot d\tilde{V},
  \]
con $N$ la normal unitaria interior a~$\partial M$ y $d\tilde V$ el
elemento de volumen riemaniano sobre~$\partial M$ correspondiente a la
métrica inducida por la de~$M$.

\item Si $u\in C^\infty(M)$ y $X\in\X(M)$, entonces
  \[
  \div(uX) = u\cdot\div(X) + \ip{\grad(u),X}.
  \]
y deducir la fórmula de integración por partes
  \[
  \int_M\ip{\grad(u),X}\cdot dV  
        = -\int_M u\cdot\div(X)\cdot dV
          +\int_{\partial M}u\ip{X,N}\cdot d\tilde V.
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $f$ es una función diferenciable sobre una variedad
riemaniana~$M$, el \emph{laplaciano} de~$f$ es la función
  \[
  \Delta(f) = \div(\grad(f)).
  \]
\begin{ejitems}

\item Muestre que el operador laplaciano en~$\RR^2$ con la métrica usual es
el laplaciano clásico. Determine el laplaciano de la esfera~$S^2$ dotada de
su métrica usual y del semiplano de Poincaré.

\item Usando el teorema de Stokes, muestre que si $M$ es una variedad
riemanniana orientada, compacta y sin borde, entonces para toda función $f\in
C^\infty(M)$ armónica ---esto es, tal que $\nabla(f)=0$--- se tiene que
  \[
  \int_M\abs{\grad(f)}^2\,dV = 0,
  \]
y concluya que una función armónica sobre~$M$ es localmente constante.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es un grupo de Lie que posee una métrica riemanniana
biinvariante, entonces el tensor de curvatura es tal que
  \[
  R(X,Y)Z=\frac14[Z,[X,Y]]
  \]
cada vez que $X$,~$Y$ y~$Z$ son campos vectoriales sobre~$G$ invariantes a
izquierda.

\end{ejercicios}

\end{document}
