\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{graphics}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\B{\mathscr{B}}
\newcommand\A{\mathscr{A}}
\renewcommand\L{\mathcal{L}}
\newcommand\X{\mathfrak{X}}
\newcommand\g{\mathfrak{g}}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter\ip{\langle}{\rangle}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\supp}{sop}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
\let\div\relax
\DeclareMathOperator{\div}{div}
\let\O\relax
\DeclareMathOperator{\O}{O}
\DeclareMathOperator{\U}{U}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\ol{\overline}
\renewcommand\d{\,\mathrm{d}}
\newcommand\fder[2][]{\frac{\partial^{#1}}{\partial #2}}
\newcommand\rder[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial #2}}
\newcommand\I{\mathcal I}

\hyphenation{para}

\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{5}
\Titulo{Variedades con borde y teorema de Stokes}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que el producto de una variedad con una variedad con borde es
una variedad con borde. ¿Qué puede decir del producto de dos variedades con
borde?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $F:\RR^n\to\RR$ es una función diferenciable que tiene a~$0$ por
valor regular, entonces el conjunto $M=\{x\in\RR^n:F(x)\geq0\}$ tiene una
estructura natural de variedad con borde tal que la inclusión $M\to\RR^n$
es diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Puede ser que la variedad subyacente a un grupo de Lie tenga borde
no vacío?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad con borde. Muestre que existe un campo vectorial 
$X\in\X(M)$ tal que para cada $p\in\partial M$ el vector $X_p\in T_pM$
apunta «hacia afuera».

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad compacta y sin borde de dimensión~$n$. Si
$\omega\in\Omega^n(M)$ es una forma de volumen, entonces $\omega$ no es
exacta.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad y sea $\omega\in\Omega^k(M)$.
\begin{ejitems}

\item Si $S$ es una subvariedad de dimensión~$k$ compacta, sin borde y
orientada de~$M$ tal que existe una subvariedad~$T$ de~$M$ con~$S=\partial
T$, entonces $\int_S\omega=0$.

\item Si $W$ es una subvariedad de~$M$ compacta y orientada tal que
$\partial W=S\sqcup T$, con $S$ y $T$ subvariedades de~$M$ dotadas de la
orientación inducida por~$W$, entonces $\int_S\omega=-\int_T\omega$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M$ es una variedad compacta, orientada y con borde, no existe
una retracción diferenciable $M\to\partial M$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una variedad conexa y compacta $M$ de dimension~$n$
es orientable si y solamente si $H^n(M)\cong\RR$, y si no lo es tiene
$H^n(M)\cong0$.

\end{ejercicios}

\end{document}
