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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{2}
\Titulo{Funciones diferenciables y espacios tangentes}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Funciones diferenciables}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$  y $N$ variedades. Una función continua $f:M\to N$ es
diferenciable si para todo abierto $U$ de~$N$ y toda función diferenciable
$g:W\to\RR$ se tiene que $g\circ f:f^{-1}(U)\to\RR$ es diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ dos variedades de la misma dimensión~$n$. Si $f:M\to
N$ es una función diferenciable cuya diferencial en cada punto tiene
rango~$n$, entonces $f(M)$ es un abierto de~$N$ y la correstricción $f:M\to
f(M)$ es un difeomorfismo local.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item La función
  \[
  (x_0,\dots,x_n)\in S^{n+1} \mapsto (x_0:\cdots:x_n)\in P^n(\RR)
  \]
es diferenciable. Pruebe que $S^1$ y $P^1(\RR)$ son variedades difeomorfas.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:M\to N$ una función diferenciable entre variedades de la misma
dimensión y supongamos que su dominio es compacto.
\begin{ejitems}

\item Para cada $q\in N$ que es un valor regular de~$f$
el conjunto $f^{-1}(q)$ es finito.

\item Sea $R$ el conjunto de los valores regulares de~$f$. El conjunto~$R$
es un abierto de~$N$ y la función 
  \[
  q\in R\mapsto\#f^{-1}(q)\in\NN_0
  \]
es localmente constante. ¿Es necesariamente constante?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sean $M$ y $N$ variedades con~$\dim M\leq\dim N$ y sea $f:M\to N$ una
función diferenciable. Si $p\in M$ es un punto regular de~$f$ y $(U,x)$ es
una carta de~$N$ con~$f(p)\in U$, entonces un subconjunto del conjunto
$\{x^i\circ f:1\leq n\leq\dim N\}$ es un sistema de coordenadas para~$M$ en
un entorno de~$p$.

\item Sea $f:M\to N$ una función diferenciable entre variedades. Si
$S$ una subvariedad de~$N$ tal que $f(M)\subseteq S$, entonces la
correstricción $f|^S:M\to S$ es diferenciable.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Cocientes}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo discreto, sea $M$ una variedad diferenciable y
supongamos que $G$ actúa sobre~$M$ por difeomorfismos. Decimos que la
acción de~$G$ es \emph{propiamente discontinua} si
  \[
  \claim[0.7]{todo punto $p\in M$ posee un entorno abierto $U$ de~$M$ tal que
  $U\cap g(U)=\emptyset$ siempre que $g\in G\setminus\{1\}$.}
  \]

\begin{ejitems}

\item Si la acción de~$G$ es propiamente discontinua, entonces es libre,
esto es, vale que
  \[
 \claim{si $p\in M$ y $g\in G$ son tales que $g\cdot p=0$ entonces $g=1$.}
 \]
Recíprocamente, si el grupo~$G$ es finito y la acción libre, entonces ésta
es propiamente discontinua.

\item Si la acción de~$G$ sobre~$M$ es propiamente discontinua, entonces
existe una única estructura de variedad diferenciable sobre el conjunto
cociente $M/G$ tal que la proyección canónica $\pi:M\to M/G$ es
diferenciable y se tiene que
  \[
  \claim{si $N$ es una variedad diferenciable, entonces
  una función $f:M/G\to N$ es diferenciable si y solamente si la
  composición $f\circ\pi:M\to N$ es diferenciable.}
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo cíclico infinito y sea $\gamma$ un generador de~$G$.
Hay una acción propiamente discontinua de~$G$ sobre~$\RR$ por difeomorfismos
tal que cada vez que $p\in\RR$ es
  \[
  \gamma\cdot p = p+1.
  \]
El cociente $\RR/G$ es difeomorfo a~$S^1$.

\item Sea $G$ un grupo cíclico de orden~$2$ y sea $\gamma$ un generador
de~$G$. Hay una acción propiamente discontinua de~$G$
sobre~$S^n$ por difeomorfismos tal que para todo $p\in S^n$ es 
  \[
  \gamma\cdot p=-p.
  \]
El cociente~$S^n/G$ es difeomorfo al espacio proyectivo $P^n(\RR)$.

\item Sea $G$ un grupo cíclico infinito y sea $\gamma$ un generador de~$G$.
Si $M=\RR\times(-1,1)$, entonces hay una accion propiamente discontinua
de~$G$ sobre~$M$ por difeomorfismos tal que para cada $(x,y)\in M$ es 
  \[
  \gamma\cdot(x,y) = (-x,y+1).
  \]
El cociente~$M/G$ es difeomorfo a la bande de Möbius. Si $H$ es el subgrupo
de~$G$ generado por~$\gamma^2$, entonces el cociente~$M/G$ es difeomorfo
a un cilindro $S\times\RR$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $H$ el conjunto de matrices de~$\GL_2(\RR)$ de la forma
  \begin{equation} \label{eq:xyz}\tag{*}
  \begin{pmatrix}
  1 & x & z \\
  0 & 1 & y \\
  0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \end{equation}
con $x$,~$y$,~$z\in\RR$. 
\begin{ejitems}

\item Muestre que $H$ es un subgrupo de~$\GL_2(\RR)$ y
que tiene una estructura de variedad que hace de él un
grupo de Lie de dimensión~$3$ difeomorfo a~$\RR^3$.

\item El subconjunto~ $\Gamma$  de~$H$ de las matrices de la forma~\eqref{eq:xyz}
con $x$,~$y$,~$z\in\ZZ$ es un subgrupo discreto. La función
  \[
  (g,h)\in \Gamma\times H\mapsto gh\in H
  \]
es una acción propiamente discontinua de~$\Gamma$ sobre~$H$ por difeomorfismos.
Muestre que la variedad cociente $H/\Gamma$ es compacta. Descríbala
geométricamente.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{El fibrado tangente}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y $\A$ su atlas
maximal. Sea $TM=\bigcup_{p\in M}M_{p}$ y sea $\pi :TM\to M$ la función tal
que $\pi (v)=p$ si $v\in M_{p}$. Para cada $(U,x)\in \A$, sea
$TU=\bigcup_{p\in U}M_{p}\subset TM$ y $\ol{x}:TU\to
x(U)\times \RR^{n}$ la función tal que
  \[
  \ol{x}(v)=(x(\pi (v)),v(x^{1}),\dots ,v(x^{n}))
  \]
cada vez que $v\in TU$.
\begin{ejitems}

\item La función $\ol{x}:TU\to x(U)\times \RR^{n}$ es una biyección
con inversa tal que
  \[
  \ol{x}^{-1}(a,b^{1},\dots,b^{n})
        = \sum_{i=1}^{n}b^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\Big|_{x^{-1}(a)}
  \]
para cada $a\in x(U).$

\item Si $(U,x)$,~$(V,y)\in \A$ y $U\cap V\neq\emptyset$, entonces $\ol{x}(TU\cap
TV)\times\RR^{n}$ es un abierto de $\RR^{2n}$ y 
la biyección $\ol{x}\circ \ol{y }^{-1}:y(U\cap V)\times\RR^{n}\to x(U\cap V)\times 
\RR^{n}$ es un difeomorfismo.

\item El conjunto $TM$ admite una estructura diferenciable que lo transforma en
una variedad diferenciable de dimensión $2n$, con atlas
  \[
  \ol{\A}=\{(TU,\ol{x}):(U,x)\in\A\}.
  \]

\item Con respecto a esta estructura diferenciable, la proyección $\pi :TM\to
M$ es diferenciable.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y $f\in
C^\infty(M)$. La aplicación $df:TM\to \RR$ es
diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y $(U,x)$ una
carta de $M$. Sean $p\in U$ y $a=x(p)$. Entonces la aplicación $(x^{-1})_{\ast a}:
\RR_{a}^{n}\to M_{p}$ es tal que
  \[
  (x^{-1})_{\ast a}(D_{i}\big|_{a})=\frac{\partial }{\partial x^{i}}\Big|_{p}
  \]
para todo $1\leq i\leq n$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ variedades diferenciables y sea $f:M\to N$ una función
diferenciable.
\begin{ejitems}

\item Si $f$ es constante, entonces $f_{\ast p}=0$ para todo $p\in M$.

\item Si $M$ es conexa y $f_{\ast p}=0$ para todo $p\in M,$ entonces $f$ es
constante.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule $f_{\ast p}$ para
\begin{ejitems}

\item $f=\pi_1:M\times N\to M$;

\item $f:S^n\to S_{\rho }^{n}$ con $f(u)=\rho u$;

\item $f:E \to F$, una transformación lineal entre espacios vectoriales de
dimensión finita dotados de su estructura usual de variedades.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f:\RR^{2}\to \RR^{2}$ y $g:\RR^{2}\to \RR^{3}$ las funciones definidas por
  \begin{gather*}
  f(x,y)=(x^{2}-2y,4x^{3}y^{2}), \\
  g(u,v)=(u^{2}v+v^{2},u-2v^{3},v\exp (u)).
  \end{gather*}
Encuentre la matriz de $f_{\ast
(1,2)}$ y de $g_{\ast (u,v)}$ y calcule $g_{\ast (0,1)}(4 \frac{\partial
}{\partial u}\big| _{(0,1)}-\frac{\partial }{\partial v}\big| _{(0,1)})$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad de dimensión $n$. Sean $\pi:TM\to M$ la
proyección natural y $v\in TM$. Calcular $\pi _{\ast v}(\frac{\partial 
}{\partial \ol{x}^{i}}\mid _{v})$ si $(TU,\ol{x})$ es la
carta de $TM$ asociada a la carta $(U,x)$ de $\pi (v)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item La variedad $TS^1$ es difeomorfa a~$S^1\times\RR$.

\end{ejercicios}

\foto{Whitney}{Hassler Whitney\\1907--1989, Estados Unidos}{}

\end{document}
