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\hyphenation{siguiente}

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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2019}
\Practica{1}
\Titulo{Variedades}

\hyphenation{homeo-morfismo holo-morfa}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n\geq1$ y sea
$\B=\{v_1,\dots,v_n\}$ una base de~$V$. Sea $\phi_\B:\RR^n\to V$ la función
tal que $\phi_\B(t_1,\dots,t_n)=\sum_{i=1}^nt_iv_i$ para cada
$(t_1,\dots,t_n)\in\RR^n$.
\begin{ejitems}

\item Hay una única topología que hace que $\phi_\B$ sea un homeomorfismo y
esa topología no depende de la base~$\B$ elegida.

\item El conjunto $\A_\B=\{(V,\phi_\B^{-1})\}$ es un atlas sobre~$V$ y la
estructura diferenciable que determina no depende de la base~$\B$ elegida.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\tau$ la topología euclídea de~$\RR^n$. El conjunto
$\tau_\B=\{\phi_\B(U):U\in\tau\}$ es una topología en~$V$ y si dotamos a~$V$
con esa topología es evidente que la función $\phi_\B$, que es un isomorfismo lineal,
es un homeomorfismo. Observemos que un subconjunto~$U$ de~$V$ pertenece
a~$\tau_\B$ si y solamente si $\phi_\B^{-1}(U)$ es un abierto de~$\RR^n$.

Supongamos ahora que $\B'=\{v'_1,\dots,v'_n\}$ es otra base de~$V$.
Como $\B$ y $\B'$ son bases de~$V$, hay una matriz
inversible $A=(a_{i,j})\in M_n(\RR)$ tal que $v_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}v'_j$
para cada $i\in\inter{n}$ y podemos considerar la función
$h:\RR^n\to\RR^n$ tal que cada vez que $t=(t_1,\dots,t_n)\in\RR^n$ e
$i\in\inter{n}$ la componente $i$-ésima de~$h(t)$ es
$h(t)_i = \sum_{j=1}^nt_ja_{j,i}$.
Esta función~$h$ es un isomorfismo lineal y, por lo tanto, un homeorfismo.
Se tiene, por otro lado, que $\psi_{\B'}=\psi_\B\circ h$. Esto implica que si $U$ es
un subconjunto de~$V$, entonces $U$ pertenece a~$\tau_\B$ si y solamente
si $\phi_\B^{-1}(U)$ es un abierto de~$\RR^n$, lo que ocurre si y solamente si
$h^{-1}(\phi_\B^{-1}(U))$ es un abierto de~$\RR^n$ y, como este conjunto
coincide con $(\phi_\B\circ h)^{-1}(U)=\phi_{\B'}^{-1}(U)$, esto ocurre a su vez si
y solamente si~$U$~pertenece a~$\tau_{\B'}$. Vemos así que las
topologías~$\tau_\B$ y~$\tau_{\B'}$ coinciden.

\ejitem{2} Como $\phi_\B$ es un homeorfismo, $V$ es un espacio Hausdorff y
posee una base numerable. Como el par $(V,\phi_\B^{-1})$ es el único elemento
de~$\A_\B$ y la función $\phi_\B^{-1}:V\to\RR^n$ es un homeorfismo, es claro que
$\A_\B$ es un atlas sobre~$V$ y que determina una estructura diferenciable
sobre el espacio~$V$.

Sea ahora $\B'=\{v'_1,\dots,v'_n\}$ otra base de~$V$ y sea $\A_{\B'}$ el
correspondiente atlas sobre~$V$. Para ver que $\A_\B$ y~$\A_{\B'}$
determinan la misma estructura diferenciable sobre~$V$ es suficiente que
mostremos que $\A_\B\cup\A_{\B'}$ es un atlas sobre~$V$. Como esta unión es
el conjunto $\{(V,\phi_\B^{-1}),(V,\phi_{\B'}^{-1})$, para mostrar esto es
suficiente, a su vez, probar que la composición
$\phi_{\B'}\circ\phi_\B^{-1}:\RR^n\to\RR^n$ es un difeomorfismo: esto es
inmediato, ya que esta función es, de hecho, un isomorfismo lineal. \qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $M$ es una variedad de dimensión~$m$ y $N\subseteq M$ es un
abierto no vacío, entonces $N$ tiene una estructura de variedad
diferenciable de dimensión~$m$ con respecto a la cual la
inclusión $N\hookrightarrow M$ es una función diferenciable.

\item Si $n\geq1$, el conjunto $\GL(n,\RR)\subset M_n(\RR)$ de las matrices
inversibles es una variedad diferenciable de dimensión $n^2$ de manera
natural. 

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $M$ una variedad de dimensión~$m$ y atlas maximal $\A$,
sea $N$ un abierto no vacío de~$M$ y consideremos el conjunto
  \[
  \A_N = \{(U,\phi)\in\A:U\subseteq N\}.
  \]
Claramente $N$ es un espacio topológico Hausdorff con base numerable.
Queremos mostrar que $\A_N$ es un atlas sobre~$N$.
\begin{itemize}

\item Si $p\in N$, entonces como $\A$ es un atlas maximal sobre~$M$ y $N$
es abierto, existe una carta $(U,\phi)\in\A$ tal que $p\in U\subseteq N$.
Esto nos dice que $(U,\phi)\in\A_N$ y, por lo tanto, que
$p\in\bigcup_{(U,\phi)\in\A_N}U$. Vemos así que los dominios de las cartas
de~$\A_N$ cubren a~$N$.

\item Si $(U,\phi)$ y $(V,\psi)$ son dos elementos de~$\A_N$, entonces
también son elementos de~$\A$ y, como $\A$ es un atlas, tenemos que la
función
  \[
  \psi\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)
  \]
es un difeomorfismo entre abiertos de~$\RR^n$. Esto muestra que $\A_N$
es un atlas.

\end{itemize}
De hecho, $\A_N$ es un atlas \emph{maximal} sobre~$N$, pero no
necesitaremos esto.

Veamos ahora que la inclusión $\iota:N\to M$ es diferenciable. Sea $U$ un
abierto de~$M$ y sea $f:U\to\RR$ una función diferenciable: tenemos que
mostrar que $f\circ\iota:\iota^{-1}(U)\to\RR$ es una función diferenciable
y para esto que cada vez que $(V,\phi)$ es una carta de~$\A_N$ tal que
$V\subseteq\iota^{-1}(U)$ la composición
$f\circ\iota\circ\phi^{-1}:\psi(V)\to\RR$ es diferenciable.

Sea entonces $(V,\phi)$ una carta de~$\A_N$ tal que
$V\subseteq\iota^{-1}(U)$. Como $(V,\phi)$ es un elemento de~$\A$ con
dominio contenido en $U$, que $f$ sea diferenciable sobre~$U$ nos dice que
$f\circ\phi:\phi(V)\to\RR$ es diferenciable: esto es precisamente lo que
queríamos, ya que la función $f\circ\phi$ es la misma que
$f\circ\iota\circ\phi$.

\ejitem{2} El espacio vectorial $M_n(\RR)$ tiene dimensión~$n^2$, así que
es, de manera canónica, una variedad diferenciable de dimensión~$n^2$. La
función $\det:M_n(\RR)\to\RR$ es diferenciable y, en particular, continua,
así que el conjunto
  \(
  \GL(n,\RR) = \{A\in M_n(\RR):\det(A)\neq0\}
  \)
es un abierto de~$M_n(\RR)$. De acuerdo a la primera parte de este
ejercicio, $\GL(n,\RR)$ tiene entonces una estructura natural de variedad
diferenciable de dimensión~$n^2$. \qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Construya explícitamente un atlas sobre los siguientes espacios
topológicos:
\begin{ejitems}

\item el cilindro $Z=\{(x,y,z)\in\RR^3:x^2+y^2=1\}$;

\item el toro $T^n=\underbrace{S^1\times\cdots\times S^1}_{\text{$n$ factores}}$;

\item los espacios proyectivos $P^n(\RR)$ y $P^n(\CC)$.
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $V=\RR^2\setminus\{(0,0)\}$ y consideremos la función
$\phi:V\to\RR^3$ tal que para cada $(x,y)\in V$ es
  \[
  \phi(x,y) =
  \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\log\sqrt{x^2+y^2}\right).
  \]
Se trata evidentemente de una función continua. Por otro lado, la
función $\Psi:\RR^3\to\RR^2$ tal que 
  \(
  \Psi(u,v,w) = (e^wu, e^wv)
  \)
para cada $(u,v,w)\in\RR^3$ diferenciable y se restringe a una función
continua $\psi:Z\to V$. Calculando directamente, se ve fácilmente que
$\phi$ y $\psi$ son funciones inversas, así que se trata de homeomorfismos.
Esto implica que $\A=\{(Z,\psi)\}$ es un atlas sobre~$Z$. Como $Z$ es un
subespacio de~$\RR^3$, es evidente que es Hausdorff y que posee una base
numerable. De esta forma, entonces, podemos ver a~$Z$ como variedad
diferenciable de dimensión~$2$.

\bigskip

\ejitem{2} Consideremos primero el caso en que $n=1$, de manera que el
espacio es   
  \[
  S^1=\{(x,y)\in\RR^2:x^2+y^2=1\}.
  \]
Sean $I=(-\pi,\pi)$ y $\epsilon\in\{\pm1\}$, y consideremos la función
  \[
  \psi_\epsilon:t\in I\mapsto(\epsilon\cos t,\sin t)\in S^1
  \]
y el abierto $U_\epsilon=S^1\setminus\{(-\epsilon,0)\}$ de~$S^1$, que es la
imagen de~$\phi_\epsilon$.
Sea $\phi_\epsilon:U_\epsilon\to I$ la función tal que
  \[
  \phi_\epsilon(x,y) = 2\arctan\frac{y}{1+\epsilon x} 
  \]
para cada $(x,y)\in U_\epsilon$, que es claramente continua.

Sea $(x,y)\in U_\epsilon$. La identidad
  \[
  \cos 2\alpha = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha},
  \]
válida para todo $\alpha\in\RR$, implica que
  \begin{align*}
  \MoveEqLeft
  \epsilon\cos\left(2\arctan\frac{ y}{1+\epsilon x}\right)
        = \epsilon\frac{1-y^2/(1+\epsilon x)^2}{1+y^2/(1+\epsilon x)^2)}
        = \epsilon\frac{(1+\epsilon x)^2-y^2}{(1+\epsilon x)^2+y^2} \\
       &= \epsilon\frac{1+2\epsilon x+x^2-y^2}{1+2\epsilon x+x^2+y^2} 
        = \epsilon\frac{1+2\epsilon x+2x^2-(x^2+y^2)}{1+2\epsilon x+(x^2+y^2)} \\
       &= \epsilon\frac{2\epsilon(1+\epsilon x)x}{2(1+\epsilon x)} 
        = x,
  \end{align*}
ya que $x^2+y^2=1$. De manera similar, la identidad
  \[
  \sin2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha},
  \]
válida para todo $\alpha\in\RR$, implica que
  \begin{align*}
  \sin\left(2\arctan\frac{y}{1+\epsilon x}\right)
       &= \frac{2y/(1+\epsilon x)}{1+y^2/(1+\epsilon x)^2}
        = \frac{2y(1+\epsilon x)}{(1+\epsilon x)^2+y^2} \\
       &= \frac{2y(1+\epsilon x)}{1+2\epsilon x+x^2+y^2} 
        = \frac{2y(1+\epsilon x)}{2(1+\epsilon x)} = y.
  \end{align*}
Esto nos dice que $\psi_\epsilon(\phi_\epsilon(x,y))=(x,y)$ para cada
$(x,y)\in U_\epsilon$.
Por otro lado, si $t\in\RR$, entonces
  \[
 \phi_\epsilon(\psi_\epsilon(t))
        = 2\arctan\frac{\sin t}{1+\cos t}
        = 2\arctan\tan\frac{t}{2}
        = t.
  \]
Vemos así que $\psi_\epsilon:I\to U_\epsilon$ y
$\phi_\epsilon:U_\epsilon\to I$ son homeomorfismos inversos. Es
$U_{+1}\cup U_{-1}=S^1$, así que para ver que 
  \[
  \A=\{(U_{+1},\phi_{+1}),(U_{-1},\phi_{-1})\}
  \]
es un atlas es suficiente mostrar que la composición
  \[
  \phi_{+1}\circ\phi_{-1}^{-1}:\phi_{-1}(U_{+1}\cap U_{-1})
        \to \phi_{+1}(U_{+1}\cap U_{-1})
  \]
es diferenciable. Es $U_{+1}\cap U_{-1}=S^1\setminus\{(1,0),(-1,0)\}$ y
  \[
  \phi_{+1}(U_{+1}\cap U_{-1})
        = \phi_{-1}(U_{+1}\cap U_{-1})
        = I\setminus\{0\}.
  \]
Si $t\in I\setminus\{0\}$, entonces
  \[
  \phi_{+1}(\phi_{-1}^{-1}(t))
        = \phi_{+1}(-\cos t,\sin t)
        = 2\arctan\frac{\sin t}{1-\cos t}
        = 2\arctan\cot\frac{t}{2}.
  \]
Es claro, por lo tanto, que $\phi_{+1}\circ\phi_{-1}^{-1}$ es
diferenciable en $I\setminus\{0\}$.

De esta forma hemos construido sobre~$S^1$ una estructura de variedad
diferenciable. Usando el resultado del Ejercicio~\ref{ej:producto} y una
inducción evidente, entonces, podemos construir una estructura
diferenciable sobre el producto $S^1\times\cdots\times S^1$.

\bigskip

\ejitem{3} Fijemos $K\in\{\RR,\CC\}$ y sea
$P^n(K)=(K^{n+1}\setminus\{0\})/\simeq$, con $\simeq$ la relación de
equivalencia en~$K^{n+1}$ tal que si $x$,~$y\in K^{n+1}$ es
  \[
  x\simeq y\iff\text{existe $\lambda\in K\setminus0$ tal que $x=\lambda y$.}
  \]
Si $x=(x_0,\dots,x_n)\in K^{n+1}$, escribimos
$(x_0:\cdots:x_n)$ a la clase de~$x$ en~$P^n(K)$. Escribimos
$\pi:K^{n+1}\setminus0\to P^n(K)$ a la proyección canónica y ponemos
en~$P^n(K)$ la topología cociente, de manera que $\pi$ es una
identificación. De acuerdo a [Munkres, Theorem~22.1], si $U$ es un abierto
de~$K^{n+1}$ saturado con respecto a la relación~$\simeq$, entonces la
restricción de~$\pi$ a una función $U\to\pi(U)$ también es una
identificación.

Sea $I=\{0,\dots,n\}$ y para cada $i\in I$ sea
  \[
  U_i = \{(x_0:\dots:x_n)\in P^n(K):x_i\neq0\}
  \]
y sea $\phi_i:U_i\to K^n$ la función tal que para cada clase
$(x_0:\cdots:x_n)\in P^n(K)$ es
  \[
  \phi_i(x_0:\dots:x_n) = 
        \left(
        \frac{x_0}{x_i}
        :\cdots
        :\widehat{\;\frac{x_i}{x_i}\;}
        :\cdots
        :\frac{x_n}{x_0}
        \right).
  \]
Es inmediato verificar que se trata de una biyección, cuya función inversa
es
  \[
  \psi_i: 
  (x_1,\dots,x_n)\in K^n\mapsto(x_1:\dots:x_{i-1}:1:x_i:\cdots:x_n)\in P^n(K).
  \]
Sea $\tilde U_i=\pi^{-1}(U_i)$, que es el conjunto $\{(x_0,\dots,x_n)\in
K^{n+1}:x_i\neq0\}$. La restricción $\pi|_{\tilde U_i}:\tilde U_i\to U_i$
es una identificación, como dijimos arriba, y es claro que la composición
$\phi_i\circ\pi|_{\tilde U_i}:\tilde U_i\to K^n$ es continua: esto nos dice
que $\phi_i$ es continua.  Por otro lado, la función $\psi_i$ es la
composición de
  \[
  (x_1,\dots,x_n)\in K^n
  \mapsto
  (x_1,\dots,x_{i-1},1,x_i,\dots,x_n)\in K^{n+1}\setminus0,
  \]
que es continua, con $\pi:K^{n+1}\setminus0\to P^n(K)$, así que $\psi_i$ es
continua. Vemos así que $\phi_i$ es un homeomorfismo.

Elijamos ahora $i$,~$j\in I$ tales que $i<j$. Es
  \begin{gather*}
  U_i\cap U_j = \{(x_0:\cdots:x_n)\in P^n(K):x_i\neq0\neq x_j\}, \\
  \phi_i(U_i\cap U_j) = \{(x_1,\dots,x_n)\in K^n:x_{j-1}\neq0\}, \\
  \phi_j(U_i\cap U_j) = \{(x_1,\dots,x_n)\in K^n:x_{i}\neq0\} 
  \end{gather*}
y la función
  \[
  \phi_i\circ\phi_j^{-1}:\phi_j(U_i\cap U_j)\to\phi_i(U_i\cap U_j)
  \]
es tal que para cada $(x_1,\dots,x_n)\in \phi_j(U_i\cap U_j)$ se tiene que
  \[
  (\phi_i\circ\phi_j^{-1})(x_1,\dots,x_n)
        = \left(
          \frac{x_1}{x_i},
          \dots,
          \frac{x_{i-1}}{x_i},
          \widehat{\;\frac{x_i}{x_i}\;},
          \frac{x_{i+1}}{x_i},
          \dots,
          \frac{x_{j-1}}{x_i},
          \frac{1}{x_i},
          \frac{x_{j}}{x_i},
          \dots,
          \frac{x_{n}}{x_i}
          \right).
  \]
Si $K=\RR$, entonces $\phi_i(U_i\cap U_j)$ y $\phi_j(U_i\cap U_j)$ son
abiertos de~$\RR^n$ y claramente la función $\phi_i\circ\phi_j^{-1}$, que
va del primero al segundo, es diferenciable. Si en cambio $K=\CC$, entonces
aquellos dos conjuntos son abiertos de~$\CC^n$ y la función $\phi_i\circ\phi_j^{-1}$
es holomorfa: por supuesto, esto implica que, vista como una función entre
abiertos de~$\RR^{2n}$ es diferenciable. En cualquiera de los dos casos,
vemos que
  \(
  \A = \{(U_i,\phi_i):i\in I\}
  \)
es un atlas sobre~$P^n(K)$. La dimensión de~$P^n(K)$ es $n$ si $K=\RR$ y
$2n$ si $K=\CC$. \qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item El conjunto de vectores normales unitarios a una curva
regular en~$\RR^3$ tiene una estructura natural de variedad diferenciable
de dimensión~$2$.

\item Sea $\Omega$ un abierto de~$\RR^n$ y sea $F:\Omega\to\RR$ una función
diferenciable que tiene a~$0$ como valor regular, de manera que el conjunto
$M=F^{-1}(0)$ es una subvariedad de~$\RR^n$. Muestre que el conjunto $SM$ de
vectores unitarios tangentes a~$M$ tiene una estructura natural de variedad
de dimensión $2n-3$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1}
Sea $\gamma:(a,b)\to\RR^3$ una curva regular. Sea
$F:(a,b)\times\RR^3\to\RR^2$ tal que
  \[
  F(t,v) = (\ip{v,\gamma'(t)},\ip{v,v})
  \]
para cada $(t,v)\in(a,b)\times\RR^3$. Es claro que $F$ es una función
diferenciable. Afirmamos que $(0,1)$ es un valor regular de~$F$. Es
  \[
  \frac{\partial F}{\partial t}(t,v) = (\ip{v,\gamma''(t)},0)
  \]
y para cada $i\in\{1,2,3\}$ es
  \[
  \frac{\partial F}{\partial v_i}(t,v) = (\gamma'_i(t),2v_i),
  \]
así que la matriz jacobiana de~$F$ en el punto $(t,v)$ es
  \[
  J(t,v) = 
  \begin{pmatrix}
  \ip{v,\gamma''(t)} & \gamma'_1(t) & \gamma'_2(t) & \gamma'_3(t) \\
  0 & 2v_1 & 2v_2 & 2v_3
  \end{pmatrix}
  \] 
Sea $(t,v)\in(a,b)\times\RR^3$ tal que $F(t,v)=(0,1)$, entonces
$\ip{v,v}\neq0$ y, por lo tanto, $v\neq0$. Por otro lado,
$\ip{v,\gamma'(t)}=0$ y, como la curva es regular, $\gamma'(t)\neq0$. Si la
matriz $J(t,v)$ tiene rango menor que $2$, entonces sus dos filas son
linealmente dependientes y, en particular, mirando las últimas tres
columnas, los vectores $\gamma'(t)$ y $v$ son paralelos: como ambos son no
nulos, esto es imposible porque son ortogonales.

Así, el conjunto $\Sigma=F^{-1}(0,1)$ es una subvariedad
de~$(a,b)\times\RR^3$: claramente, si $(t,v)\in\Sigma$ entonces $v$ es un
vector unitario normal a~$\gamma$ en~$\gamma(t)$.

\bigskip

\ejitem{2} Sea $G:\Omega\times\RR^n\to\RR^3$ tal que 
  \(
  F(x,v) = (F(x),\ip{\nabla F(x),v},\ip{v,v})
  \)
para cada $(x,v)\in\Omega\times\RR^n$. Es una función diferenciable: veamos
que $(0,0,1)$ es un valor regular. Si $(x,v)\in\Omega\times\RR^n$, entonces
en $(x,v)$ es
  \begin{align*}
  &  \frac{\partial G}{\partial x_i} 
        = \left(
                \frac{\partial F}{\partial x_i},
                \ip*{\frac{\partial \nabla F}{\partial x_i},v},
                0
          \right),
  && \frac{\partial G}{\partial v_i}
        = \left(
                0,
                \frac{\partial F}{\partial x_i},
                2v_i
          \right),
  \end{align*}
así que la matriz jacobiana es
  \[
  J(x,v) = 
  \begin{pmatrix}
  \partial F/\partial x_1 & \cdots & \partial F/\partial x_n
        & 0 & \cdots & 0 \\
  * & \cdots & * & \partial F/\partial x_1 & \cdots & \partial F/\partial x_n\\
  0 & \cdots & 0 & 2v_1 & \cdots & 2v_n
  \end{pmatrix}
  \]
Supongamos que $(x,v)\in\Omega\times\RR^n$ es tal que $F(x,v)=(0,0,1)$.
Como $0$ es un valor regular de~$F$ y $F(x)=0$, tenemos que $\nabla
F(x\neq0)$; como $\ip{v,v}=0$, es $v\neq0$. Como además $\ip{\nabla
F(x),v}=0$, los vectores $\nabla F(x)$ y $v$ son linealmente
independientes: esto implica que el menor inferior derecho de tamaño $2\times n$ 
de la matriz $J(x,v)$ tiene rango~$2$. Además, alguna de las entradas de la
primera fila de~$J(x,v)$ es no nula, y entonces es claro que el rango
de~$J(x,v)$ es exactamente~$3$.

Podemos concluir, entonces, que $\Sigma=F^{-1}(0,0,1)$ es una subvariedad
de~$\Omega\times\RR^n$ de dimensión $\dim\Omega\times\RR^n-3=2n-3$. \qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que los siguientes espacios son variedades diferenciales y
determine sus dimensiones.
\begin{ejitems}

\item $\GL(n,\CC)\subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices complejas
$n\times n$ inversibles;

\item $\SL(n,\RR)\subset M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices reales
$n\times n$ de determinante~$1$;

\item $\SL(n,\CC)\subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices complejas
$n\times n$ de determi\-nante~$1$;

\item $\O(n,\RR)\subseteq M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices
reales $n\times n$ que son ortogonales, esto es, las matrices $A$ tales que
$AA^t=I$.

\item $\U(n,\RR)\subseteq M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices
complejas $n\times n$ que son unitarias, esto es, las matrices $A$
tales que $AA^*=I$.

\item $\Sp(2n,\RR)$, el conjunto de las matrices $A\in M_{2n}(\RR)$ tales
que $A\Omega A^t=\Omega$, con
  \[
  \Omega=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix},
  \]
y el conjunto~$\Sp(2n,\CC)$ definido de manera similar pero empezando con
matrices con coeficientes complejos.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Tenemos una función diferenciable $\det:M_n(\CC)\to\CC$ y
$\GL(n,\CC)$ es el subconjunto $\{A\in M_n(\CC):\det A\neq0\}$. Este
subconjunto es, por lo tanto, un abierto de~$M_n(\CC)$ y, como este último
es un espacio vectorial real de dimensión~$2n$ de manera natural, vemos que
$\GL(n,\CC)$ es, a su vez, una variedad diferenciable de dimensión~$2n$.

\bigskip

\ejitem{2} Sea $F:A\in M_n(\RR)\mapsto\det A\in\RR$. Es
$\SL(n,\RR)=F^{-1}(1)$, así que para ver que $\SL(n,\RR)$ es una variedad,
será suficiente con mostrar que $1$ es un valor regular de~$F$.

Sea $A=(a_{i,j})$ un elemento de~$M_n(\RR)$ y fijemos $k,l\in\{1,\dots,n\}$. 
Desarrollando el determinante a lo largo a la fila~$k$-ésima tenemos que
  \[
  \det A = \sum_{r=1}^n(-1)^{k+r}a_{k,r}A_{k,r},
  \]
con $A_{k,r}$ el determinante del menor de~$A$ que se obtiene borrándole la
fila $k$-ésima y la columna $r$-ésima. Claramente todos los escalares
$A_{k,r}$ con $r\in\{1,\dots,n\}$ son independientes de~$a_{k,l}$, así que
  \[
  \frac{\partial F}{\partial a_{k,l}}(A)
        = (-1)^{k+l}A_{k,l}.
  \]
Esto nos dice que la diferencial $D_AF:M_n(\RR)\to\RR$ 
es la función tal que
  \[
  D_AF(B) = \sum_{i,j=1}^n(-1)^{i+j}b_{i,j}A_{i,j}
  \]
para cada $B=(b_{i,j})\in M_n(\RR)$. Si $A\in\SL(n,\RR)$, entonces en
particular, $A$ es inversible y $A\adj(A)=I$: esto nos dice que
$\adj(A)\neq0$ y, por lo tanto, que $D_AF$ no es la función nula. Así, $1$
es un valor regular de~$F$, como queríamos.

\bigskip

\ejitem{3} Sea ahora $F:A\in M_n(\CC)\mapsto\det A\in\CC$, de manera que
$\SL(n,\CC)=F^{-1}(1)$. Para ver que $\SL(n,\CC)$ es una subvariedad
de~$M_n(\CC)$ tenemos que mostrar que $1$ es un valor regular de~$F$; aquí
estamos viendo a $M_n(\CC)$ y a~$\CC$ como espacios vectoriales reales de
dimensión~$2n^2$ y $2$.

Sea $A=(a_{i,j})\in\SL(n,\CC)$ y sean, para cada $i$,~$j\in\{1,\dots,n\}$,
$x_{i,j}$ e~$y_{i,j}$ las partes real e imaginaria de~$a_{i,j}$,
respectivamente. Usando como en la parte anterior el desarrollo del
determinante de~$A$ con respecto a su fila~$r$-ésima, vemos inmediatamente
que
  \begin{align*}
  &  \frac{\partial F}{\partial x_{k,l}}(A)
        = (-1)^{k+l}A_{k,l}.
  && \frac{\partial F}{\partial y_{k,l}}(A)
        = (-1)^{k+l}A_{k,l}\sqrt{-1}.
  \end{align*}
Se sigue de esto que la diferencial $D_AF:M_n(\CC)\to\CC$ es tal que
  \[
  D_AF(B) = \sum_{i,j}(-1)^{i+j}b_{i,j}A_{i,j}
  \]
para cada $B=(b_{i,j})\in M_n(\CC)$. Como $A$ es inversible, su matriz
adjunta no es nula y existen $i_0$ y $j_0$ tales que $A_{i_0,j_0}\neq0$, y
esto implica inmediatamente que $D_AF$ es sobreyectiva.

Esto prueba que $1$ es, como queríamos, un valor regular de~$F$,
así que podemos concluir que
$\SL(n,\CC)$ es una subvariedad de~$M_n(\CC)$ de dimensión
  \[
  \dim\SL(n,\CC) = \dim M_n(\CC) - \dim \CC = 2(n^2 -1).
  \]

\bigskip

\ejitem{4} Sea $S_n(\RR)$ el conjunto de las matrices de~$M_n(\RR)$ que son
simétricas y sea $F:M_n(\RR)\to S_n(\RR)$ la función tal que $F(A)=AA^t$
para cada $A\in M_n(\RR)$. Es claro que $F$ es diferenciable. Más aún, si
$h\in\RR$ y $A\in M_n(\RR)$, entonces
  \[
  F(A+hB)-F(A)
    = (A+hB)(A+hB)^t-AA^t
    = h(AB^t+BA^t)+h^2BB^t
  \]
y es inmediato, por lo tanto, que la diferencial $D_AF:M_n(\RR)\to
S_n(\RR)$ en~$A$ tiene
  \[
  D_AF(B) = AB^t+BA^t
  \]
para todo $B\in M_n(\RR)$.

Fijemos ahora $A\in\O(n,\RR)=F^{-1}(I)$, con $I$ la matriz identidad. 
Tenemos entonces que $AA^t=I$
y, por lo tanto, que $A$ es inversible y que su inversa es~$A^t$.
Las funciones $\lambda_A:C\in M_n(\RR)\mapsto AC\in M_n(\RR)$ e
$\iota_A:C\in S_n(\RR)\mapsto ACA^t\in S_n(\RR)$ son isomorfismos lineales
y conmuta el diagrama
  \[
  \begin{tikzcd}
  M_n(\RR) \arrow[d, swap, "\lambda_A"] \arrow[r, "D_IF"]
    & S_n(\RR) \arrow[d, "\iota_A"]
    \\
  M_n(\RR) \arrow[r, "D_AF"]
    & S_n(\RR)
  \end{tikzcd}
  \]
Esto implica, ya que las flechas verticales son isomorfismos, que el rango
de~$D_AF$ es el mismo que el de~$D_IF$. Como sabemos que la función 
  \[
  D_I:C\in M_n(\RR)\mapsto C+C^t\in S_n(\RR)
  \]
es sobreyectiva, concluimos de esta forma que la diferencial $D_AF$ es
sobreyectiva para toda $A\in\O(n,\RR)$. Se sigue de esto que
$\O(n,\RR)=F^{-1}(I)$ es una subvariedad de dimensión
  \[
  \dim\O(n,\RR) = \dim M_n(\RR)-\dim S_n(\RR)
                = n^2 - \frac12n(n+1)
                = \frac12n(n-1).
  \]

\bigskip

\ejitem{5} Sea ahora $H_n(\CC)=\{A\in M_n(\CC):A=A^*\}$, que es un
subespacio de dimensión~$n^2$ del espacio vectorial real $M_n(\CC)$, y 
consideremos la función $F:A\in M_n(\CC)\mapsto AA^*\in H_n(\CC)$.

Sea $A\in U(n,\CC)$ y sea $B\in M_n(\CC)$. Si $h$ es un número \emph{real}
no nulo, entonces
  \begin{align*}
  F(A+hB)-F(A)
       &=(A+hB)(A+hB)^*=(A+hB)(A^*+hB^*)-AA^* \\
       &= h(BA^*+AB^*)+h^2BB^*
  \end{align*}
y entonces la función $F$ es diferenciable (en el sentido real!) en~$A$ y
su diferencial allí es la función $\RR$-lineal
  \[
  D_AF:B\in M_n(\CC) \mapsto BA^*+AB^* \in H_n(\CC).
  \]
Observemos que $F$ no es diferenciable en el sentido complejo. Consideremos
ahora las funciones lineales
$\lambda_A:B\in M_n(\CC)\mapsto AB\in M_n(\CC)$ e $\iota_A:B\in
H_n(\CC)\mapsto ABA^*\in H_n(\CC)$, que son isomorfismos de espacios
vectorialers y hacen conmutar el diagrama  
  \[
  \begin{tikzcd}
  M_n(\CC) \arrow[r, "D_AF"] \arrow[d, swap, "\lambda_A"]
    & H_n(\CC) \arrow[d, "\iota_A"]
    \\
  M_n(\CC) \arrow[r, "D_IF"]
    & H_n(\CC)
  \end{tikzcd}
  \]
Como las flechas verticales son isomorfismos, para ver que la función $D_AF$ es
sobreyectiva es suficiente con mostrar que $D_IF$ lo es y eso es inmediato.

Concluimos con todo esto que $\U(n,\CC)$ es una variedad diferenciable de
dimensión
  \[
  \dim\U(n,\CC) = \dim M_n(\CC)-\dim H_n(\CC) = 2n^2 - n^2 = n^2.
  \]

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M=\RR$. 
\begin{ejitems}

\item Los conjuntos $\A=\{(M,\id:M\to\RR)\}$ y $\A'=\{(M,\phi:t\in
M\mapsto t^3\in\RR)\}$ son dos atlas sobre~$M$ que no son compatibles, de
manera que los atlas maximales que los contienen son distintos y determinan
variedades diferenciales $(M,\A)$ y $(M,\A')$ distintas.

\item Las variedades diferenciales $(M,\A)$ y $(M,\A')$ son difeomorfas.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ variedades de dimensiones~$m$ y~$n$, respectivamente.
\begin{ejitems}

\item\label{ej:producto} El espacio producto $M\times N$ tiene una estructura natural de
variedad diferenciable de dimensión~$m+n$ y con respecto a esta estructura
las proyecciones $p_1:M\times
N\to M$ y $p_2:M\times N\to N$ son funciones diferenciables.

\item Si $P$ es una variedad y $f:P\to M$ y $g:P\to N$ son funciones
diferenciables, entonces existe exactamente una función diferenciable $h:P\to
M\times N$ tal que $p_1\circ h=f$ y $p_2\circ h=g$.

\item Si $M$ es una variedad, las funciones $\id:M\to M$ y $\Delta:x\in
M\mapsto (x,x)\in M\times M$ son diferenciables.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Las variedades $\GL(n,\RR)$, $\GL(n,\CC)$, $\SL(n,\RR)$,
$\SL(n,\CC)$, $\O(n,\RR)$, $\O(n,\CC)$, $\Sp(2n,\RR)$ y $\Sp(2n,\CC)$ son
grupos de Lie cuando los dotamos del producto dado por la multiplicación
matricial.

\item Si $G$ es un grupo de Lie, entonces la componente conexa que contiene
al elemento identidad es un subgrupo abierto y cerrado de~$G$.

\item Los grupos $\GL(n,\RR)$ y $\O(n,\RR)$ tienen dos componentes conexas y
$\GL(n,\RR)$ y $\SL(n,\RR)$ son conexos.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
Que cada uno de esos conjuntos es un grupo para la multiplicación matricial
es inmediato. Los grupos $\SL(n,\RR)$ y $\O(n,\RR)$ 
son subgrupos cerrados de $\GL(n,\RR)$, $\Sp(2n,\RR)$ es un
subgrupo cerrado de~$\GL(2n,\RR)$, $\SL(n,\CC)$, $\O(n,\CC)$  y $\U(n,\CC)$
son subgrupos cerrados de~$\GL(n,\CC)$ y $\Sp(2n,\CC)$ es un subgrupo
cerrado de~$\GL(2n,\CC)$. Para ver que se trata de grupos de Lie, entonces,
es suficiente con mostrar que $\GL(n,\RR)$ y $\GL(n,\CC)$ son grupos de Lie
para todo $n\in\NN$.

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sean $M$ y $N$ dos variedades. Una función $f:M\to N$ es
diferenciable si y solamente si para cada función diferenciable $g:N\to\RR$
la composición $g\circ f:M\to\RR$ es diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Una variedad conexa de dimensión~$1$ es difeomorfa a~$\RR$ o
a~$S^1$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{La topología de las variedades}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una variedad diferenciable es localmente conexa y localmente
compacta.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M$ es una variedad, entonces existe una sucesión $(K_n)_{n\geq1}$
de subespacios compactos de~$M$ tales que $M=\bigcup_{n\geq1}M_n$ y
$K_i\subseteq\inte K_{i+1}$ para cada $i\in\NN$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una variedad diferenciable es paracompacta.

\end{ejercicios}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: spell spelllang=es
