\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\B{\mathscr{B}}
\newcommand\A{\mathscr{A}}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter\ip{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
\newcommand\inter[1]{{\llbracket#1\rrbracket}}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
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\DeclareMathOperator{\U}{U}
\DeclareMathOperator{\Sp}{Sp}
\DeclareMathOperator\adj{adj}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\let\epsilon\varepsilon

\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2019}
\Practica{1}
\Titulo{Números reales}

\hyphenation{homeo-morfismo holo-morfa Como como}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Para cada $x\in\RR$ sea $A_x=\{m\in\ZZ:m\leq x\}$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que el conjunto~$A_x$ no es vacío y que está acotado
superiormente. Concluya que existe el máximo de~$A_x$: lo llamamos la
\emph{parte entera} de~$x$ y lo escribimos~$\floor{x}$.

\item Pruebe las siguientes afirmaciones:
\begin{itemize}

\item Para todo $x\in\RR$ es $0\leq x-\floor{x}<1$.

\item $\floor{x}=x \iff x\in\ZZ$.

\item $\floor{x} = \min\{k\in\ZZ:x<k+1\}$.

\item $\floor{x+y}\leq\floor{x}+\floor{y}+1$.

\item $x<y\implies\floor{x}\leq\floor{y}$.

\end{itemize}
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $x$,~$y\in\RR$ son tales que $y-x>1$, entonces existe un
entero~$k$ tal que $x<k<y$.

\item Si $x$,~$y\in\RR$ son tales que $x<y$, entonces existe $r\in\RR$ tal
que $x<r<y$.

\item Si $r$,~$s\in\QQ$ son tales que $r>s$, entonces existe un número
irracional~$q$ tal que $r>q>s$.

\item Si $x$,~$y\in\RR$ son tales que $x<y$, entonces existe un número
irracional entre~$x$ e~$y$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que el conjunto 
  \(\displaystyle
  A=\left\{\frac{m}{2^n}:m\in\ZZ,n\in\NN\right\}
  \)
es denso en~$\RR$. Si $b\in(1,+\infty)$, ¿qué puede decir del conjunto
  \(\displaystyle
  B=\left\{\frac{m}{b^n}:m\in\ZZ,n\in\NN\right\}
  \)?

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $x\in\RR$, entonces existe una sucesión $(q_n)_{n\geq1}$ en~$\QQ$
que es estrictamente creciente, tiene $q_n\geq x$ para todo $n\in\NN$,
converge y tiene $\lim_{n\to\infty}q_n=x$.

\item Enuncie un enunciado similar en el que la sucesión $(q_n)_{n\geq1}$
es estrictamente decreciente y pruébelo.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Si $x=(x_1,\dots,x_m)\in\RR^m$ y $\epsilon>0$, entonces existe
$q=(q_1,\dots,q_m)\in\QQ^m$ tal que 
  \[
  \norm{x-q} \coloneqq \left(
        \sum_{i=1}^m(x_i-q_i)^2
        \right)^{1/2} < \epsilon.
  \]

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Si $(a_n)_{n\geq1}$, $(b_n)_{n\geq1}$ y $(c_n)_{n\geq1}$ son
sucesiones de números reales tales que
\begin{itemize}

\item existe $n_0\in\NN$ tal que para todo $n\geq n_0$ es $a_n\leq b_n\leq
c_n$, y

\item las sucesiones $(a_n)_{n\geq1}$ y $(c_n)_{n\geq1}$ convergen y tienen
el mismo límite~$L$,

\end{itemize}
entonces la sucesión $(b_n)_{n\geq1}$ también converge y, de hecho, converge a~$L$.

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
\begin{ejitems}

\item Si una sucesión monótona $(a_n)_{n\geq1}$ de números reales posee una subsucesión
$(a_{n_k})_{k\geq1}$ que converge a un número real~$L$, entonces la
sucesión $(a_n)_{n\geq1}$ misma también converge a~$L$. ¿Qué sucede si la
subsucesión converge a~$\infty$?

\item Una sucesión monótona de números reales converge si y solamente si es
acotada.

\item Toda subsucesión de una sucesión convergente es ella misma
convergente.

\item Encuentre un ejemplo de una sucesión  $(a_n)_{n\geq1}$ que \emph{no}
converja y que sea tal que $\lim\limits_{n\to\infty}\abs{a_n-a_{n+1}}=0$.

\item ¿Converge necesariamente una sucesión $(a_n)_{n\geq1}$ tal que para todo
$p\in\NN$ se tiene que $\lim\limits_{n\to\infty}\abs{a_n-a_{n+p}}=0$?

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una sucesión $(a_n)_{n\geq1}$ es \emph{de Cauchy} si para todo
$\epsilon>0$ existe $n_0\in\NN$ tal que $\abs{a_n-a_m}<\epsilon$ siempre que
$n$,~$m\geq n_0$.
\begin{ejitems}

\item Si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces la
sucesión completa converge.

\item Toda sucesión de Cauchy es acotada.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Encuentre los límites superior e inferior de las siguientes
sucesiones:
\begin{ejitems}

\item $1,3,-1,1,3,-1,1,3,-1,1,3,\dots$;

\item $\displaystyle a_n = (-1)^n\left(2+\frac{3}{n}\right)$;

\item $\displaystyle a_n = \left(1-\frac{1}{n}\right)\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)$;

\item la sucesión $(s_n)_{n\geq1}$ tal que $s_1=0$ y para todo $n\in\NN$
tiene
  \[
  s_{2n} = \frac{s_{2n-1}}{2}, \qquad
  s_{2n+1} = \frac{1}{2}+s_{2n}.
  \]

\item $\displaystyle a_n=\frac{n}{3}-\floor*{\frac{n}{3}}$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Encuentre una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ de números reales tal que
$\liminf\limits_{n\to\infty}x_n=-1$, $\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=5$ y el
conjunto $\{x_n:n\in\NN\}$ es infinito.

\item ¿Cuáles de las siguientes dos afirmaciones valen?
\begin{itemize}

\item Si $\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=2$, entonces existe $n_0\in\NN$
tal que $x_n>1,99$ para todo $n\geq n_0$.

\item Si $\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=b$, entonces existe $n_0\in\NN$
tal que $x_n\leq b$ para todo $n\geq n_0$.

\end{itemize}
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Sea $(a_n)_{n\geq1}$ una sucesión acortada de números reales.
\begin{ejitems}

\item Es $\alpha=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ si y solamente si para todo
$\epsilon>0$ se tiene que
\begin{itemize}

\item existe $n_0\in\NN$ tal que para todo $n\geq n_0$ es
$a_n<\alpha+\epsilon$, y

\item para todo $n\in\NN$ existe $m\in\NN$ tal que $m\geq n$ y
$a_m>\alpha-\epsilon$.

\end{itemize}

\item Es $\alpha=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ si y solamente si
\begin{itemize}

\item existe una subsucesión de~$(a_n)_{n\geq1}$ que converge a~$\alpha$, y

\item toda subsucesión de~$(a_n)_{n\geq1}$ que converge tiene límite menor
o igual a~$\alpha$.

\end{itemize}
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una sucesión de números reales $(a_n)_{n\geq1}$ converge a un
límite~$L$ si y solamente si
  \[
  \limsup\limits_{n\to\infty}a_n=\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=L.
  \]

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $(a_n)_{n\geq1}$ y $(b_n)_{n\geq1}$ son sucesiones acotadas de
números reales, entonces valen las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}

\item $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\leq
\limsup_{n\to\infty}a_n + \limsup_{n\to\infty}b_n$.

\item Si $a_n\geq0$ y $b_n\geq0$ para todo $n\in\NN$, entonces
  \[
  \limsup_{n\to\infty}(a_nb_n)\leq \limsup_{n\to\infty}a_n 
        \cdot \limsup_{n\to\infty}b_n.
  \]

\item Si $c>0$, entonces
$\limsup\limits_{n\to\infty}ca_n=c\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$.

\end{ejitems}
Enuncie y pruebe resultados similares para~$\liminf$.

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(a_n)_{n\geq1}$ una sucesión de números reales positivos.
\begin{ejitems}

\item $\displaystyle
        \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
        \leq \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}
        \leq \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}
        \leq \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

\item Si existe el límite
$\displaystyle A=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in\RR\cup\{\infty\}$,
entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=A$.

\item Calcule $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $x$,~$y\in[0,1)$, sean
  \[
  x=0.x_1x_2x_3\dots, \qquad
  y=0.y_1y_2y_3\dots
  \]
los desarrollos de~$x$ e~$y$ en base $b>1$, y supongamos que el de~$y$ es
infinito, esto es, que el conjunto $\{i\in\NN:y_i>0\}$ es infinito.
\begin{ejitems}

\item Si existe $n\in\NN$ tal que $x_i=y_i$ para todo $i\in\NN$ tal que
$i<n$ y $x_n<y_n$, entonces $x<y$.

\item El orden entre~$x$ e~$y$ es el mismo que el de los primeros dígitos
$b$-arios en que difieren sus desarrollos.

\item Supongamos que existe $n\in\NN$ tal que $x_i=y_i$ para todo $i\in\NN$
tal que $i<n$ y $x_n<y_n$. Si $z\in[x,y]$, entonces el desarrollo
$z=0.z_1z_2z_3\dots$ en base~$b$ de~$z$ tiene $z_i=x_i=y_i$ para todo
$i\in\NN$ con $i<n$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre los desarrollos en base~$2$, $3$ y~$16$ de los números
  \[
  2,25
  \qquad 10.7
  \qquad 27
  \qquad 255.
  \]

\begin{Solucion}
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: spell spelllang=es
