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\hyphenation{siguiente}

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\Materia{Álgebra 3}
\Cuatrimestre{Segundo cuatrimestre --- 2014}
\Practica{6}
\Titulo{Aplicaciones}

\hyphenation{anillo sub-anillo grado cuerpo cuerpos mor -fismo mor-fismos
  Muestre muestre iso-mor-fismo misma mismo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Construcciones con regla y compás}

Recordemos que un número real $\alpha$ es \emph{constructible con regla
y compás} si existe una torre de cuerpos $\QQ = F_0 \subset F_1
\subset \ldots \subset F_n$ con $\alpha \in F_n$ y $[F_i : F_{i-1}] = 2$
para cada $i\in\{1,\dots,n\}$.

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item Un número real $\alpha$ es constructible sii $\alpha$ es algebraico
sobre $\QQ$ y el grado de la clausura normal de $\QQ(\alpha)$ sobre $\QQ$
es una potencia de~$2$.

%%%%%%%%%%%%
\item De una caracterización de todos los números $n\in\NN$ tales que $\cos
\frac{2 \pi}{n}$ es constructible. Obsérvese que la constructibilidad de
este número es equivalente  a la constructibilidad de un polígono regular
de $n$ lados con regla y compás.

%%%%%%%%%%%%
\item Dé un procedimiento para construir un pentágono regular con regla y
compás.

%%%%%%%%%%%%
\item Un ángulo de $n$ grados es constructible con regla y compás sii $n$
es divisible por $3$.

%%%%%%%%%%%%
\item Un ángulo $\theta$ es trisecable con regla y compás sii
el polinomio $4X^3 - 3X - \cos(\theta)$ es reducible sobre
$\QQ(\cos(\theta))$.

%%%%%%%%%%%%
\item Dé explicitamente una construcción para la trisección 
de un ángulo de $\frac{3 \pi}{7}$ usando regla y compás.

%%%%%%%%%%%%
\item Decida si es posible construir con regla y compás un triángulo
isósceles cuyos vértices estén sobre la circunferencia unitaria y cuya área
sea $1$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Discriminantes}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un cuerpo, $\bar K$ una clausura algbraica de~$K$, $f\in
K[X]$ un polinomio mónimo no constante de grado~$n$, y
$\alpha_1$,~\dots,~$\alpha_n\in\bar K$ sus raíces. Recordemos que el
discriminante de~$f$ es la cantidad
  \[
  \Delta(f) = \prod_{1\leq i<j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2.
  \]
\begin{ejitems}

\item Si $f=X^2+bX+c$, entonces $\Delta(f)=b^2-4c$.

\item Si $f=X^3+bX+c$, entonces $\Delta(f)=-4b^3-27c^2$.

\item Si $f=X^4+bX^2+c$, entonces $\Delta(f)=16 c (4 c-b^2)^2$.

\item Si $f=X^5+bX+c$, entonces $\Delta(f)=256 b^5+3125 c^4$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $E/\QQ$ una extensión de grado~$n$, sea $\alpha\in E$ tal que
$E=\QQ(\alpha)$ y sea $f\in\QQ[X]$ el polinomio minimal de~$\alpha$
sobre~$\QQ$. Muestre que
  \[
  \Delta(f) = (-1)^{n(n-1)/2}N_{E/\QQ}(f'(\alpha)).
  \]

\item Si $n\geq2$ y $f=X^n+bX+c$ con $b$,~$c\in\QQ$, entonces  
  \[
  \Delta(f) = (-1)^{n(n-1)/2}(n^nc^{n-1}+(1-n)^{n-1}b^n).
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un cuerpo, sean $t_1$,~\dots,~$t_n$ algebraicamente
independientes sobre~$K$ y sean $s_1$,~\dots,~$s_n$ los polinomios
simétricos elementales en los~$t_1$,~\dots,~$t_n$. Sean $E=K(t_1,\dots,t_n)$ 
y $F=K(s_1,\dots,s_n)\subseteq E$.
\begin{ejitems}

\item Si la característica de~$K$ no es dos, describa todas las
subextensiones cuadráticas de $E/F$.

\item Sean $a_1$,~\dots,~$a_n\in\NN$. Muestre que
$t_1^{a_1}+\cdots+t_n^{a_n}$ genera a~$E$ sobre~$F$ sii $a_i\neq a_j$
siempre que $i\neq j$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Solubilidad}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Todo grupo abeliano es soluble.

\item Si $p$ es un número primo, todo $p$-grupo es soluble.

\item Para todo $n$, el grupo diedral $D_n$ es soluble.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que las siguientes extensiones de cuerpos pueden obtenerse
como extensiones radicales iteradas:
\begin{ejitems}

\item La extensión $\QQ(\sqrt[3]{1+\sqrt2},i+\sqrt3)/\QQ$.

\item La extensión $E/\QQ$, con $E$ el cuerpo de descomposición sobre~$\QQ$
del polinomio $(X^4-2)(X^2-5)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Si el grupo de Galois de un polinomio de grado $n$ es isomofo
a~$S_n$, entonces ese polinomio es irreducible.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p$ un número primo.
\begin{ejitems}

\item Si $H\subseteq S_p$ es un subgrupo que contiene una transposición y
un elemento de orden~$p$, entonces $H=S_p$.

\item Si $f\in\QQ[X]$ es un polinomio irreducible de grado~$p$ que tiene exactamente
dos raíces no reales, entonces el grupo de Galois de~$f$ es isomorfo
a~$S_p$.

\item Sean $m$,~$r\in\NN$ tales que $m$ es par y $r$ es impar y mayor
que~$1$. Sean $a_1<\cdots<a_r$ enteros possitivos pares. El polinomio
  \[
  (X^2+m)(X-a_1)\cdots(X-a_r)-2
  \]
es irreducible sobre~$\QQ$ y, si $m$ es suficientemente grande, tiene
exactamente dos raíces no reales.

\item Existen polinomios en~$\QQ[X]$ de grado~$p$ y grupo de Galois
isomorfo a~$S_p$.

\end{ejitems}







\end{ejercicios}

\newpage


\foto{Apollo}{}{De acuerdo a Plutarco, Apolo mandó a los ciudadanos de la
Isla de Delos una plaga. Estos preguntaron al oráculo de Delphi qué hacer
para complacer al dios y resolver el problema: la respuesta fue que debían
construir un cubo de volumen exactamente igual al doble del volumen del
pedestal cúbico del altar de Apolo que estaba en ese templo. Los delios
quedaron un poco confundidos y consultaron a Platón, que les explicó que lo
que el dios quería era que dediquen más tiempo a estudiar geometría y
matemática para calmar sus pasiones. Un buen lugar para estudiar geometría
y matemática en esa época era la Academia, en Atenas, que había fundado
unos años antes\dots{} el mismo Platón.

}

\end{document}
