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\hyphenation{siguiente}

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\Materia{Álgebra 3}
\Cuatrimestre{Segundo cuatrimestre --- 2014}
\Practica{3}
\Titulo{Separabilidad}

\hyphenation{anillo sub-anillo grado cuerpo cuerpos mor -fismo mor-fismos
  Muestre muestre iso-mor-fismo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p$ un número primo.
\begin{ejitems}

\item Si $t$ es trascendente sobre $\FF_p$, entonces el
polinomio $X^p-t$ es irreducible en $\FF_p(t)[X]$.

\item Sea $K$ un cuerpo de característica~$p$. Si $a\in K\setminus K^p$ y $n\in
\NN_0$, entonces el polinomio $X^{p^n}-a$ es irreducible en $K[X]$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p$ un primo impar y sea $K=\FF_p (u,v)$ con $u,v$
algebraicamente independientes sobre $\FF_p$. Si $\alpha$ es una raíz de
$f=X^{2p}-uvX^p+v$ en una clausura algebraica de $K$, entonces la extensión
$K(\alpha)/K$ no es separable ni puramente inseparable.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un cuerpo de característica positiva $p$, sea $E/K$ una extensión
algebraica y sean 
  \begin{gather*}
  E_s=\{x\in E : \text{$x$ es separable sobre $K$}\} \\
  E_i=\{x\in E: \text{$x^{p^n}\in K$ para algún $n\geq 0$}\}.
  \end{gather*}
\begin{ejitems}

\item $E_s$ y $E_i$ son subcuerpos de $E$, $E$ es puramente inseparable
sobre $E_s$ y $E_s\cap E_i=K$.

\item Si $E/k$ es normal, entonces $E$ es separable sobre $E_i$ y $E=E_sE_i$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p$ un primo y sean $u$ y $v$ algebraicamente independientes
sobre $\FF_p$. Calcule el grado y el grado de inseparabilidad de las
extensiones $\FF_p(u,v)/\FF_p(u^p-u, v^p-v)$ y $\FF_p(u,v)/\FF_p(u^p,
v^p-v-u)$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un cuerpo de característica positiva~$p$ y sea $E/K$ una extensión
algebraica. Si $\alpha\in E$ ies tal que $\alpha^{p^j}\in K$ para algún $j\geq
0$, entonces $\m(\alpha, K)=X^{p^r}-\alpha^{p^r}$ con $r=\min\{j\in
\NN_0:\alpha^{p^j}\in K\}$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $p$ un primo y sea $K=\FF_p(t)$ con $t$ trascendente sobre $\FF_p$.
Sean $r,n\in \NN$ tales que $r<p^n$, sea $\alpha$ una raíz de
$X^{p^n}-tX^r+t\in K[X]$ en una clausura algebraica de $K$ y sea $m=\max
\{k\in \NN_0:p^k\mid r\}$. Muestre que $[K(\alpha):K]_i=p^m$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $p$ un primo impar y sea $K=\FF_p(t)$ con $t$ trascendente
sobre $\FF_p$. Sea $C/K$ una clausura algebraica y sea $\alpha\in C$ una
raiz de $X^{p^3}-tX^p+t\in K[X]$. Si $L$ es la clausura normal de la clausura
separable de $K(\alpha)/K$, calcule $[L:K]$.

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Un cuerpo de característica nula es perfecto.

\item Un cuerpo $K$ de característica positiva $p$ es perfecto si y
solamente si el morfismo $f:x\in K\mapsto x^p\in K$ es un automorfismo.

\item Un cuerpo finito es perfecto.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $K$ un cuerpo de característica nula y sea $f\in K[X]$ un
polinomio irreducible. Si $f$ y $f'$ no son coprimos, $f$ tiene que dividir
a~$f'$ y, como el grado de $f'$ es estrictamente menor que el de~$f$, esto
es posible solamente si $f'=0$. Pero si un cuerpo tiene característica
nula, la derivada de un polinomio de grado positivo no es cero.

\ejitem{2} Sabemos que esa función es siempre un morfismo de cuerpos así
que hay que ver que $K$ es perfecto sii ese morfismo es sobreyectivo.

Supongamos primero que $K=K^p$ y supongamos que existe $f\in K[X]$
irreducible y no coprimo con su derivada~$f'$. Como $\deg f'<\deg f$, esto
es solo posible si $f'=0$ y entonces existe $g(X)=\sum_{i=0}^ng_iX^i\in K[X]$ 
tal que $f(X)=g(X^p)$. La hipótesis nos dice que existen
$h_k$,~\dots,~$h_n\in K$ tales que $g_i=h_i^p$ para cada $i$, y entonces
$f(X)=g(X^p)=h(X)^p$ si $h(X)=\sum_{i=0}^nh_iX^i$. Como $f$ es irreducible
y $p\geq2$, esto es absurdo.

Recíprocamente, supongamos que $K$ es perfecto, sea $a\in K$ y consideremos
el polinomio $f(X)=X^p-a$. \TERMINAR
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%
\item Si $K$ es un cuerpo de característica positiva, entonces el cuerpo $K(t)$, con
$t$ trascendente sobr~$K$, no es perfecto.

\begin{Solucion}
Si $p$ es la característica de~$K$, entonces el polinomio $X^p-t$ es
irreducible sobre~$K(t)$ y no es separable, así que $K(t)$ no es perfecto.
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

\end{document}
