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\hyphenation{siguiente}

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\newcommand\RR{\mathbb{R}}
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\newcommand\FF{\mathbb{F}}
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\Materia{Álgebra 3}
\Cuatrimestre{Segundo cuatrimestre --- 2014}
\Practica{0}
\Titulo{Preliminares}

\hyphenation{anillo sub-anillo grado}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}

\item Existen en~$A$ ideales maximales y, de hecho, todo ideal propio
de~$A$ está contenido en uno maximal.

\item Un ideal~$\p$ de~$A$ es primo sii el cociente~$A/\p$ es un dominio
íntegro.

\item Un ideal~$\m$ de~$A$ es maximal sii el cociente~$A/\m$ es un cuerpo.

\item Un anillo es un cuerpo sii posee exactamente dos ideales.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Un anillo~$A$ es un cuerpo sii todo morfismo de anillos $f\colon A\to
B$ es inyectivo.

%%%%%%%%%%
\item\header{Teorema de Wedderburn} Un dominio íntegro finito es un cuerpo.

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $B$ es un anillo, $A\subseteq B$ un subanillo y $b\in B$, existe
un único menor subanillo de~$B$ que contiene tanto a~$A$ como a~$b$, y lo
escribimos~$A[b]$. Se tiene
  \[
  A[b]=\Bigl\{\sum_{i=0}^na_ib^i:n\geq0, \; a_0,\dots,a_n\in A\Bigr\}.
  \]

\item Los subanillos $\QQ[\sqrt2]$, $\QQ[\sqrt3]$, $\QQ[i]$ y
$\QQ[\sqrt[3]2]$ de~$\CC$ son cuerpos.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $K$ un cuerpo y $f\in K[X]$. El anillo $K[X]/(f)$ es un cuerpo
sii $f$ es irreducible.

\item Construya un cuerpo de~$9$ elementos. Más generalmente, construya un
cuerpo de~$p^2$ elementos para cada primo~$p$.

\item Muestre que $\RR[X]/(X^2+1)\cong\CC$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Describa todos los morfismos de cuerpos
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}

\item $\CC\to\RR$;

\item $\QQ\to\FF_p$;

\item $\QQ\to K$, con $K$ un cuerpo;

\item $\QQ[\sqrt2]\to\QQ[\sqrt2]$;

\item $\QQ[\sqrt2]\to\QQ[\sqrt3]$;

\item $\QQ[\sqrt[3]2]\to\QQ[\sqrt[3]2]$;

\item $\RR\to\RR$;

\item $\CC\to\CC$, que son $\RR$-lineales.
\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un cuerpo. Una $K$-álgebra de dimensión finita que es un
dominio íntegro es un cuerpo.

%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un anillo, escribimos $U(A)$ al conjunto de elementos
inversibles de~$A$.
\begin{ejitems}

\item El conjunto~$U(A)$ es un grupo con la multiplicación de~$A$, al que
llamamos \emph{grupo de unidades} de~$A$.

\item Determine los grupos de unidades de~$\ZZ$, de un cuerpo,
de~$\ZZ[i]$, de~$\ZZ[\sqrt{-5}]$, de~$\ZZ/n\ZZ$ y de~$A[X]$, si $A$ es un
dominio íntegro.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $A$ es un dominio íntegro, entonces $A[X]$ también lo es.

\item Si $A$ es un dominio íntegro, entonces $A[X_1,\dots,X_n]$ también lo
es.

\item ¿Que puede decir de~$A[X_i, i\in I]$ si $A$ es un dominio íntegro y
el conjunto~$I$ es \emph{arbitrario}?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio íntegro.

\begin{ejitems}

\item La relación~$\sim$ sobre el conjunto~$X=A\times(A\setminus0)$ 
tal que si $(a,b)$,~$(c,d)\in X$ es 
  \[
  (a,b)\sim(c,d) \iff ad=cb
  \]
es una relación de equivalencia.

\item Sea $K(A)=X/\mathord\sim$ y escribamos $[a,b]$ a la clase de
equivalencia de~$(a,b)\in X$ en~$K(A)$. Muestre que existen operaciones
$\mathord+$,~$\mathord\cdot\colon K(A)\times K(A)\to K(A)$ tales que
para todo $(a,b)$,~$(c,d)\in X$, 
  \begin{align*}
  & [a,b]+[c,d] = [ad+bc,bd],
  && [a,b]\cdot[c,d] = [ac,bd ]
  \end{align*}
que $(K(A),\mathord+,\mathord\cdot)$ es un cuerpo y que la función $\iota:a\in
A\mapsto[a,1]\in K(A)$ es un morfismo de anillos.

\item Si $h:A\to L$ es un morfismo de anillos con codominio en un
cuerpo~$L$, entonces existe exactamente un morfismo de anillos $\bar h:K(A)\to
L$ tal que $\bar h\circ\iota = h$.

\end{ejitems}
Llamamos al par ordenado $(K(A),\iota)$ el \emph{cuerpo de fracciones} de~$A$,
aunque generalmente dejamos al morfismo~$\iota$ implícito, y decimos que
$K(A)$ mismo es el cuerpo de fracciones de~$A$.
\begin{ejitems}[resume]

\item Un anillo~$B$ es un cuerpo sii existe un morfismo inyectivo de
anillos $B\to Q$ con codominio en un cuerpo.

\item Describa explícitamente el cuerpo de fracciones de los anillos $\ZZ$,
$\ZZ[i]$, $\ZZ[\sqrt2]$ y, si $A$ es un dominio íntegro, $A[X]$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. 
\begin{ejitems}

\item Sea $f:A\to B$ un morfismo de anillos. Para cada $b\in B$ existe
exactamente un morfimo de anillos $e_b:A[X]\to B$ que extiende a~$f$ y tal
que $e_b(X)=b$. Llamamos a $e_b$ la \emph{especialización} en~$b$.

Recíprocamemente, todo morfimo de anillos $A[X]\to B$ que extiende a~$f$ es
la especialización en algún elemento de~$b$.

\item Si $A$ es un dominio íntegro, determine el grupo de automorfismos 
$A[X]\to A[X]$ que extienden a la aplicación identidad $\id:A\to A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Todo elemento primo de un anillo es irreducible, pero la implicación
recíproca no es necesariamente cierta.

\item En un dominio de factorización única todo
elemento irreducible es primo.

\item En $\ZZ[\sqrt{-5}]$ los números $3$, $7$, $4+\sqrt{-5}$,
$4-\sqrt{-5}$, $1+2\sqrt{-5}$ and $1-2\sqrt{-5}$ son irreducibles pero no
primos, de manera que ese anillo no es un dominio de factorización única.

\item Un dominio de ideales principales es un dominio de factorización
única, pero la recíproca no es cierta.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Un \emph{dominio euclideano} es un dominio~$A$ dotado de una
función $N:A\setminus0\to\NN$ tal que
  \begin{enumerate}[label=(\roman*), leftmargin=2cm, rightmargin=2cm]
  \item si $a$,~$b\in A\setminus0$, existe $q$,~$r\in A$ tales que
    $a=qb+r$, con o bien $r=0$ o bien $N(r)<N(q)$;
  \item si $a$,~$b\in A\setminus0$, entonces $N(a)\leq N(ab)$.
  \end{enumerate}
\begin{ejitems}

\item Muestre que si $f:A\setminus0\to\NN$ es una función que satisface la
primera de estas dos condiciones, entonces la función
$f':A\setminus0\to\NN$ tal que $f'(a)=\min_{b\in A\setminus0}N(ab)$ satisface las
dos.

\item Los anillos $\ZZ$, $\ZZ[i]$ y, si $K$ es un cuerpo, $K[X]$ son
euclideanos.

\item Un anillo euclideano es un dominio de ideales principales.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Si $p$ un primo racional, las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
\begin{tfae}

\item $X^2+1$ es irreducible en~$\FF_p[X]$;

\item $-1$ no es un cuadrado en~$\FF_p$;

\item $p\equiv3\mod 4$.

\item $p$ no es suma de dos cuadrados en~$\ZZ$;

\item $p$ es irreducible en~$\ZZ[i]$.

\end{tfae}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Irreducibilidad}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio de integridad, sea $K$ su cuerpo de cocientes y 
sea $f\in A[X]$. Si $f$ es
irreducible en~$A[X]$, entonces $f$ es irreducible en~$K[X]$. ¿Vale la
recíproca?

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p$ un primo racional y sea $\pi:\ZZ[X]\to\FF_p[X]$ el único
morfismo de anillos tal que $\pi(X)=X$. Sea además $f\in\ZZ[X]$ tal que
$\pi(f)\neq0$. Si $\pi(f)$ es irreducible en~$\FF_p[X]$, entonces $f$ no se
factoriza en~$\ZZ[X]$ como producto de factores de grado positivo.

%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un dominio de factorización única, entonces $A[X]$ también.
¿Qué sucede con $A[X_1,\dots,X_n]$ y con $A[X_i,i\in I]$ con $I$ un
conjunto arbitrario?

%%%%%%%%%%%%
\item\header{Criterio de Eisenstein} Sea $A$ un dominio de factorización
única y sea $K$ su cuerpo de cocientes. Sea $f=\sum_{i=0}^na_iX^i\in A[X]$ con
$n>0$ y $a_0$,~\dots,~$a_n\in A$ y $a_n\geq0$.

Si existe un primo $p\in A$ tal que $p\nmid a_n$, $p\mid a_i$ para cada
$i\in\{0,\dots,n-1\}$ y $p^2\nmid a_0$, entonces $f$ es irreducible
en~$K[X]$.

%%%%%%%%%%%%
\item\header{Teorema de Gauss} Sea $A$ un dominio de factorización única y
sea $K$ su cuerpo de cocientes. Sea $f=\sum_{i=0}^na_iX^i\in A[X]$ con
$n>0$ y $a_0a_n\neq0$. Si $p$ y $q$ son elementos no nulos 
de~$A$ coprimos entre sí y tales que $f(p/q)=0$, entonces $p\mid a_0$ y
$q\mid a_n$.

%%%%%%%%%%%%
\item Si $p$ es un primo racional, entonces
\begin{ejitems}

\item $(X+1)^p-1$ se factoriza en~$\QQ[X]$ como producto de~$X$ y de un
único otro factor irreducible;

\item el polinomio $1+X+X^2+\cdots+X^{p-1}$ es irreducible en~$\QQ[X]$;

\item el polinimio $X^n-p$ es irreducible en~$\QQ[X]$ para todo $n\in\NN$.

\end{ejitems}
¿Cuáles de estas propiedades son equivalentes a la primalidad de~$p$?

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un cuerpo.
\begin{ejitems}

\item Existe exactamente una función $K$-lineal $\partial:K[X]\to K[X]$ tal
que $\partial(X)=1$ y 
  \[
  \partial(f\cdot g)=\partial(f)\cdot g+f\cdot\partial(g)
  \]
para cada $f$,~$g\in K[X]$.

\item Sea $f\in K[X]$ y $a\in K$ una raíz de~$f$. Entonces $a$ es una raíz
múltiple de~$f$ sii es raíz de~$\partial(f)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Todas las raíces de un polinomio con coeficientes racionales que es
irreducible son simples.

%%%%%%%%%%%%
\item Los polinomios $\sum_{i=0}^nX^i$ y $\sum_{i=0}^nX^i/i!$ tienen a
todas sus raíces complejas simples, cualquiera sea $n\in\NN$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $a$,~$b\in\ZZ$.
\begin{ejitems}

\item El polinomio $X^3+aX^2+bX+1$ es reducible en~$\ZZ[X]$ sii $a=b$ o
$a+b=-2$.

\item Encuentre condiciones necesarias y suficientes sobre $a$ y $b$ para
que el polinomio $X^3+aX^2+bX-1$ sea reducible.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item ¿Para  qué valores de $b\in\ZZ$ es reducible el polinomio $X^3+b$?

%%%%%%%%%%%%
\item Factorice el polinomio $X^5+X^4+X^2+X+2$ en~$\QQ[X]$.

%%%%%%%%%%%%
\item Estudie la reducibilidad de los siguientes polinomios:
\begin{ejitems}

\item $2X^5+18X^3+30X^2-24$, $X^4+4X^2+10$, $X^3-X^2+7X+2$, tanto en $\QQ[X]$
como en $\ZZ[X]$;

\item $X^4-4$, $X^3+X^2+X+1$, $X^4+X^3+1$, $X^5+6X^4+5X^2-2X+9$ en $\ZZ[X]$;

\item $(X+a)^4+1$ en $\QQ[X]$, para cada $a\in\QQ$;

\item $X^2+Y^2+1$ en $\QQ[X,Y]$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Si $K$ es un cuerpo y $a\in K$, entonces el polinomio $X^4-a$ es
reducible en~$K[X]$ sii existe $b\in K$ tal que $a=b^2$ o $a=-4b^4$.

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Encuentre todos los polinios irreducibles de grados $2$, $3$, $4$ y
$5$ en $\FF_2[X]$.

\item Si $K$ tiene $q$ elementos, ¿cuántos polinomios irreducibles hay
en~$K[X]$ de grado~$2$? ¿Y de grado~$3$?

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

\newpage

\foto{Weber}{Heinrich Martin Weber\\1842--1913, Alemania}{%
En 1893 Weber dio la primera definición precisa de lo que hoy entendemos
por un cuerpo. Trabajó en álgebra y en teoría de números. Particularmente
importante es su contribución a la pueba del llamado teorema de
Kronecker-Weber que describe a todas las extensiones abelianas de~$\QQ$,
aunque su demostración ---como la de Kronecker--- contenía agujeros y
errores; la primera demostración completa de ese teorema fue dada por
David Hibert en 1896.

La palabra \emph{cuerpo} fue introducida por Richard Dedekind en
sus clases alrededor de 1859; en alemán, la palabra usada por Dedekind es
\emph{Zahlkörper}, y de ahí viene el uso tradicional de la letra $k$ para
denotar a los cuerpos. El primero en usar la palabra \emph{field} en inglés
fue Eliakim Hastings Moore, en un artículo publicado en 1893 a propósito de
los cuerpos finitos; ese es el origen del uso de la letra~$F$ para los
cuerpos.
}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
