\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2013}
\Practica{3}
\Titulo{La topología de los espacios euclídeos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\norm[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\nbd\nobreakdash

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item  Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados:
\begin{ejitems}

\item $\QQ$. 

\item $\NN$. 

\item $\{x\in\RR: x>0\}$. 

\item $(0,1]$. 

\item $\left\{1+\frac14+\frac19+\cdots+\frac1{n^2}: n\in\NN\right\}$. 

\item $\left\{1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n: n\in\NN\right\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\label{Ej2} Sean $S$ y $T$ subconjuntos de $\RR$. Muestre que:
\begin{ejitems}

\item  Si $S\subseteq T$, entonces $S^\circ\subseteq T$ $^\circ$.

\item $(S\cap T)^\circ=S^\circ\cap T^\circ$.
¿Se puede generalizar esta igualdad al caso de una intersección infinita?

\item $(S\cup T)^\circ\supseteq S^\circ\cup T^\circ$. 
¿Vale la igualdad?

\item  $\overline{S\cup T}=\overline{S}\cup\overline{T}$.
¿Se puede generalizar esta igualdad a una unión infinita?

\item $\overline{S\cap T}\subseteq\overline{S}\cap\overline{T}$.
¿Vale la igualdad?

\item $(\RR\setminus S)^\circ=\RR\setminus\overline{S}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\label{Ej3} En cada uno de los siguientes casos encuentre $S^\circ$, $\overline{S}$ y
$\partial S$.
\begin{ejitems}

\item $S=[0,1]$;

\item $S=\QQ\cap[0,1]$;

\item $S=[-1,0)\cup\{1\}$;

\item $S=\{\frac{1}{n}:n\in\NN\}$;

\item $S=\{ \frac{(-1)^nn}{1+n}:n\in\NN\}$;

\item $S = \ZZ$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item  Sea $S\subseteq\RR$. 
\begin{ejitems}

\item  $S$ es abierto si y solo si es disjunto con $\partial S$.

\item  $S$ es cerrado si y solo si $\partial S\subset S$.

\item $S$ es cerrado si y solo si $S= S^\circ\cup \partial S$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item  Si $S\subseteq\RR$, entonces $\partial S =
\overline{S}\cap\overline{\RR\setminus S}$. 

%%%%%%%%%%%%
\item  Si $S\subseteq\RR$, escribimos con $S^{\prime}$ al conjunto de todos
los puntos de acumulación de~$S$.
\begin{ejitems}

\item  Determine $S^{\prime}$ para cada uno de los conjuntos del Ejercicio~\ref{Ej3}.

\item Un punto $p\in S$ es un \emph{punto aislado} de $S$ si existe
$\eps>0$ tal que $(p-\eps,p+\eps)\cap S=\{p\}$.
Muestre que $\overline{S}=S^{\prime }\cup\{\text{puntos aislados de $S$}\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre los puntos de acumulación del conjunto 
$S=\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}:n,m\in\NN\}$.

%%%%%%%%%%%%
\item Determine todos los subconjuntos no vac\'\i os de $\RR$ que son a la
vez abiertos y cerrados.

%%%%%%%%%%%%
\item ¿Son abiertos, cerrados, acotados los siguientes conjuntos?
\begin{ejitems}

\item $\{(x,y)\in\RR^2:x>1\}$.

\item $\{(x,y)\in\RR^2:x>y\}$.

\item $\{(x,y)\in\RR^2:y>0\}$.

\item $\{(x,y)\in\RR^2:x=y\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Decida si las propiedades del Ejercicio \ref{Ej2} siguen siendo
válidas si $S$ y $T$ son subconjuntos de $\RR^2$.

%%%%%%%%%%%%
\item  Encuentre los puntos de acumulación del conjunto 
  \[
  S=\{(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{m}) \in\RR^2:n,m\in\NN\}
  \]
y la clausura $\overline{S}$.

%%%%%%%%%%%%
\item  Si $U_{n}:=\{(x,y)\in\RR^{2}/\norm{(x,y)-(0,n)}<n\}$
para cada $n\geq1$, muestre que $\bigcup_{n\in\NN}U_{n}$ es el semiplano superior
abierto.
    
%%%%%%%%%%%%
\item  Si para cada $n\in\NN$ con $n\geq2$ es $I_n=(\tfrac{1}{n},\frac{2}{n})\subseteq\RR$,
muestre que $(0,1)=\bigcup_{n\geq2}I_{n}$. 
¿Existe un conjunto \emph{finito}
$\mathcal{F}\subset\NN_{\geq2}$ tal que
$(0,1)=\bigcup\limits_{n\in\mathcal{F}}I_{n}$? 
¿Es compacto el conjunto $(0,1)$?


%%%%%%%%%%%%
\item ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son compactos?
\begin{ejitems}

\item $\QQ$. 

\item $\QQ\cap [0,1]$. 

\item $\RR$.

\item $[0,1]\cup [100,1000]$. 

\item $\{\frac1n: n\in\NN\}$.

\item $\{\sqrt[n]{n} : n \in\NN\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Si $K$ es un subconjunto compacto de $\RR$, entonces tiene mínimo y máximo.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(x_n)_{n\in\NN}$ una sucesión acotada y sea $P$ el conjunto de
sus puntos límite. 
\begin{ejitems}

\item El conjunto $P$ es compacto. 

\item El límite inferior de $(x_n)_{n\in\NN}$ es el mínimo de $P$ y el
límite superior de $(x_n)_{n\in\NN}$ el máximo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item  Si $S$, $T\subseteq\RR$ son dos conjuntos compactos, entonces $S\cup
T$ y $S\cap T$ son compactos. ¿Qué ocurre si se toman uniones o
intersecciones infinitas?

%%%%%%%%%%%%
\item  Un conjunto $S\subseteq\RR$ es compacto si y sólo si toda sucesión
contenida en $S$ contiene una subsucesión que converge a un punto de $S$.

%%%%%%%%%%%%
\item Si $K$ es compacto y $F$ es cerrado, entonces $K\cap F$ es compacto.

%%%%%%%%%%%%
\item Si $K\subseteq\RR$ es compacto, entonces los conjuntos
  \[
  S=\{x+y : x,y \in K\}
  \]
y
  \[
  P=\{x.y : x,y \in K\}
  \]
son compactos.

%%%%%%%%%%%%
\item Una \emph{norma} en $\RR^n$ es una función
$\norm{\cdot}:\RR^n\to\RR$ tal que
  \begin{itemize}
  
  \item $\norm{x}\geq0$ para todo $x\in\RR^n$ y $\norm{x}=0$ si y solamente
  si $x=0$.
  
  \item $\norm{\lambda x}=\abs{\lambda}\norm{x}$ para todo $x\in\RR^n$ y
  $\lambda\in\RR$.

  \item $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}$ para todo $x$,~$y\in\RR^n$.

  \end{itemize}
\begin{ejitems}

\item Muestre que las funciones $\norm{\cdot}_1$, $\norm{\cdot}_2$,
$\norm{\cdot}_\infty:\RR^n\to\RR$ dadas por
  \begin{gather*}
  \norm{x}_1 = \sum_{i=1}^n\abs{x_i}, \\
  \norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}, \\
  \norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_i}:1\leq i\leq n\}
  \end{gather*}
para cada $x=(x_1,\dots,x_n)\in\RR^n$, son normas.

\item Muestre que hay constantes positivas $c$, $c'$, $d$, $d'$ tales que
  \begin{gather*}
  c \norm{x}_1 \leq \norm{x}_2 \leq c' \norm{x}_1, \\
  d \norm{x}_\infty \leq \norm{x}_2 \leq d' \norm{x}_\infty
  \end{gather*}
para todo $x\in\RR^n$.

\item Si $\norm{\cdot}:\RR^n\to\RR$ es una norma, para cada $x\in\RR^n$ y
cada $\eps>0$, llamamos \emph{bola centrada en~$x$ de radio~$\eps$} al
conjunto
  \[
  B_\eps(x) = \{y : \norm{x-y} < \eps \}.
  \]
Decimos que un conjunto $A\subseteq\RR^n$ es un abierto con respecto
a~$\norm{\cdot}$ si para todo $x\in A$ existe $\eps>0$ tal que
$B_\eps(x)\subseteq A$.

Muestre que un conjunto es abierto con respecto a $\norm{\cdot}_1$ sii es
abierto con respecto a~$\norm{\cdot}_2$ sii es abierto con respecto
a~$\norm{\cdot}_\infty$.

\item Si $\norm{\cdot}:\RR^n\to\RR$ es una norma, decims que una sucesión
$(x_k)_{k\geq1}$ en~$\RR^n$ converge con respecto a $\norm{\cdot}$ a un
punto $x\in\RR^n$ si
  \[
  \lim_{k\to\infty} \norm{x_k-x} = 0.
  \]
Muestre que una sucesión $(x_k)_{k\geq1}$ converge a un punto $x\in\RR^n$
con respecto a la norma~$\norm{\cdot}_1$
sii lo hace con respecto a la norma~$\norm{\cdot}_2$
sii lo hace con respecto a la norma~$\norm{\cdot}_\infty$.
 
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
%\item {\em Una función $N:\RR^2\to \RR_{\ge0}$ se llama una \underline{norma} si cumple que:
%    \begin{itemize}
%    \item $N((x,y))=0$ si y  sólo si $(x,y)=(0,0)$.
%    \item $N((\lambda x,\lambda y))=|\lambda| N((x,y))$ para todo $(x,y)\in\RR^2$, $\lambda\in\RR$.
%        \item $N((x_1,y_1)+(x_2,y_2))\le N((x_1,y_1))+N((x_2,y_2))$ para todo $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in \RR^2$.
%            \end{itemize}
%            }
%            \medskip
%            
%            Sean
%            \begin{align*}
%            &\|(x,y)\|_1=|x|+|y|\\
%            &\|(x,y)\|_\infty=\max\{|x|,|y|\}.
%            \end{align*}
%            
%            Probar que las funciones $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_\infty$ son normas.
%            
%\item {\em Una función $d:\RR^2\times\RR^2\to\RR_{\ge0}$ se llama una \underline{distancia} si cumple que:
%    \begin{itemize}
%    \item $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=0$ si y sólo si $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$.
%        \item $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d((x_2,y_2),(x_1,y_1))$ para todo $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in \RR^2$.
%            \item $d((x_1,y_1),(x_3,y_3))\le d((x_1,y_1),(x_2,y_2))+d((x_2,y_2),(x_3,y_3))$ para todo $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2), (x_3,y_3)\in \RR^2$.
%                \end{itemize}
%                }
%            
%                
%                \begin{itemize}
%                \item[(a)] Demostrar que si $N$ es una norma en $\RR^2$, entonces $$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=N((x_1-x_2,y_1-y_2))$$ es una distancia en $\RR^2$.
%                    
%                    \end{itemize}
%                    
%\item {\em Llamamos la bola de centro $(x_0,y_0)$ y radio $r$ asociada a una norma $N$ al conjunto
%    $$
%    B_N((x_0,y_0),r)=\{(x,y)\in\RR^2\,/\, N((x-x_0,y-y_0))<R\}.
%    $$
%    
%    Cuando el centro es el origen $(0,0)$ la bola conrrespondiente suele denotarse $B_N(r)$.
%    }
%
%    
%    \begin{itemize}
%\item[(a)]    Dibujar las bolas correspondientes a la norma euclidea y a las normas $N_1$ y $N_\infty$.
%\item[(b)] Ver gráficamente que $B_1(r)\subset B_e(r) \subset B_1(\sqrt 2 r)$   y que $B_e(r)\subset B_\infty(r)\subset B_e(\sqrt 2r)$.
%\item [(c)] Deducir contenciones análogas a las del item (b) entre las bolas correspondientes a las normas 1 e infinito.
%    \item[(d)] Deducir las contenciones de los items (a), (b) y (c) anal\'{\i}ticamente.
%    \end{itemize}
% 
\end{ejercicios}
\end{document}
